课时规范练25　简单的三角恒等变换_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版《优化设计》新高考版一轮（生物+数学）_2026年高考数学一轮（优化设计新高考版）_课后习题Word

课时规范练 25 简单的三角恒等变换 基础巩固练 π 7π 1.(2025·安徽模拟)sin2 -sin2 =( ) 12 12 √3 1 A. B. 2 2 1 √3 C.- D.- 2 2 3 5 2.(2024·江苏苏州期中)已知α,β都是锐角,cos α= ,sin(α-β)= ,则cos β=( ) 5 13 16 33 A. B. 65 65 56 63 C. D. 65 65 cos40° 3.(2024·湖北荆州模拟)化简: =( ) cos25°√1-cos50° A.√2 B.2√2 C.√3 D.√3-1 2√5 √10 4.(2024·浙江期末)已知α,β为钝角,且cos α=- ,sin β= ,则α+β=( ) 5 10 π 5π 3π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4 3 √2sin8°+cos53° 5.(2024·山西吕梁模拟)已知sin 37°≈ ,则 的近似值为( ) 5 √2cos8°-sin53° 3 4 3√2 4√2 A. B. C. D. 4 3 4 3 α 6.(多选题)当tan 有意义时,下列等式恒成立的是( ) 2 α sinα A.tan = 2 1+cosα α 1+cosα B.tan = 2 sinα 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxα 2tan C.sin α= 2 α 1+tan2 2 α 1-tan2 D.cos α= 2 α 1+tan2 2 7π 7.(2024·广东揭阳模拟)已知sin α- cos α=1,则sin( -2α)的值为 . √3 6 sin2x+cos2x-2sin(π-x)cos(π+x) 8.(13分)已知函数f(x)= . 9π 13π sin( -x)-cos( +x) 2 2 π (1)求f( )的值; 12 √2 (2)已知f(α)= ,求sin 2α的值. 3 综合提升练 sin20° 9.(2025·山东烟台开学考试)若sin(α-20°)= ,则cos(2α+140°)=( ) tan20°-√3 1 1 A. B.- 8 8 7 7 C.- D. 8 8 cosα 1+sinα π 10.(2024·江苏无锡模拟)已知tan β= ,tan(α+β)= ,若β∈(0, ),则β=( ) 1-sinα cosα 2 π π A. B. 12 6 π π C. D. 4 3 √1-sinθ 11.(多选题)设θ的终边在第二象限,则 的值可能为( ) θ θ cos -sin 2 2 A.1 B.-1 C.-2 D.2 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3π 12.(2024·安徽铜陵模拟)已知非零实数m,n满足msin α+ncos α=tan (mcos α-nsin α),当 8 π n α= 时, = . 8 m π α α √6 13.(13分)(2024·北京东城模拟)已知α∈( ,π),且sin +cos = . 2 2 2 2 (1)求cos α的值; 3 π (2)若sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求cos β的值. 5 2 π π 14.(15分)(2024·江苏镇江模拟)已知a=(2cos x,2 sin(x+ )),b=(cos x,-cos(x+ )),记 √3 6 6 f(x)=a·b,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; x 1 π 2π (2)若f( 0)= ,x ∈( , ),求cos 2x . 0 0 2 3 3 3 创新应用练 π 4tan 15.(2025·安徽灵璧模拟)已知 12 cos α·sin(β+π)=1,则tan(β-α)=( ) π 3 1+tan2 12 √3 A. B. √3 3 2√3 C.1 D. 3 答案： π 7π π π π π π π √3 1.D 解析 由题意可得,sin2 -sin2 =sin2 -sin2( + )=sin2 -cos2 =-cos =- .故选 12 12 12 2 12 12 12 6 2 D. π π π 4 12 2.C 解析 因为α,β∈(0, ),所以α-β∈(- , ),所以sin α= ,cos(α-β)= ,所以cos β=cos[α-(α- 2 2 2 5 13 3 12 4 5 56 β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= × + × = . 故选C. 5 13 5 13 65 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxcos40° cos(90°-50°) 3.A 解析 = = cos25°√1-cos50° cos25°√1-(1-2sin225°) sin50° 2sin50° = =√2. √2cos25°sin25° √2sin50° 2√5 √10 √5 3√10 π 4.D 解析 由于α,β为钝角,且cos α=- ,sin β= ,所以sin α= ,cos β=- ,且α∈( 5 10 5 10 2 π 2√5 3√10 ,π),β∈( ,π),所以α+β∈(π,2π),所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=- ×(- )- 2 5 10 √5 √10 √2 7π × = ,所以α+β= .