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课时规范练 53 双曲线
基础巩固练
y2
1.(2025·八省联考,5)双曲线x2- =1的渐近线方程为( )
9
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±3x D.y=±4x
2.(2024·河北唐山二模)若一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴,则它
y2
们互为共轭双曲线.已知双曲线E的标准方程为x2- =1,则E的共轭双曲线的离心率为(
2
)
√6
A. B.
√2
2
C.√3 D.2
3.(2024·浙江绍兴模拟)已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F ,F ,若左支上的两点
1 2
A,B与左焦点F 三点共线,且△ABF 的周长为8,则|AB|=( )
1 2
A.2 B.3
C.4 D.6
4.(2024·山东济南三模)已知双曲线C 过点A(-√15,1),且与双曲线C :x2-3y2=1有相同的渐
1 2
近线,则双曲线C 的标准方程为( )
1
x2 y2 y2 x2
A. − =1 B. − =1
12 4 12 4
x2 y2 y2 x2
C. − =1 D. − =1
15 5 15 5
x2 y2
5.(2024·山东泰安三模)已知F(c,0)为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的右焦点,直线x=c与
a2 b2
C的两条渐近线分别交于A,B两点,O为坐标原点, OAB是面积为4的直角三角形,则C
的方程为( )
△
x2 y2
A.x2-y2=1 B. − =1
2 2
x2 y2 x2 y2
C. − =1 D. − =1
4 4 4 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxx2 y2 √10
6.已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为 ,双曲线上的点到焦点的最小距离为
a2 b2 3
√10-3,则双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离为( )
√6
A.1 B.
2
C.2 D.√6
x2 y2
7.(多选题)(2024·河北邯郸三模)已知双曲线C: − =1,则( )
λ+6 3-λ
A.λ的取值范围是(-6,3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1,3)
x2 y2
8.(多选题)(2024·江苏南通二模)已知双曲线C: − =1(b>0)的右焦点为F,直线
4 b2
l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则( )
A.C的虚轴长为2√2
B.C的离心率为√6
C.|PF|的最小值为2
√2
D.直线PF的斜率不等于-
2
x2 y2
9.(2024·江苏扬州模拟)已知双曲线 − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F ,F ,若双
1 2
a2 b2
曲线左支上存在点P,使得|PF |=2|PF |,则该双曲线离心率的最大值为 .
2 1
x2 y2
10.(2022·全国甲,文15)记双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直
a2 b2
线y=2x与C无公共点”的e的一个值: .
x2 y2
11.(2024·河南郑州三模)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为√2,A,B分别是它
a2 b2
的两条渐近线上的两点(不与坐标原点O重合),点P在双曲线C上且⃗OA+⃗OB=2⃗OP
, AOB的面积为6,则该双曲线的实轴长为 .
综合提升练
△
12.(2025·上海闵行模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):
x2 y2
“幂势既同,则积不容异”.已知双曲线C: − =1(a>0,b>0),若双曲线右焦点到渐近线
a2 b2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx的距离记为d,双曲线C的两条渐近线与直线y=1,y=-1以及双曲线C的右支围成的图形
(如图中阴影部分所示)绕y轴旋转一周所得几何体的体积为√2dcπ(其中c2=a2+b2),则双
曲线的离心率为( )
√2
A. B.
√2
2
√3
C. D.
√3
3
x2 y2
13.(2024·广东佛山模拟)已知圆C :x2+y2=b2(b>0)与双曲线C : − =1(a>0,b>0),若在
1 2
a2 b2
π
双曲线C 上存在一点P,过点P所作的圆C 的两条切线,切点为A,B,且∠APB= ,则双曲
2 1
3
线C 的离心率的取值范围是( )
2
√5 √5
A.(1, ] B.[ ,+∞)
2 2
C.(1,√3] D.[√3,+∞)
x2 y2
14.(2024·山东日照一模)过双曲线
−
=1的右支上一点P,分别向圆C
1
:(x+4)2+y2=3和
4 12
圆C :(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则(⃗PM+⃗PN)·⃗NM的最小值为( )
2
A.28 B.29
C.30 D.32
15.(多选题)(2024·广东广州二模)双曲线具有如下性质:双曲线在任意一点处的切线平分
x2 y2
该点与两焦点连线的夹角.设O为坐标原点,双曲线C: − =1(b>0)的左、右焦点分别
20 b2
为F ,F ,右顶点A到一条渐近线的距离为2,右支上一动点P处的切线记为l,则( )
1 2
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A.双曲线C的渐近线方程为y=± x
2
√30
B.双曲线C的离心率为
5
9√5
C.当PF ⊥x轴时,|PF |=
2 1
2
D.过点F 作F K⊥l,垂足为K,|OK|=2√5
1 1
16.(2024·山东潍坊一模)已知平面直角坐标系xOy中,直线l :y=2x,l :y=-2x,点P为平面内
1 2
一动点,过点P作DP∥l 交l 于点D,作EP∥l 交l 于点E,得到的平行四边形ODPE面积
2 1 1 2
为1,记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2+y2=t有四个交点,则实数t的取值范围是
.
创新应用练
1
17.(2024·湖北武汉模拟)函数y= 的图象是等轴双曲线,其离心率为 ,已知对勾函数
√2
x
y=x+
1的图象也是双曲线,其离心率为e,则e2=
.
x
答案：
y2 b
1.C 解析 由方程x2- =1,知a=1,b=3,所以渐近线方程为y=± x=±3x.故选C.
