文档内容
课时规范练 27 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应
用
基础巩固练
π
1.(2024·福建福州模拟)要得到函数y=sin(2x- )的图象,只需将y=sin 2x的图象( )
3
π
A.向左平移 个单位长度
3
π
B.向右平移 个单位长度
3
π
C.向左平移 个单位长度
6
π
D.向右平移 个单位长度
6
π
2.(2024·北京东城期中)把函数y=sin x的图象向左平移 个单位长度后,再把图象上所有
3
1
点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,则所得函数图象的解析式为( )
3
x π x π
A.y=sin( + ) B.y=sin( + )
3 3 3 9
π π
C.y=sin(3x+ ) D.y=sin(3x+ )
3 9
π
3.(2025·广西开学考试)把函数f(x)=sin(4x+ )的图象向左平移a(a>0)个单位长度后得到
3
函数g(x)的图象,f(x)图象的对称轴与g(x)图象的对称轴重合,则a的值可能为( )
π π
A. B.
6 12
π π
C. D.
4 8
π
4.(2024·湖南邵阳三模)将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后得到
3ω
π π
函数g(x)的图象,若g(x)在区间(- ,0)上单调递增,且在区间( ,π)上有且仅有1个零点,则
18 3
ω的取值范围为( )
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A.( ,1)∪( , ] B.(0,1)∪( , )
3 3 3 3 3
1 4 7 1 4
C.(0, )∪( , ] D.(0, )∪( ,3)
3 3 3 3 3
2π
5.(多选题)(2024·河北沧州模拟)为了得到函数f(x)=sin(2x- )的图象,只需把正弦曲线
3
y=sin x上所有的点( )
2π 1
A.先向右平移 个单位长度,再将横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变
3 2
π
B.先向右平移 个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
3
1 π
C.先将横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度
2 3
π
D.先将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度
3
π
6.(多选题)(2025·河北张家口开学考试)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),周期为π,
2
π 5π
且满足f(x- )=-f( -x),则( )
12 12
π
A.f(x)=2sin(2x+ )
3
π
B.f(x)的图象向右平移 个单位长度变为偶函数
12
π 3π
C.f(x)在区间(
,
)上单调递减
4 4
D.f(x)=1在[0,π]上有两个不相等的实数解
7.(2025·江苏南京开学考试)若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象向右平移φ个单位长
π
度后在区间[0, ]上单调递减,则φ= .
2
π
8.(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示.若将
2
函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数,则
t的最小值是 .
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9.(2025·江西南昌开学考试)如图所示,将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移得到
g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象,其中P和P 分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点,点
1
B,A分别是f(x),g(x)图象的一个对称中心,若AP⊥AP ,S =15,则g(x)=( )
1 △APP
1
π 2π π 3π
A.3sin( x- ) B.3sin( x- )
2 3 4 4
π 5π π 5π
C.3sin( x- ) D.3sin( x- )
6 6 8 8
π
10.(多选题)(2025·辽宁开学考试)设函数g(x)=sin ωx(ω>0)向左平移 个单位长度得到
5ω
函数f(x),已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点,则下列结论正确的是( )
π
A.f(x)的图象关于直线x= 对称
2
12 29
B.ω的取值范围是[ , )
5 10
π
C.f(x)在(0, )上单调递增
10
D.在(0,2π)上,方程f(x)=1的根有3个,方程f(x)=-1的根有3个
11.(多选题)(2025·江西开学考试)将函数f(x)=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,
得到函数g(x)的图象,若这两函数图象的对称轴都相同,则下列结论一定正确的是( )
A.|φω|=2kπ+ π ,k∈N*
2
B.|φω|=kπ,k∈N*
C.f(x)与g(x)的零点相同
D.f(x)与g(x)的单调递增区间相同
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx12.(2021·全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件(f(x)-
f(- 7π ))(f(x)-f( 4π ))>0的最小正整数x为 .
4 3
π
13.(15分)(2024·江苏七市模拟)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移 个单位长度,再将所
4
1
得图象上所有点的横坐标变为原来的 (ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.
ω
π π
(1)若ω=2,求函数y=g(x)在区间[-
,
]上的最大值;
4 4
π π
(2)若函数y=g(x)在区间(
,
)内没有零点,求ω的取值范围.
4 2
创新应用练
14.(2024·江西南昌模拟)潮汐现象是地球上的海水受太阳(作用较小)和月球的万有引力
作用而产生的涨落现象.某港口具体时刻t(单位:小时)与对应水深y(单位:米)的函数关系
π
式为y=3sin t+10(0≤t≤24).某艘大型货船要进港,其相应的吃水深度(船底与水面的距
6
离)为7米,船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的,该船于2点开始卸货(一次卸货最
长时间不超过8小时),同时吃水深度以0.375米/时的速度减少,该船8小时内没有卸完货,
要及时驶入深水区域,则该船第一次停止卸货的时刻为 .
