文档内容
课时规范练 55 直线与圆锥曲线的位置关系
基础巩固练
1.(2024·云南昆明模拟)若集合A={ | y2 },B={(x,y)|y=2x+1},则A∩B所含元
(x,y) x2- =1
4
素个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.直线x+y+2=0与抛物线C:y2=ax(a≠0)的图象相切,则C的准线方程为( )
A.x=-2 B.x=-1
C.y=-2 D.y=-1
x2 y2
3.已知直线l交椭圆 + =1于A,B两点,且线段AB的中点为(-1,1),则直线l的斜率为(
4 2
)
1
A.-2 B.-
2
1
C.2 D.
2
x2
4.(2024·山东济南模拟)已知直线l:y=kx+1,椭圆C: +y2=1,则“k=0”是“l与C相切”的
4
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
x2 y2
5.(2024·江苏南京模拟)设直线l:y=√3x+3与椭圆C: + =1相交于A,B两点,则|AB|=(
6 3
)
8√2 8√6
A. B.
7 7
8√10 8√14
C. D.
7 7
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6.(2024·安徽芜湖模拟)已知椭圆 + =1,一组斜率为 的平行直线与椭圆相交,则这些
4 3 2
直线被椭圆截得的弦的中点所在的直线方程为( )
1
A.y= x B.y=-2x
2
1
C.y=- x D.y=2x
2
7.(2024·辽宁沈阳模拟)若直线l:y=kx+2与曲线C:x2-y2=6(x>0)交于不同的两点,则实数k
的取值范围是( )
√15 √15 √15
A.(- , ) B.(0, )
3 3 3
√15 √15
C.(- ,0) D.(- ,-1)
3 3
x2 y2
8.(2024·河北衡水三模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,焦距为
1 2
a2 b2
6,点M(1,1),直线MF 与C交于A,B两点,且M为AB中点,则△AF B的周长为
2 1
.
9.(2024·江西宜春三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,动直线l与抛物线C交于异于原
点O的A,B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,若点P(4,m)(m>0),则当|AB|
取最大值时,m的值为 .
综合提升练
x2 y2
10.(2024·河北秦皇岛二模)已知A,B为椭圆C: + =1上两个不同的点(直线AB与y轴
9 5
不平行),F为C的右焦点,且|AF|+|BF|=4,若线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则|FP|
=( )
4 5
A. B.
3 3
5 3
C. D.
4 2
y2
11.(2023·全国乙,理11)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中
9
点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx12.(多选题)(2024·山东菏泽模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为C,
过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,点A位于点B右方,若∠AFB=∠CFB,则下列结
论一定正确的有( )
A.|AF|=8
8√7
B.|AB|=
3
16√3
C.S =
AFB
3
△
D.直线AF的斜率为√3
13.(2024·广东深圳模拟)已知O为坐标原点,点A,B在抛物线E:x2=4y上,且⃗OA·⃗OB=0,
⃗OD=⃗OA+⃗OB.记点D的轨迹为曲线G,若直线l与曲线G交于M,N两点,且线段MN中点
的横坐标为1,则直线MN的斜率为 .
3 x2 y2
14.(15分)(2024·新高考Ⅰ,16)已知A(0,3)和P(3, )为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.
2 a2 b2
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程.
1
15.(17分)(2025·八省联考,18)已知椭圆C的离心率为 ,左、右焦点分别为
2
F (-1,0),F (1,0).
1 2
(1)求C的方程;
(2)已知点M (1,4),证明:线段F M 的垂直平分线与C恰有一个公共点;
0 1 0
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的
1
轨迹为圆,并求该圆的方程.
创新应用练
x2 y2 1
16.(2024·浙江宁波模拟)已知双曲线E: − =1(a>0,b>0),斜率为- 的直线与E的左、
a2 b2 9
右两支分别交于A,B两点,点P的坐标为(-1,1),直线AP交E于另一点C,直线BP交E于
1
另一点D.若直线CD的斜率为- ,则E的离心率为 .
