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课时规范练 56 最值与范围问题
x2
1.(15分)(2024·广东茂名二模)已知椭圆C: +y2=1,右焦点为F,过点F的直线l交C于
2
A,B两点.
π
(1)若直线l的倾斜角为 ,求|AB|;
4
(2)记线段AB的垂直平分线交直线x=-1于点M,当∠AMB最大时,求直线l的方程.
2.(17分)(2024·湖南长沙一模)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,其准线l与x轴交于点P,
过点P的直线与C交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)若点A是线段PB的中点,求点A的坐标;
(2)若直线AF与C交于点D,记△BDP内切圆的半径为r,求r的取值范围.
x2 y2
3.(17分)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为e,左、右焦点分
a2 b2
x2
别为F ,F ,且直线y=ex是双曲线 -y2=1的一条渐近线.直线x=x 与椭圆E交于C,D两
1 2 0
4
点,且△CDF 的周长最大值为8.椭圆E的左、右顶点分别为A,B,点P,Q为椭圆上异于
1
A,B的两动点,直线PQ与x轴相交于点M(m,0),记直线AP的斜率为k ,直线QB的斜率为
1
k .
2
k
(1)求 1的值;
k
2
(2)若m=1,设△AQP和△BPQ的面积分别为S ,S ,求|S -S |的最大值.
1 2 1 2
√3
4.(17分)(2024·江苏南通二模)已知双曲线E的渐近线为y=± x,左顶点为A(- ,0).
√3
3
(1)求双曲线E的方程;
(2)直线l:x=t交x轴于点D,过点D的直线交双曲线E于B,C,直线AB,AC分别交l于G,H,
若O,A,G,H均在圆P上,
①求点D的横坐标;
②求圆P面积的取值范围.
答案：
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1.解 (1)设A(x ,y ),B(x ,y ).
1 1 2 2
π π
由题意可得F(1,0),因为直线l的倾斜角为 ,所以k=tan =1,因此直线l的方程为y=x-1,联立方
4 4
{x2
+ y2=1, 4 4 1
程 2 消去y得3x2-4x=0,解得x 1 =0,x 2 = ,所以A(0,-1),B( , ),因此|AB|=
3 3 3
y=x-1,
√ 4 1 4√2
(0- ) 2+(-1- ) 2= .
3 3 3
(2)设A(x ,y ),B(x ,y ),由题意得,直线l的斜率不为0,故设l的方程为x=my+1,
1 1 2 2
{x2
+ y2=1,
联立方程
2
消去x得(m2+2)y2+2my-1=0,且判别式Δ>0,
x=my+1,
-2m 1
因此y +y = ,y y =- ,
1 2 1 2
m2+2 m2+2
√1+m2√4m2+4(m2+2) 2√2(1+m2)
所以|AB|=√1+m2√(y + y )2-4 y y = = ,
1 2 1 2 m2+2 m2+2
y + y m 2 1
设线段AB的中点为G,则y = 1 2=- ,x =my +1= ,所以l :y=-m(x- ),可得
G G G MG
2 m2+2 m2+2 m2+2
1
M(-1,
m3+3m
),所以|MG|=
√1+m2(m2+4)
,所以tan ∠AMB 2
|AB|
√2√1+m2,设t=
m2+2 m2+2 = =
2 |MG| m2+4
∠AMB √2√1+m2 √2t √2 √6
= = = ≤
√1+m2,则tan
2 m2+4 t2+3 3 6
,当且仅当t=
√3
,即m=±
√2
时等号成立,当
t+
t
∠AMB
最大时,∠AMB也最大,此时直线l的方程为x=±√2y+1,即x+√2y-1=0或x-√2y-1=0.