答案：
π π π
1.D 解析 由y=sin(2x- )=sin 2(x- ),将y=sin 2x图象向右平移 个单位长度即可得到
3 6 6
π
y=sin(2x- ).故选D.
3
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2.C 解析 把函数y=sin x的图象向左平移 个单位长度后,得到y=sin(x+ )的图象,再把图象上
3 3
1 π
所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到y=sin(3x+ )的图象.故选C.
3 3
π π π
3.C 解析 由题意得g(x)=sin[4(x+a)+ ]=sin(4x+4a+ ),与函数f(x)=sin(4x+ )图象的对称轴
3 3 3
kπ π
相同,则4a=kπ,k∈Z,得a= ,k∈Z,结合选项,a的值可能为 .故选C.
4 4
π π
4.A 解析 由题意可得g(x)=sin[ω(x- )]=sin(ωx- ).
3ω 3
π π π π π π π π π
因为g(x)在区间(- ,0)上单调递增,x∈(- ,0),则ωx- ∈(-ω − ,- ),所以-ω − ≥- ,
18 18 3 18 3 3 18 3 2
π π π ωπ π π
解得0<ω≤3,又g(x)在区间( ,π)上有且仅有1个零点,所以x∈( ,π),ωx- ∈( − ,ωπ- ),
3 3 3 3 3 3
π π 8π π π π
结合0<ω≤3,所以- <ωx- < ,所以零点可能为ωx- =0或ωx- =π或ωx- =2π,
3 3 3 3 3 3
π ωπ π π 1
当ωx- =0时, − <0,0<ωπ- ≤π,解得ω∈( ,1);
3 3 3 3 3
π ωπ π π 4 7
当ωx- =π时,0≤ − <π,π<ωπ- ≤2π,解得ω∈( , ];
3 3 3 3 3 3
π ωπ π π 1 4 7
当ωx- =2π时,π≤ − <2π,ωπ- >2π,无解,综上,ω的取值范围为( ,1)∪( , ].故选A.
3 3 3 3 3 3 3
2π 2π
5.AC 解析 先将正弦曲线y=sin x的图象向右平移 个单位长度,得到函数y=sin(x- )的图
3 3
1 2π
象,再将所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin(2x- )的图象,故A正确,
2 3
1
B错误;先将正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数y=sin 2x
2
π 2π
的图象,再向右平移 个单位长度,得到函数f(x)=sin(2x- )的图象,故C正确,D错误.故选AC.
3 3
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6.BD 解析 由f(x)周期为π,可得ω= =2,故f(x)=2sin(2x+φ),由f(x- )=-f( -x),可得
π 12 12
π 5π
x- + -x π π π π
,故( ,0)是f(x)图象的一个对称中心,故f( )=2sin( +φ)=0, +φ=kπ,k∈Z,结
12 12 π
= 6 6 3 3
2 6
π π π π
合|φ|< ,故φ=- ,所以f(x)=2sin(2x- ),故A错误;将f(x)的图象向右平移 个单位长度得到f(x-
2 3 3 12
π π π π π π 3π
)=2sin(2x- − )=2sin(2x- )=-2cos 2x的图象,f(x- )为偶函数,故B正确;当x∈( , )
12 6 3 2 12 4 4
π π 7π π π π
时,2x- ∈( , ),f(x)在此区间不单调,故C错误;令f(x)=2sin(2x- )=1,则2x- = +2kπ或2x-
3 6 6 3 3 6
π 5π π 7π π 7π
= +2kπ,k∈Z,解得x= +kπ或x= +kπ,k∈Z,当x∈[0,π],解得x= 和x= ,故D正确.故
3 6 4 12 4 12
选BD.
3π
7. 解析 将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到g(x)=sin[2(x-φ)+φ]=sin(2x-φ),因
2
π π
为x∈[0, ],所以-φ≤2x-φ≤π-φ,k∈Z,因为g(x)在[0, ]上单调递减,所以
2 2
π
{-φ≥ +2kπ,k∈Z,
2
3π
π-φ≤ +2kπ,k∈Z,
2
π
{-φ≥ +2kπ,k∈Z,
2 π π
即 所以-φ= +2kπ,k∈Z,所以φ=- -2kπ,k∈Z.
π 2 2
-φ≤ +2kπ,k∈Z,
2
3π
因为0<φ<2π,所以当k=-1时,φ=
.
2
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8. 解析 由函数的图象知,f(x)的周期T=2×( -0)= ,ω= = ,又f(0)=2sin φ=1,解得sin
8 4 2 T 3
1 π π 4 π 4 π 4
φ= ,又|φ|< ,则φ= ,于是f(x)=2sin( x+ ),g(x)=f(x-t)=2sin( x+ − t),由函数g(x)为奇函数,
2 2 6 3 6 3 6 3
π 4 π 3π π
得 − t=kπ,k∈Z,则t= − k,k∈Z,又t>0,所以当k=0时,t min = .