9
答案：
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1.B 解析 因为双曲线x2- =1的渐近线方程为y=±2x,所以直线y=2x+1与双曲线的其中一条
4
渐近线平行,所以直线与双曲线仅有一个公共点,即A∩B中含一个元素.
{ y2=ax,
2.A 解析 联立 消去x,整理得y2+ay+2a=0,由方程的判别式Δ=a2-8a=0,解得a=8
x+ y+2=0,
或a=0(舍去),所以抛物线C的方程为y2=8x,则C的准线方程为x=-2.
{x2 y2
1+ 1=1,
4 2 x2 x2
3.D 解析 设A(x ,y ),B(x ,y ),因为A,B都在椭圆上,所以 两式相减,得( 1− 2)+(
1 1 2 2 x2 y2 4 4
2+ 2=1,
4 2
y2 y2 y - y 1 x +x
1− 2)=0,得 1 2=- × 1 2,又因为线段AB中点坐标为
2 2 x -x 2 y + y
1 2 1 2
y - y 1 -2 1
(-1,1),x +x =-1×2=-2,y +y =1×2=2,所以直线l的斜率是 1 2=- × = .
1 2 1 2
x -x 2 2 2
1 2
{
y=kx+1,
4.C 解析 当k=0时,直线l:y=1,直线与椭圆相切;当k≠0时,联立 x2 消去y得
+ y2=1,
4
(4k2+1)x2+8kx=0,令方程的判别式Δ=(8k)2-4×(4k2+1)×0=0,解得k=0.综上,“k=0”是“l与C相切”
的充要条件.
x2 y2
5.B 解析 联立直线l:y=√3x+3与椭圆方程 + =1,消去y可得7x2+12√3x+12=0,该方程的
6 3
12√3 12
判别式Δ=(12√3)2-4×7×12=96>0,设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=- ,x
1
x
2
= ,根据弦长公式有
7 7
√ 12√3 12 8√6
|AB|=√1+k2·√(x +x )2-4x x =√1+(√3)2 · (- ) 2-4× = .
1 2 1 2 7 7 7
3
6.C 解析 设斜率为 的平行直线与椭圆相交于A(x ,y ),B(x ,y ),且中点为M(x,y),可得
1 1 2 2
2
{x2 y2
1+ 1=1,
4 3 (x +x )(x -x ) (y + y )(y - y )
x +x =2x,y +y =2y.由 两式相减得 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0,整理
1 2 1 2 x2 y2 4 3
2+ 2=1,
4 3
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得 1 2=- 1 2 =- = ,可得y=- x,即这些直线被椭圆截得的弦的中点所在的直
x -x 4(y + y ) 4·2y 2 2
1 2 1 2
1
线方程为y=- x.
2
{y=kx+2,
7.D 解析 联立方程组 整理得(k2-1)x2+4kx+10=0,设方程(k2-1)x2+4kx+10=0的两根
x2- y2=6,
4k
{x +x =- >0,
1 2 k2-1
为x ,x ,因为直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则满足 10
1 2 x x = >0,
1 2 k2-1
k2-1≠0,
解得k<-1,
{ k<-1, √15 √15
由 解得- 0, 3 3
8.12√2 解析 由题意知F
1
(-3,0),F
2
(3,0),设A,B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
x2 y2 x2 y2 (x +x )(x -x ) (y + y )(y - y )
所以 1+ 1=1, 2+ 2=1,两式相减得 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0,(*)
a2 b2 a2 b2 a2 b2
y - y b2
因为M为AB中点,则x +x =2,y +y =2,代入(*)式整理得 1 2=- .
1 2 1 2
x -x a2
1 2
1 1
由题意知k
AB
=k = =- ,
MF 2 1-3 2
b2 1
因此- =- ,所以a2=2b2,c2=b2,由题知2c=6,解得a=3√2.
a2 2
由椭圆定义知△AF B的周长为|AF |+|BF |+|AB|=(|AF |+|AF |)+(|BF |+|BF |)=4a=12√2.