9 a
y2
2.A 解析 由题意可知,双曲线E的共轭双曲线为 -x2=1,所以共轭双曲线的离心率e=
2
c √a2+b2 √2+1 √6
= = = .
a a2 2 2
3.A 解析 因为双曲线C:x2-y2=1,所以a=1.由双曲线的定义,得|AF |-|AF |=2a=2,|BF |-|BF |
2 1 2 1
=2a=2,两式相加,得|AF |+|BF |-|AB|=4a=4,又因为△ABF 的周长为8,即|AF |+|BF |+|AB|=8,两
2 2 2 2 2
式相减得|AB|=2.
4.A 解析 由双曲线C 与双曲线C :x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C 的方程为x2-
1 2 1
3y2=λ(λ≠1),又因为C 过点A(-√15,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C 的标准方程为
1 1
x2 y2
− =1.
12 4
5.B 解析 由△OAB为直角三角形及双曲线的对称性知OA⊥OB,且|OA|=|OB|,
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则C的渐近线方程为y=±x,即a=b,由△OAB的面积为4,得 ×2c×c=4,解得c=2,又a2+b2=c2=4,
2
x2 y2
因此a=b=√2,所以C的方程为 − =1.
2 2
c √10 x2
6.B 解析 由已知可得 = ,c-a=√10-3,可得c=√10,a=3,b2=c2-a2=1,所以双曲线的方程为
a 3 9
-y2=1.
x2 x2
设P(x,y)是双曲线 -y2=1上的点,则y2= -1,且x≤-3或x≥3,
9 9
则|AP|=√(x-5)2+ y2= √10x2 -10x+24= √ 10( x2 -x)+24= √ 10( x - 3 ) 2+ 3 ,所以当x= 9 时,
9 9 3 2 2 2
√3 √6
|AP| min = = .
2 2
x2 y2
7.AC 解析 ∵ − =1表示双曲线,∴(λ+6)(3-λ)>0,解得-6<λ<3,故A正确;
λ+6 3-λ
∵-6<λ<3,∴λ+6>0,3-λ>0,∴C的焦点只能在x轴上,故B错误;设C的半焦距为c(c>0),则
3
c2=λ+6+3-λ=9,∴c=3,即C的焦距为2c=6,故C正确;离心率e= ,∵-6<λ<3,∴0<√λ+6
√λ+6
<3,∴e的取值范围是(1,+∞),故D错误.故选AC.
x2 y2 1 b
8.AD 解析 双曲线C: − =1的渐近线方程为bx±2y=0,依题意,- =- ,解得b=√2.故双曲
4 b2 b 2
x2 y2
线C的方程为
−
=1.因为C的虚轴长2b=2√2,所以A正确;因为C的离心率e=
4 2
√a2+b2 = √6 ,所以B错误;点F(√6,0)到直线l:x+√2y=0的距离为 √6 =√2,即|PF|的最
a 2 √12+(√2)2
√2 √2 √2
小值为 √2,所以C错误;双曲线C的两条渐近线斜率分别为 ,- ,当直线PF的斜率等于- 时,
2 2 2
√2
PF∥l,与P在l上矛盾,所以直线PF的斜率不等于- ,D正确.故选AD.
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx9.3 解析 由双曲线左支上存在一点P,可得|PF |-|PF |=2a,又|PF |=2|PF |,所以|PF |=2a,又|PF |
2 1 2 1 1 1
c
≥c-a,所以2a≥c-a,所以e= ≤3,所以该双曲线离心率的最大值为3.
a
b
10.2(答案不唯一,只要10)可知a=2√5,右顶点A(2√5,0),其渐近线方程为y=±
20 b2
b |2√5b|
x,因为右顶点A到一条渐近线的距离为2,不妨取渐近线bx-2√5y=0,则 =2,解得b=
2√5 √b2+20
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√5
,则渐近线方程为y=± x,所以A正确;因为a=2
√5
,b=
√5
,所以c=√(2√5)2+(√5)2=5,故双曲
2
c 5 √5 x2 y2
线C的离心率为 = = ,所以B错误;F 2 (5,0),当PF 2 ⊥x轴时,将x=5代入 − =1中,得
a 2√5 2 20 5
√5 √5 √5 9√5
y=± ,即得|PF
2
|= ,由于P在双曲线右支上,故|PF
1
|=|PF
2
|+2a= +4√5= ,所以C正确;
2 2 2 2
如图,连接PF 并延长交F K的延长线于点E,由题意知,PK为∠F PE的角平分线,结合F K⊥l,
2 1 1 1
1 1 1
可知|PF |=|PE|,K为F E的中点,而O为F F 的中点,故|OK|= |F E|= (|PE|-|PF |)= (|PF |-|
1 1 1 2 2 2 1
2 2 2
1
PF
2
|)= ×2a=2
√5
,所以D正确.
2
故选ACD.
|2x - y |
16.(1,4) 解析 设点P(x ,y ),则点P到l 的距离为d= 0 0 ,直线PD方程为y=-2x+2x +y ,
0 0 1 0 0
√5
{y=-2x+2x + y , 2x + y |2x + y |
联立 0 0 解得x = 0 0,所以|OD|=√5· 0 0 ,
y=2x, D 4 4
|2x + y | |2x - y | y2
所以S ▱ODPE =|OD|d=√5· 0
4
0 ×
√
0
5
0 =1,所以x2
0
−
4
0=±1,所以点P的轨迹Γ为两双
y2 y2 y2 y2
曲线x2- =1, -x2=1.双曲线x2- =1的实半轴长为1,双曲线 -x2=1的实半轴长为2,若Γ与
4 4 4 4
圆x2+y2=t有四个交点,则1<√t<2,即1