2
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2.解 (1)由题意知P(- ,0),设点A(x ,y ),因为点A是线段PB的中点,所以B(2x + ,2y ),又点A,B
0 0 0 0
2 2
{ y2=2x ,
0 0 1 √2 1 √2 1
都在抛物线C上,所以 4 y2=2(2x + 1 ), 解得x 0 = 4 ,y 0 =± 2 ,所以点A的坐标为( 4 , 2 )或( 4 ,-
0 0 2
√2
).
2
1 1
(2)如图,由题意可知直线AB的斜率存在且不为0,F( ,0),设直线AB的方程为y=k(x+
2 2
),k≠0,A(x ,y ),B(x ,y ),由点A在点B的左侧,则00,解得-11,则r= √ 1 1 1,因为函数y= =x-2,y= ,y= 在(1,+∞)上均单调递减,
2 + + x2 2x-1 x
2t-1 t2 t
1
√ 1 1 1
则函数y= + + 在(1,+∞)上单调递减,所以关于t的函数r= √ 1 1 1 在(1,+∞)
2x-1 x2 x + +
2t-1 t2 t
1
上单调递增,所以r> =√2-1,所以r的取值范围为(√2-1,+∞).
√2+1
3.解 (1)设CD与x轴的交点为H,
由题意可知|CH|≤|CF |,则|CF |+|CH|≤|CF |+|CF |=2a,当直线CD过右焦点F 时, CDF 的周
2 1 1 2 2 1
x2 1 △ x2
长取最大值4a=8,所以a=2.双曲线 -y2=1的渐近线为y=± x,又直线y=ex是双曲线 -y2=1的
4 2 4
1 c 1 x2 y2
一条渐近线,所以e= ,即 = ,所以c=1,b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为 + =1.设
2 a 2 4 3
{x2 y2
+ =1,
P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ),直线PQ的方程为x=ty+m,与椭圆方程联立 4 3 消去x得
x=ty+m,
(3t2+4)y2+6tmy+3m2-12=0,则判别式Δ=(6tm)2-4(3t2+4)(3m2-12)=144t2-48m2+192>0,即
-6tm 3m2-12 -6tm 3m2-12
3t2+4>m2,y +y = ,y y = ,所以 = ,即-2tmy y =(m2-4)(y +y ),
1 2 3t2+4 1 2 3t2+4 y + y y y 1 2 1 2
1 2 1 2
由题意,k ≠0,所以
2
y
1
4-m2
(y + y )+(m-2)y
k x +2 y (x -2) (t y +m-2)y t y y +(m-2)y 2m 1 2 1 2-m (2+m)(y + y )-2m y 2-m
1= 1 = 1 2 = 2 1 = 1 2 1= = · 1 2 1 = .
k y y (x +2) (t y +m+2)y t y y +(m+2)y 4-m2 2+m (2-m)(y + y )+2m y 2+m
2 2 2 1 1 2 1 2 2 (y + y )+(m+2)y 1 2 2
x -2 2m 1 2 2
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)若m=1,则直线PQ的方程为x=ty+1,
-6t -9 1 1 1
由(1)知y +y = ,y y = ,S = |AM|·|y -y |,S = |BM|·|y -y |,所以|S -S |= ||AM|-|BM||·|
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
3t2+4 3t2+4 2 2 2
√ -6t 36 12√t2+1 12√t2+1 12
√(y + y )2-4 y y = ( ) 2+ = = =
y 1 -y 2 |= 1 2 1 2 3t2+4 3t2+4 3t2+4 3(t2+1)+1 3√t2+1+ 1
√t2+1
,
1 1
因为t2≥0,则√t2+1≥1.因为函数f(x)=3x+ 在[1,+∞)上单调递增,故3√t2+1+ ≥4,所以|S
1
-
x √t2+1
12
S 2 |≤ =3,当且仅当 √t2+1 =1,即t=0时,等号成立,因此|S 1 -S 2 |的最大值为3.
4
4.解 (1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称,又顶点在x轴上,可设双曲线的方程为
x2 y2 b b √3
− =1(a>0,b>0),从而渐近线方程为y=± x,所以 = .
a2 b2 a a 3
x2
因为双曲线的左顶点为A(-√3,0),所以a=√3,b=1,所以双曲线E的方程为 -y2=1.
