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课时规范练 10 指数与对数的运算
基础巩固练
1.(2024·广东江门模拟)若2m=5,4n=3,则43n-m的值是( )
A.0.9 B.1.08
C.2 D.4
2.(2024·福建福州联考)已知2a=5,则lg 20=( )
a+1 a+1
A. B.
a+2 2a+1
a+2 2a+1
C. D.
a+1 a+1
3.(2024·辽宁模拟)苏格兰数学家纳皮尔发明的对数及对数表(部分对数表如下表所示),
为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.因为210=1 024∈[103,104),所以
210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数),已知M30是24位数,则正整数M的值
为( )
N 3 4 5 6 7 8 9
lg N 0.477 1 0.602 1 0.699 0 0.778 2 0.845 1 0.903 1 0.954 2
A.4 B.5 C.6 D.8
4.(2024·安徽临泉模拟)已知4·3m=3·2n=1,则( )
A.m>n>-1 B.n>m>-1
C.my B.x+y<4
1 1 1
C. + < D.xy>4
x y 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx7.(2024·山西大同模拟)(0.064 - 1-(- 7 )0+[(-2)3 - 4-16-0.75= .
) 3 ] 3
9
8.(2024·江西南昌模拟)计算:(log
6
2)2+(log
6
3)2+3log
6
2×(log 6√318−
3
1 log
6
2)+ √32 ×(
4
-
3
1)-1 =
.
9.(2024·四川眉山模拟)18世纪的数学家欧拉在研究调和级数时得到了以下的结果:当n
1 1 1
很大时,1+ + +…+ =ln n+γ(常数γ=0.557…).利用以上公式,可以估计
2 3 n
1 1 1
+ +…+ 的值为 .
10 001 10 002 30 000
综合提升练
10.(多选题)(2024·河南豫南名校检测)设a=log 0.3,b=log 0.4,则下列结论中正确的是(
0.2 0.3
)
A.2a<1+ab B.2a>1+ab
C.a>b D.b>a
5
11.(2024·重庆巴蜀中学模拟)现有一台计算机每秒能进行 ×1015次运算,若需要这台计算
4
机进行2128次运算,那么所需时间约为( )(参考数据:lg 2≈0.301,100.431≈2.698)
A.2.698×1022秒 B.2.698×1023秒
C.2.698×1024秒 D.2.698×1025秒
1
12.(多选题)(2024·江苏南京模拟)已知2log +log b=0,则下列等式一定正确的是( )
3 3
a
A.(2a)2=2b B.a·eln a=b
C.b=2a D.log a=log ab
2 8
p
13.(2024·重庆一中检测)设p>0,q>0,满足log p=log q=log (2p+q),则 = .
2 4 8
q
14.(2025·安徽合肥模拟)log √4 27 log [ 1 log 10-(3 2 ]= .
3 3 2 42 2 √3)3−7log 7 2
4 1 1 c 4c
15.(2025·上海期中)若实数a,b,c满足 + =1, + + =1,则c的最小值是
2a 2b 2a+b 2b 2a
.
16.(13分)(2024·北京模拟)已知a,b,c均为正数,3a=4b=6c,2a=mb,
(1)求m;
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(2)若 − + =2,求3a的值.
c a b
lg3 lg8 lg16
17.(13分)(2025·安徽蚌埠期中)(1)试利用对数运算性质计算 ( + )的值.
lg4 lg9 lg27
y y
(2)已知x,y,z均为正数,若3x=4y=6z,求
−
的值.
z x
(3)定义:一个自然数的数位的个数,叫做位数,例如23的位数是2,2 024的位数是4.试判
断22 024的位数.(注lg 2≈0.301 0)
创新应用练
18.(多选题)(2024·重庆九龙坡模拟)若a,b,c都是正数,且2a=3b=6c,则( )
1 1 2 1 1 1
A. + = B. + =
a b c a b c
C.a+b>4c D.ab>4c2
答案：
43n (4n)3 33
1.B 解析 因为2m=5,4n=3,所以43n-m= = = =1.08.故选B.
4m (2m)2 52
100 log 5 log 5 a 2+a
2.C 解析 由2a=5,得a=log 5,故lg 20=lg =2-lg 5=2- 2 =2- 2 =2- = ,
2
5 log 10 1+log 5 1+a 1+a
2 2
故选C.
23 24
3.C 解析 由题意可知1023≤M30<1024,两边同时取对数可得23≤30lg M<24,所以 ≤lg M< ,
30 30
故0.766 7≤lg M<0.8,由表中数据可知M=6,故选C.
1-log 2·log 4
4.D 解析 由已知得m=-log 4<-1,n=-log 3<-1,又m-n=log 3-log 4= 3 3 >
3 2 2 3
log 2
3
log 2+log 4 log 8
1-( 3 3 ) 2 1-( 3 ) 2
2 2
>0,所以n0,y=log 12= >0,因为
3 4
log 3 log 4
12 12
1 1
log 4>log 3>0,所以 > ,即x>y,故A正确;对于C,由3x=4y=12,得
12 12
log 3 log 4
12 12
1 1 1 1
x=log 12,y=log 12,所以 + = + =log 3+log 4=log 12=1,故C错误;对于D,因
3 4 12 12 12
x y log 12 log 12
3 4
为x>y>0,所以1=
1
+
1
>2
√1
·
1
,得xy>4,故D正确;对于B,因为
1
+
1
=1,所以x+y=xy>4,故B
x y x y x y
错误.故选AD.
7. 23 解析 原式=(0.43 - 1-1+(-2)-4-(24)-0.75=0.4-1-1+ 1 − 1 = 5 − 17 = 23 .