6 3 8 4 8
φ
9.D 解析 将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移 个单位长度得g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)
ω
φ 1
的图象,由于B,A分别是f(x),g(x)图象的一个对称中心,结合图象可知|AB|= ,S = |AB|
ω △APP 1 2
φ 1 2π
×3×2=15,故|AB|= =5,由于AP⊥AP
1
,所以BP
1
=BP=AB=5,进而可得 T=√BP2-32=4,故T=
ω 4 ω
π 5π π 5π
=16,解得ω= ,φ=5ω= ,故g(x)=3sin( x- ).故选D.
8 8 8 8
π π π π
10.BC 解析 由题设有f(x)=sin(ωx+ ),当x∈[0,2π]时,ωx+ ∈[ ,2ωπ+ ].
5 5 5 5
π 12 29 π
因为f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点,故5π≤2ωπ+ <6π,故 ≤ω< ,故B正确;f( )=sin(
5 5 10 2
ωπ π π π π π ωπ π
+ ),无法确定f( )是否为±1,故A错误;当x∈(0, )时,ωx+ ∈( , + ),而
2 5 2 10 5 5 10 5
ωπ π 29π π 49π π π π π
+ < + = < ,故f(x)在(0, )上单调递增,故C正确;当x∈(0,2π)时,ωx+ ∈(
10 5 100 5 100 2 10 5 5
π π
,2ωπ+ ),而5π≤2ωπ+ <6π,故f(x)=1在(0,2π)内有3个不同的解,f(x)=-1有2个或3个不同的解,
5 5
故D错误.故选BC.
π
11.BC 解析 g(x)=sin(ωx-ωφ),函数f(x)图象的对称轴方程满足ωx=k π+ ,k ∈Z,函数g(x)图象
1 1
2
π
的对称轴方程满足ωx-ωφ=k π+ ,k ∈Z,两式相减得ωφ=(k -k )π,k ,k ∈Z,因此|φω|=kπ,k∈N*,A
2 2 1 2 1 2
2
错误,B正确;g(x)=sin(ωx±kπ)=±f(x),因此f(x)与g(x)的零点相同,C正确;取ω=1,φ=π,函数f(x)的递
π π π 3π
增区间为[- +2kπ, +2kπ](k∈Z),函数g(x)的递增区间为[ +2kπ, +2kπ](k∈Z),D错误.故选
2 2 2 2
BC.
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12.2 解析 由题图可知,f(x)的最小正周期T= ×( − )=π,∴ω=2.
3 12 3
∵f (13π) =2,∴2cos (13π +φ ) =2,∴φ=- π +2kπ,k∈Z.∴f(x)=2cos ( 2x- π) .
12 6 6 6
∴f (4π) =f (π) =0,f ( - 7π) =f (π) =2cos( π − π )=1.
3 3 4 4 2 6
由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得f(x)<0或f(x)>1.
结合图象可知,满足f(x)>1的离y轴最近的正数区间为( 0, π) ,无整数;f(x)<0的离y轴最近的正
4
(π 5π)
数区间为 , ,最小正整数x=2.
3 6
π π
13.解 函数f(x)=sin x的图象向右平移 个单位长度后得到y=sin(x- )的图象,再将所得函数图象
4 4
1 π
上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),得到g(x)=sin(ωx- )的图象.
ω 4
π π π 3π π π 3π π
(1)当ω=2时,g(x)=sin(2x- ),当- ≤x≤ 时,- ≤2x- ≤ ,因为函数y=sin t在[- ,- ]上单调
4 4 4 4 4 4 4 2
π π π 3π √2 π √2
递减,在[- , ]上单调递增,sin(- )=-1,sin(- )=- ,sin = .
2 4 2 4 2 4 2
π √2 π π √2
所以-1≤sin(2x- )≤ ,所以y=g(x)在区间[- , ]上的最大值为 .
4 2 4 4 2
π π π πω π π πω π π π
(2)g(x)=sin(ωx- ),当 0,4k+1≤2k+ ⇒k≤ ,当k=0时,1
ωπ π 2 2 4
- ≤(k+1)π,
2 4 ⇒
5 1 1
≤ω≤ ;当k=-1时,-3≤ω≤ ⇒ 0<ω≤ ,当k≤-2时,ω<0舍去.
2 2 2
1 5
综上,ω的取值范围为(0, ]∪[1, ].
2 2
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14.6时 解析 令船底与海底距离为f(t),则f(t)=3sin t+10-[7-0.375(t-2)],t∈[2,10],所以f(t)=3sin
6
π 3t 9 π π 3 3 3 π 3
t+ + ,t∈[2,10],所以f'(t)= cos t+ ,又f'(3)= >0,f'(6)= − <0,f'(9)= >0,所以
6 8 4 2 6 8 8 8 2 8
∃t ∈(2,6),t ∈(6,10),f'(t )=f'(t )=0,所以当2≤t0,当t 4.5,f(6)=4.5,f(10)=6- <4.5,所以当2≤t≤6时,f(t)≥4.5;当6