3
(2)如图,①由题知,直线BC斜率存在,
设D(t,0),B(x ,y ),C(x ,y ),直线BC的方程为my=x-t,将x=my+t代入双曲线方程,消去x整理得(m2-
1 1 2 2
2mt
3)y2+2mty+t2-3=0,易知该方程有两解,所以m2-3≠0且Δ=12(t2+m2-3)>0,则y +y =- ,y y =
1 2 1 2
m2-3
t2-3
.
m2-3
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设直线AG的倾斜角为α,不妨设0<α< ,则∠AGH= -α,由O,A,G,H四点共圆知
2 2
π
sin( -α)
∠HOD=∠AGH,所以直线OH的倾斜角为π-α,k ·k =tan α·tan(π-α)=sinα 2 =1.
AG OH ×
2 2 cosα π
cos( -α)
2
y y (t+√3) y (t+√3)
又A(-√3,0),直线AC的方程为y= 2 (x+√3),令x=t,则y= 2 ,从而H(t, 2 ),
x +√3 x +√3 x +√3
2 2 2
y (t+√3) y
所以k = 2 ,又k =k = 1 ,
OH t(x +√3) AG AB x +√3
2 1
y y (t+√3)
所以k ·k = 1 × 2 =1 (t+√3)y y =t(x +√3)(x +√3),
AG OH 1 2 1 2
x +√3 t(x +√3)
1 2
⇒
将x =my +t,x =my +t代入上式,得(t+√3)y y =t(my +t+√3)(my +t+√3),所以(t+√3
1 1 2 2 1 2 1 2
t2-3 t2-3 -2mt
)y
1
y
2
=t[m2y
1
y
2
+m(t+√3)(y
1
+y
2
)+(t+√3)2],所以(t+√3)·
m2-3
=t[m2·
m2-3
+m(t+√3)·
m2-3
+(t+√3
√3 √3
)2],化简得4t2+3√3t-3=0,解得t=-√3(不符合题意,舍去)或t= .故点D的坐标为( ,0).
4 4
√3 √3 5√3
②直线AG的方程为y=tan α·(x+√3),由①知t= ,所以G( , tan α).
4 4 4
1 √3 √3
直线OH的方程为y= x,所以H( , ),若G,H在x轴上方时,G在H的上方,即tan
tanα 4 4tanα
5√3 √3 5√3 √3 √5
α>0时, tan α> ;若G,H在x轴下方时,即tan α<0时, tan α< ,所以tan α>
4 4tanα 4 4tanα 5
√5 √3 √5
或tan α<- .又直线AG与双曲线的渐近线不平行,所以tan α≠± .所以0<α<π,tan α> 或tan
5 3 5
√5 √3 √ √3 5√3tanα 1
α< 且tan α≠± .因为OG=
( )
2+(
)
2= √3(1+25tan2α),设圆P的半径为
5 3 4 4 4
OG √3(1+25tan2α)
R,面积为S,则2R= = ,所以R2=
sinα 4sinα
3 (1+25tan2α) 3 (1+25tan2α)(sin2α+cos2α) 3 (1+25tan2α)(1+tan2α) 3
× = × = × =
64 sin2α 64 sin2α 64 tan2α 64
1 3 √ 1 27 1
(25tan2α+ +26)≥ (2 25tan2α· +26)= ,当且仅当25tan2α= ,即tan α=±
tan2α 64 tan2α 16 tan2α
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时,等号成立,又因为tan α> 或tan α<- 且tan α≠± ,故上述不等式取不到等号,所以R2>
5 5 5 3
27 7 27π 7π 27π 7π 7π
且R2≠ ,从而S> 且S≠ .所以圆P面积的取值范围为( , )∪( ,+∞)
16 4 16 4 16 4 4
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