故选D. 5 10 2 4 3 4 5.B 解析 因为sin 37°≈ ,所以cos 37°=√1-sin237°≈ , 5 5 √2 sin8°+ cos53° 所以√2sin8°+cos53° = 2 = sin(53°-45°)+sin45°cos53° √2cos8°-sin53° √2 cos(53°-45°)-sin45°sin53° cos8°- sin53° 2 sin53°cos45°-cos53°sin45°+sin45°cos53° = = cos53°cos45°+sin53°sin45°-sin45°sin53° 4 sin53° sin(90°-37°) cos37° 5 4 = = ≈ = . cos53° cos(90°-37°) sin37° 3 3 5 α α α sin 2sin cos 6.ACD 解析 tanα 2 2 2 sinα ,故A成立; = = = 2 α α 1+cosα cos 2cos2 2 2 α α 1+cosα α 1+cosα 当α=2kπ(k∈Z),即 =kπ(k∈Z)时,sin α=0,tan =0,故 无意义,即tan = 不成立; 2 2 sinα 2 sinα α α α 当α≠2kπ(k∈Z)且tan 有意义时, ≠kπ(k∈Z),故sin ≠0,则tan 2 2 2 α α sin 2sin2 α 2 2 1-cosα 1+cosα,综上,tanα 1+cosα,故B不成立; = = = ≠ ≠ 2 α α α sinα sinα 2 sinα cos 2sin cos 2 2 2 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxα α α 2sin cos 2tan sin α= 2 2 2 ,故C成立; = α α α sin2 +cos2 1+tan2 2 2 2 α α α cos2 -sin2 1-tan2 cos α= 2 2 2 ,故D成立.故选ACD. = α α α sin2 +cos2 1+tan2 2 2 2 1 1 √3 π π 1 7. 解析 已知sin α-√3cos α=1,则2( sin α- cos α)=2sin(α- )=1,所以sin(α- )= ,令β=α- 2 2 2 3 3 2 π π 1 7π 7π 2π π 1 ,则α=β+ ,即sin β= ,所以sin( -2α)=sin( -2β- )=sin( -2β)=cos 2β=1-2sin2β= . 3 3 2 6 6 3 2 2 sin2x+cos2x+2sinxcosx (sinx+cosx)2 π 8.解 (1)f(x)= = =sin x+cos x=√2sin(x+ ). cosx+sinx sinx+cosx 4 π π π π √6 所以f( )=√2sin( + )=√2sin = . 12 12 4 3 2 √2 π 1 (2)由f(α)= ,得sin(α+ )= . 3 4 3 π π π 1 7 所以sin 2α=-cos( +2α)=-cos[2(α+ )]=-[1-2sin2(α+ )]=-(1-2× )=- . 2 4 4 9 9 9.C 解析 根据题意,sin(α-20°)= 1 sin40° sin20° sin20°cos20° sin20°cos20° sin20°cos20° sin20°cos20° 2 = = = = = tan20°-√3 sin20°-√3cos20° 1 √3 2sin(-40°) -2sin40° -2sin40° 2( sin20°- cos20°) 2 2 1 =- , 4 1 7 cos(2α+140°)=cos[2(α-20°)+180°]=-cos[2(α-20°)]=-[1-2sin2(α-20°)]=-[1-2×(- )2]=- . 4 8 故选C. tan(α+β)-tanβ 10.C 解析 tan α=tan(α+β-β)= , 1+tan(α+β)tanβ cosα 1+sinα 因为tan β= ,tan(α+β)= , 1-sinα cosα 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1+sinα cosα (1+sinα)·(1-sinα)-cosα·cosα - 所以tan α= cosα 1-sinα = cosα(1-sinα) , 1+sinα cosα cosα·(1-sinα)+cosα·(1+sinα) 1+ · cosα 1-sinα cosα(1-sinα) (1+sinα)·(1-sinα)-cosα·cosα 1-sin2α-cos2α 所以tan α= = . cosα·(1-sinα)+cosα·(1+sinα) 2cosα 因为sin2α+cos2α=1,所以tan α=0,所以α=kπ,k∈Z,当k为奇数时,cos α=-1,sin α=0,当k为偶数 cosα π π 时,cos α=1,sin α=0,因为tan β= ,所以tan β=±1,因为β∈(0, ),所以β= . 1-sinα 2 4 11.AB 解析 ∵θ的终边在第二象限, π ∴2kπ+ <θ<2kπ+π,k∈Z, 2 √ θ θ θ θ √1-sinθ sin2 +cos2 -2sin cos ∴kπ+ π < θ 0, √1-sinθ 2 2=-1,当2kπ+5π θ < = < 4 2 2 2 2 θ θ θ θ 4 2 cos -sin cos -sin 2 2 2 2 θ θ cos -sin <2kπ+3π,k∈Z时,sinθ-cosθ<0, √1-sinθ 2 2=1.