16 ) 3 16 8 2 16 16
8.3 解析 原式=(log 2)2+(log 3)2+3log 2×log √3 9+2
6 6 6 6
=(log 2)2+(log 3)2+3log 2×log 2+2
6 6 6 6
33
=(log 2)2+(log 3)2+2log 2×log 3+2
6 6 6 6
=(log 2+log 3)2+2=(log 6)2+2=3.
6 6 6
1 1 1 1 1 1
9.ln 3 解析 由题意,可得 + +…+ =(1+ +…+ )-(1+ +…+
10 001 10 002 30 000 2 30 000 2
1 30 000
)=ln 30 000+γ-(ln 10 000+γ)=ln 30 000-ln 10 000=ln =ln 3.
10 000 10 000
1
10.AD 解析 +b=log 0.2+log 0.4=log 0.08>log 0.09=2,因为a=log 0.3>log 1=0,所以
0.3 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2
a
2a<1+ab,故A正确,B错误;4a=log 0.008 1log 0.027=3,所以
0.2 0.2 0.3 0.3
b>a,故C错误,D正确.故选AD.
5
11.B 解析 设所需时间为t秒,则t· ×1015=2128,lg t+lg 5-2lg 2+15=128lg 2,∴lg t=131lg 2-
4
16,∴lg t≈131×0.301-16=23.431,∴t≈1023.431=100.431×1023=2.698×1023(秒),故选B.
1
12.BD 解析 由2log +log b=0,得a>0,b>0,且log a-2+log b=0,即log a-2b=0,∴a-2b=1,b=a2,而
3 3 3 3 3
a
此时b=2a不总是成立,则C错误;若(2a)2=2b,即22a=2b,所以b=2a,结合以上分析可知A错误;若
a·eln a=b,即a·a=a2=b,故B正确;因为b=a2,所以log ab=log a3=log a3=log a,所以D正确.故选
8 8 23 2
BD.
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13. 解析 由log p=log q可知log p= 2 = log q=log √q,即p=√q,由log p=log (2p+q)可
2 4 2 2 2 2 8
2 log 4 2
2
log (2p+q)
知log
2
p= 2 =log 2√32p+q,即p=√32p+q,消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),
log 8
2
p 1
当p=2时,q=4,所以 = .
q 2
3
14.-log 2 5 解析 原式=log 334 · log 2 ( 2log 2 10 -3- 7log 7 2 )=(-1)·log 2 (10-3-2)=-log 2 5 .
4 4 4
3
15 4 1 4 1 √ 4 4 1
15. 解析 由 + =1,得 + =1≥2 ,即2a+b≥16,当且仅当 = ,即a=3,b=1时,等
16 2a 2b 2a 2b 2a+b 2a 2b
号成立.
1 c 4c 1+c(2a+4×2b) 4 1
由 + + =1,得 =1,又由 + =1,得2a+4×2b=2a+b,
2a+b 2b 2a 2a+b 2a 2b
2a+b-1 1
所以c= =1- .
2a+b 2a+b
2a+b-1 1 15
因为2a+b≥16,所以c= =1- ≥ ,当且仅当a=3,b=1时,等号成立.
2a+b 2a+b 16
16.解 (1)设3a=4b=6c=k.
∵a,b,c均为正数,∴k>1.
则a=log k,b=log k,c=log k.
3 4 6
lgk
a = log 3 k = lg3 = lg4=log 3 4,又2a=mb,∴m=2a=2log 3 4=4log 3 2.
b log k lgk lg3 b
4
lg4
(2)∵a=log k,b=log k,c=log k,
3 4 6
1 1 1
∴ =log k 3, =log k 4, =log k 6,
a b c
1 1 1 1 1 1 1 3 a 3
∴ − =log k 6-log k 3=log k 2= log k 4= ,又 − + =2,解得b= ,由(1)知, =log 3 4,∴a=
c a 2 2b c a b 4 b 4
log 3 4=log 3 4 3 4 ,∴3a= 3log 3 4 3 4=4 3 4 =2 √2.
lg3 3lg2 4lg2 lg3 17lg2 17
17.解 (1)原式= ( + )= × = .
2lg2 2lg3 3lg3 2lg2 6lg3 12
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)因为x,y,z均为正数,令3x=4y=6z=a,则a>1,所以x=log a,y=log a,z=log a,所以
3 4 6
y y log a log a lna ln6 lna ln3 ln6 ln3 ln2 1
− = 4 − 4 = × − × = − = = .
z x log a log a ln4 lna ln4 lna ln4 ln4 2ln2 2
6 3
(3)设22 024=t,则lg t=2 024·lg 2,又lg 2≈0.301 0,所以lg t≈2 024×0.301 0=609.224,所以t≈10609.224,则
t∈(10609,10610),所以22 024的位数为610.
1 1 1 1
18.BCD 解析 设2a=3b=6c=t,则a=log t= , =log2,b=log t= , =log3,c=log t=
2 t 3 t 6
log 2 a log 3 b
t t
1 1 1 1 1 1 1 b a √b a
, =log6,所以 + = ,B正确,A错误;(a+b)( + )=2+ + ≥2+2 · =4,因为a≠b,
t
log 6 c a b c a b a b a b
t
4
所以b
≠
a ,则等号不成立,所以(a+b)( 1
+
1 )>4,则a+b>
1 1
=4c,所以C正确;因为a+b=ab(
a b a b +
a b
4c
1
+
1 )>4c,所以ab>
1 1
=4c2,所以D正确.故选BCD
a b +
a b
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