1 1 1 1 2 1 2
9.2√2 解析 由题可知焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
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设线段AB的中点为M(x 0 ,y 0 ),即为OP中点,则x 0 = =2,y 0 = . 分别过A,B,M向准线作垂线,垂足
2 2
分别为A ,B ,M ,如图所示.则|AF|+|BF|≥|AB|,当直线AB过焦点F(1,0)时取等号,此时|AB|=2|
1 1 1
MM |=2|x +1|=6.设A(x ,y ),B(x ,y ),直线AB的斜率为k,由{y2=4x ,两式相减,得 =4(x -
1 0 1 1 2 2 1 1 y2−y2 1
y2=4x 1 2
2 2
y + y y - y y
x ),所以 1 2· 1 2=2,即y k=2,得y · 0 =2,所以y2=2,又m>0,所以m=2y =2√2.
2 2 x -x 0 0 2-1 0 0
1 2
10.A 解析 如图,
x2 y2 x2 y2
由题意知F(2,0),设A(x ,y ),B(x ,y ),根据点A,B在C上,则 1+ 1=1, 2+ 2=1,所以|AF|=
1 1 2 2
9 5 9 5
√(x -2)2+ y2= √ x2-4x +4+5- 5 x2=3- 2 x
1
,同理可得|BF|=3- 2 x
2
,所以|AF|+|BF|=3- 2 x
1
+3- 2
1 1 1 1 9 1 3 3 3 3
3 y + y y - y
x =4,所以x +x =3,因为线段AB的中点为( , 1 2),k = 1 2,则AB的垂直平分线的斜率为-
2 1 2 AB
2 2 x -x
1 2
x -x x2 y2 x2 y2 5
1 2,又由 1+ 1=1, 2+ 2=1,两式作差化简得y2−y2= (x2−x2),则线段AB垂直平分线的
y - y 9 5 9 5 1 2 9 2 1
1 2
5 5
方程为y=- x 1 -x 2(x- 3 )+ y 1 + y 2,令y=0,得x-3 y2- y2 9 (x 2 2-x 1 2) =- 9 (x 1 +x 2 ) =- 5 ,解
y - y 2 2 = 1 2 = 6
1 2 2 2(x -x ) 2(x -x ) 2
1 2 1 2
2 2 4
得x= ,所以|FP|=2- = .
3 3 3
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AB
b2
线有两个交点.设AB中点M,根据双曲线性质有k ·k = =9.对于A选项,k =1,得k =9,不满
AB OM OM AB
a2
9
足;对于B选项,k =-2,得k =- ,不满足;对于C选项,k =3,得k =3,不满足;对于D选项,k =4,
OM AB OM AB OM
2
9
得k = ,满足.故选D.
AB
4
12.ABC 解析 由题意得,F(2,0),C(-2,0),
当直线l的斜率为0时,与抛物线只有1个交点,不符合题意,故直线l的斜率存在且不为0,设直线
{x=my-2,
l的方程为x=my-2,不妨设m>0,联立 消去x可得y2-8my+16=0,易得判别式Δ>0,设
y2=8x,
A(x ,y ),B(x ,y ),则y >0,y >0,则y +y =8m,y y =16,则|AB|=√1+m2·|y -y |,|BC|=√1+m2·|y |=
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
|CF| |BC| |AF| |AB|
√1+m2· y 2 ,由正弦定理得 = , = ,因为
sin∠CBF sin∠CFB sin∠ABF sin∠AFB
|CF| |BC|
∠AFB=∠CFB,∠CBF+∠ABF=π,所以y >y , = ,即
1 2
|AF| |AB|
4 √1+m2·|y | |y | 又由焦半径公式可知|AF|=x +2=my -2+2=my ,则
= 2 = 2 . 1 1 1
|AF| √1+m2·|y - y | |y - y |
1 2 1 2
4 y 2√3
m y
=
y -
2
y
,即my
1
y
2
=4y
1
-4y
2
=4√(y
1
+ y
2
)2-4 y
1
y
2
,即16m=4√64m2-64,解得m=
3
,则
1 1 2
16√3 4√3 2√3
y
1
+y
2
= ,y
1
y
2
=16,解得y
1
=4√3,y
2
= ,故|AF|=my
1
= ×4√3=8.当m<0时,同理可得|AF|
3 3 3
=8,故A正确;|AB|=√1+m2·|y -y |=
1 2
√1+m2·√64m2-64= √ 1+ 4 × √ 64× 4 -64= √7 × √64 = 8√7 ,故B正确;S AFB =S ACF -S BCF = 1 ×
3 3 3 3 3 2
△ △ △
|CF|×|y 1 -y 2 |=2|y 1 -y 2 |=2√64m2-64 =2× √ 64× 4 -64= 16√3 ,故C正确;当m>0时,y 1 =4√3,则x 1 =
3 3
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=6,即A(6,4√3),此时k
AF
= =√3.由对称性可得,当m<0时,k
AF
=-√3,故直线AF的
8 6-2
斜率为±√3,故D错误.故选ABC.
1 1
13. 解析 显然直线OA,OB斜率均存在,设直线OA:y=kx,则OB:y=- x,
2 k
4
{ x=4k- ,
{ y=kx, 4 4 k
联立 得A(4k,4k2),同理B(- , ),设D(x,y),由⃗OD=⃗OA+⃗OB ,则 化简可得,
x2=4 y, k k2
y=4k2+
4
,
k2
1
曲线G:y= x2+8.
4
1
{y = x2+8,
1 4 1 1 y - y 1
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则 两式相减可得,y
1
-y
2
= (x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
),则k
MN
= 1 2=
1 4 x -x 4
y = x2+8, 1 2
2 4 2
2 1
(x 1 +x 2 )= = .
4 2
0 9
{ + =1,
a2 b2
3 x2 y2
14.解 (1)将点A(0,3),P(3, )的坐标分别代入椭圆C: + =1(a>b>0)的方程,得 9 得
2 a2 b2
9 4
+ =1,
a2 b2
a2=12,b2=9,
所以a=2√3,c2=a2-b2=12-9=3,
c √3 1
所以c=√3,所以离心率e= = = .
a 2√3 2
(2)(方法一)当直线l的斜率不存在时,方程为x=3,且|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3,知此时
9 3
S
△ABP
为 ≠9,不满足条件.故直线PB的斜率存在,设直线l的方程为y- =k(x-3),P(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).由
2 2
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x2 y2
+ =1,
12 9
消去y得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0,依题意得Δ>0,且
3
y- =k(x-3),
2
{
24k2-12k
x +x = ,
1 2 4k2+3
36k2-36k-27
x x = .
1 2 4k2+3
4√3 √ 27 √k2+1 | 3|
所以|PB|=√(x -x )2+(y - y )2=√k2+1· · 3k2+9k+ =12· · k+ .又点
1 2 1 2 4k2+3 4 4k2+3 2
| 3|
3k+
1 1 3
A到直线PB的距离d= 2 ,所以S = |PB|·d=9,解得k= 或k= ,经检验均符合题意.所以
APB
2 2 2
√1+k2 △
1 3
直线PB的方程为y= x或y= x-3.
2 2
3
(方法二)由题知k = 3- =- 1 ,则直线AP的方程为y=- 1 x+3,即x+2y-6=0,由题设可得|AP|=
AP 2
2 2
0-3
√ 3 3√5
(0-3)2+(3- ) 2= .
2 2
2×9 12√5
由(1)知椭圆C:
x2
+
y2
=1.因为S
ABP
=9,设点B到直线AP的距离为d,则d=
3√5
=
5
.
将直线
12 9
△ 2
12√5
AP沿着与AP垂直的方向平移 个单位,此时该平行线与椭圆的交点即为点B.设该平行线的
5
{
x2 y2
|n+6| 12√5 + =1,
方程为x+2y+n=0,则 = ,解得n=6或n=-18.当n=6时,联立 12 9 解得
√5 5
x+2y+6=0,
{x=-3,
{x=0, 3 3
或 3 即B(0,-3)或B(-3,- ).当B(0,-3)时,直线PB的斜率为k = ,则直线l的方程
y=-3 y=- , 2 1 2
2
3 3 1 1
为y= x-3,即3x-2y-6=0;当B(-3,- )时,直线PB的斜率k = ,则直线l的方程为y= x,即x-2y=0.
2
2 2 2 2
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x2 y2
+ =1,
当n=-18时,联立
12 9
消去x得2y2-27y+117=0,Δ=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.
x+2y-18=0
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
36k2-36k-27 3 12k2-12k-9
(方法三)同方法一,得x x = .又P(3, ),所以x = .设直线PB与y轴
1 2 2
4k2+3 2 4k2+3
3 3
的交点为Q(0,m),代入y- =k(x-3),有3k+m= .
2 2
1 1 | 12k2-12k-9| 1 |12k+18|
由S =S -S = |AQ|·|x -x |= |3-m|· 3- = |3-m|· =9.
APB APQ ABQ 2 1 2 2 4k2+3 2 4k2+3
△ △ △
3 1 3 1 3
又3k+m= ,代入得k= 或k= ,即直线方程为y= x或y= x-3.
2 2 2 2 2
(方法四)如图,连接OP并延长交椭圆于P',椭圆的下顶点为A',连接P'A',P'A,PA',
9
易求S = ,则S =9,此时,A'满足题设要求,所以l的方程为3x-2y-6=0.又由椭圆的对称性知
OPA A'PA
2
△ △
△APA'≌△A'P'A,所以S =9,此时,P'满足题设要求,所以l的方程为x-2y=0.综上,l的方程为
P'PA
x-2y=0或3x-2y-6=0. △
3 3
(方法五)设B(x 0 ,y 0 ),因为A(0,3),P(3, ),所以 ⃗AP =(3,- ),⃗AB =(x 0 ,y 0 -3).
2 2
1 1| 3 | x x
设⃗AP=(x
1
,y
1
),⃗AB=(x
2
,y
2
),由S
ABP
=
2
|x
1
y
2
-x
2
y
1
|可得
2
3 y
0
-9+
2
x
0
=9,得y
0
+
2
0=9或y
0
+
2
0=-3.
△
x
{ y + 0=-3,
x x x 0 2
因为y ≤3,x ≤2√3,所以y + 0≤3+√3,则y + 0=9(舍去),故y + 0=-3.由 可得
0 0 0 2 0 2 0 2 x2 y2
0 + 0=1,
12 9
{x =-3,
{ x =0, 0 3
0 或 3 即B(0,-3)或B(-3,- ),以下同方法二.
y =-3, y =- , 2
0 0 2
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15.(1)解 因为椭圆的左、右焦点分别为F (-1,0),F (1,0),所以c=1,又因为椭圆C的离心率为 ,得
1 2
2
x2 y2
a=2,所以b2=3,所以椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(2)证明 由M (1,4),F (-1,0)得,直线M F 的斜率为k=2,线段M F 的中点坐标为(0,2),所以线段
0 1 0 1 0 1
{
x2 y2
+ =1,
1 4 3
F M 的垂直平分线方程为y=- x+2,联立垂直平分线方程和椭圆方程 得x2-
1 0
2 1
y=- x+2,
2
3
2x+1=0,因为Δ=4-4=0,所以直线与椭圆相切,解得x=1,y= ,即线段F M 的垂直平分线与C恰有
1 0
2
3
一个公共点(1, ).
2
x -1 x -1
(3)解 (方法一)设M(x ,y ).当y =0时,线段F M的垂直平分线方程为x= 0 ,此时 0 =±2,解
0 0 0 1
2 2
x +1 x -1 y x +1
得x =5或x =-3;当y ≠0时,线段F M的垂直平分线方程为y=- 0 (x- 0 )+ 0=- 0 x+
0 0 0 1
y 2 2 y
0 0
{ x +1 x2+ y2-1
y=- 0 x+ 0 0 ,
x2+ y2-1
y 2y
(x2+ y2-1)2 (x +1)(x2+ y2-1)
0 0 ,联立 0 0 得3x2+4[ 0 0 − 0 0 0 x+
2y x2 y2 4 y2 y2
0 + =1, 0 0
4 3
(x +1)2 4(x +1)2 4(x +1)(x2+ y2-1) (x2+ y2-1)2
0 x2]=12,即[3+ 0 ]x2- 0 0 0 x+ 0 0 -12=0.因为线段
y2 y2 y2 y2
0 0 0 0
16(x +1)2(x2+ y2-1)2 4(x +1)2
F M的垂直平分线与C恰有一个公共点,故Δ= 0 0 0 -4[3+ 0 ][
1 y4 y2
0 0
(x2+ y2-1)2 (x2+ y2-1)2 16(x +1)2
0 0 -12]=0,即 0 0 -12- 0 =0,则y4+(2x2-14)y2+x4-18x2-32x -15=0,
y2 y2 y2 0 0 0 0 0 0
0 0 0
即y4+(2x2-14)y2+(x +1)2(x +3)(x -5)=0,y4+(2x2-14)y2+(x2+2x +1)(x2-2x -15)=0,即(y2+x2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+2x +1)(y2+x2-2x -15)=0,因为x2+ y2+2x +1=(x +1)2+ y2>0,所以x2+ y2-2x -15=0,而(5,0),
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(-3,0)也满足该式,故点M的轨迹是圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(方法二)设线段F M的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P,则当点P不在长轴时,线段F M的
1 1
垂直平分线l即为点P处C的切线,也为∠F PM的角平分线,作∠F PF 的角平分线PH,根据椭
1 1 2
圆的性质易知PH⊥l,所以∠F PE+∠F PH=90°,则∠F PH+∠EPM=90°,故
1 1 2
∠F PF +∠F PM=180°,所以M,P,F 三点共线,所以|MF |=|MP|+|PF |=|PF |+|PF |=4,所以点M
2 1 1 2 2 2 1 2
的轨迹是以F 为圆心,4为半径的圆,当P在椭圆长轴上时,点M为(5,0)或(-3,0),也满足|MF |=4,故
2 2
点M的轨迹是圆,该圆的方程为(x-1)2+y2=16.
√10
16. 解析 设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),线段AB的中点M(x
M
,y
M
),
3
{x2 y2
1- 1=1,
则 a2 b2 两式相减得y - y b2 x +x b2 x =-1,所以y =-9b2 x .①
1 2= · 1 2 = · M M · M
x2 y2 x -x a2 y + y a2 y 9 a2
2- 2=1, 1 2 1 2 M
a2 b2
9b2
设C(x ,y ),D(x ,y ),线段CD的中点N(x ,y ),同理得y =- ·x ,②
3 3 4 4 N N N N
a2
y -1 y -1
因为k =k ,所以AB∥CD,则P,M,N三点共线,所以 M = N ,将①②代入得
AB CD
x +1 x +1
M N
9b2 9b2
- ·x -1 - ·x -1 9b2
a2 M
=
a2 N ,即(x
M
-x
N
)(1-
a2
)=0,所以a2=9b2=9(c2-a2),即9c2=10a2,所以e=
x +1 x +1
M N
√c2 √10
=
a2 3
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