故选AB. = 2 2 2 θ θ θ θ cos -sin cos -sin 2 2 2 2 3π π π π sin sin( - ) cos 12.1 解析 tan3π 8 2 8 8 1 ,即tan3πtanπ=1. = = = = 8 3π π π π π 8 8 cos cos( - ) sin tan 8 2 8 8 8 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3π π tan -tan tan(3π π)= 8 8 , − 8 8 3π π 1+tan tan 8 8 3π π tan -tan 即 8 8 =tanπ=1, 3π π 4 1+tan tan 8 8 3π π 3π π 所以tan -tan =1+tan tan =2. 8 8 8 8 π π π 3π π π 当α= 时,msin +ncos =tan (m·cos -nsin ), 8 8 8 8 8 8 π π 3π π π 3π 等式两边同时除以cos 得,mtan +n=tan (m-ntan ),整理得mtan +n=mtan -n,2n=m(tan 8 8 8 8 8 8 3π π 3π -tan π ),所以 tan -tan =1. n 8 8 8 8 = m 2 α α √6 1 π 13.解 (1)因为sin +cos = ,两边同时平方,得sin α= .又 <α<π,所以cos α=-√1-sin2α =- 2 2 2 2 2 √3 . 2 π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2 π π 所以- <α-β< . 2 2 3 4 又由sin(α-β)=- ,得cos(α-β)= . 5 5 所以cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) √3 4 1 3 4√3+3 =- × + ×(- )=- . 2 5 2 5 10 14.解 (1)因为f(x)=a·b π π =2cos2x-2 sin(x+ )cos(x+ ) √3 6 6 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxπ =1+cos 2x- sin(2x+ ) √3 3 √3 3 =1+cos 2x- sin 2x- cos 2x 2 2 √3 1 =- sin 2x- cos 2x+1 2 2 π =-sin(2x+ )+1, 6 2π 所以f(x)的最小正周期T= =π. 2 x π 1 π 2 π 2π π π 5π (2)因为f( 0)=-sin(x 0 + )+1= ,可得sin(x 0 + )= ,又因为x 0 ∈( , ),则x 0 + ∈( , ),则 2 6 3 6 3 3 3 6 2 6 π √ π √5 cos(x 0 + )=- 1-sin2 (x + ) =- , 6 0 6 3 π π π 4√5 π π π 1 则sin 2(x + )=2sin(x + )·cos(x + )=- ,cos 2(x + )=cos2(x + )-sin2(x + )= , 0 0 0 0 0 0 6 6 6 9 6 6 6 9 π π π π π π 1 1 4√5 可得cos 2x =cos[2(x + )- ]=cos 2(x + )cos +sin 2(x + )sin = × +(- ) 0 0 0 0 6 3 6 3 6 3 9 2 9 √3 1-4√15 × = , 2 18 1-4√15 所以cos 2x 0 = . 18 π π π π 4tan 4sin cos 4tan 15.B 解析 因为 12 12 12 =2sinπ=1,由 12 cos αsin(β+π)=1可得 = π π π 6 π 3 1+tan2 cos2 +sin2 1+tan2 12 12 12 12 π π π π cos αsin(β+ )=1,又因为-1≤cos α≤1,-1≤sin(β+ )≤1,若cos α=1,sin(β+ )=1,则α=2k π,β= 1 3 3 3 6 π π π +2k π,k ,k ∈Z,可得β-α=( +2k π)-2k π= +2(k -k )π,k ,k ∈Z,所以tan(β-α)=tan [ +2(k - 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 6 6 6 π √3 π 7π k )π]=tan = ,k ,k ∈Z;若cos α=-1,sin(β+ )=-1,则α=2k π+π,β= +2k π,k ,k ∈Z,可得β-α=( 1 1 2 3 4 3 4 6 3 3 6 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx7π π π π √3 +2k π)-(2k π+π)= +2(k -k )π,k ,k ∈Z,所以tan(β-α)=tan[ +2(k -k )π]=tan = ,k ,k ∈Z.综 4 3 4 3 3 4 4 3 3 4 6 6 6 6 3 √3 上,tan(β-α)= .故选B 3 16.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群 552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新 永不过期 17. 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx