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课时规范练 57 定点与定值问题
1.(15分)(2024·湖南岳阳三模)已知动圆P过定点F(0,1)且与直线y=3相切,记圆心P的轨
迹为曲线E.
(1)已知A,B两点的坐标分别为(-2,1),(2,1),直线AP,BP的斜率分别为k ,k ,证明:k -k =1;
1 2 1 2
(2)若点M(x ,y ),N(x ,y )是轨迹E上的两个动点且x x =-4,设线段MN的中点为Q,圆P与
1 1 2 2 1 2
动点Q的轨迹Γ交于不同于F的三点C,D,G,求证: CDG的重心的横坐标为定值.
△
2.(15分)(2022·全国乙,理20)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过
A(0,-2),B( 3 ,-1)两点.
2
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,
点H满足⃗MT=⃗TH.证明:直线HN过定点.
3.(17分)(2024·安徽皖北五校联考)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且
与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)设动点E的轨迹为曲线C,求曲线C的方程.
(2)曲线C与x轴交于点A ,A .点A 在点A 的右侧,直线l 交曲线C于M,N两点(l 不过点
1 2 2 1 1 1
9
A ),直线A M与直线A N的斜率分别是k ,k 且k k =- ,直线A M和直线A N交于点
2 2 2 1 2 1 2 1 2
4
P(x ,y ).
0 0
①探究直线l 是否过定点,若过定点求出该点坐标,若不过定点请说明理由;
1
②证明:x 为定值,并求出该定值.
0
x2 y2
4.(17分)(2024·山东枣庄模拟)已知点(2,3)在双曲线C: − =1上.
a2 a2+2
(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点,其中O为坐标原点,求证:
AOB的面积S是定值;
1
△(2)已知点P( ,1),过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M,N,在线段MN上取
2
|PM| |MH|
异于点M,N的点H,满足 = ,证明:点H恒在一条定直线上.
|PN| |HN|
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1.证明 (1)设圆心P(x,y),依题意有√(x-0)2+(y-1)2=|y-3|,化简并整理成x2=-4y+8,曲线E的
y-1 y-1 y-1 y-1 -4(y-1)
方程为x2=-4y+8,k = ,k = ,k -k = − = ,又x2=-4y+8,所以
1 2 1 2
x+2 x-2 x+2 x-2 x2-4
-4(y-1) -4(y-1)
= =1,所以k -k =1.
x2-4 -4 y+4 1 2
{x2=-4 y+8,
(2)显然直线MN的斜率存在,如图,设直线MN的方程为y=kx+b,k,b∈R,联立
y=kx+b,
消去y并整理得x2+4kx+4b-8=0,
因为Δ>0,所以x x =4b-8,
1 2
又x x =-4,所以b=1,
1 2
所以x2+4kx-4=0,直线MN的方程为y=kx+1,x +x =-4k,y +y =k(x +x )+2=-4k2+2,所以线段MN的
1 2 1 2 1 2
中点坐标为Q(-2k,-2k2+1).
设Q(x ,y ),则{ x =-2k, 消去k得 =-2y +2,所以点Q的轨迹方程是x2=-2y+2,
3 3 3 x2 3
y =-2k2+1, 3
3
因为圆P过定点F(0,1),设其方程为x2+(y-1)2+mx+n(y-1)=0,m,n∈R,
{x2+(y-1)2+mx+n(y-1)=0,
由 得x4+(4-2n)x2+4mx=0,
x2=-2y+2,
设C,D,G的横坐标分别为c,d,g,因为C,D,G都异于F,所以c,d,g都不为零,故关于x的方程x3+(4-
2n)x+4m=0的根为c,d,g,令(x-c)(x-d)(x-g)=0,即有x3-(c+d+g)x2+(cd+dg+gc)x-cdg=0,所以
c+d+g=0,故△CDG的重心的横坐标为定值.
2.(1)解 设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),
1
{
4n=1, {m= ,
3
则 解得
9
m+n=1, 1
4 n= .
4
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故椭圆E的方程为 + =1.
3 4
(2)证明 由点A(0,-2),B (3 ,-1 ) ,可知直线AB的方程为y= 2 x-2.
2 3
当过点P的直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=1.
{
x=1,
{
x=1,
{
x=1,
由 x2 y2 解得 2√6或 2√6
+ =1, y= y=- ,
3 4 3 3
( 2√6) ( 2√6) 2√6 2 2√6
则点M 1,- ,N 1, .将y=- 代入y= x-2,得x=3-√6,则点T(3-√6,- ).又
3 3 3 3 3
2√6 2√6
2√6 - -
⃗MT=⃗TH ,所以点H(5-2 √6 ,- ),所以直线HN的方程为y-2√6 3 3 (x-1),即y=
3 =
3 5-2√6-1
(2√6 )
+2 x-2,所以直线HN过点(0,-2).当过点P的直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为
3
{y+2=k(x-1),
y+2=k(x-1),点M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
).由 x2 y2 消去y,得(4+3k2)x2-6k(k+2)x+3k(k+4)=0,则
+ =1,
3 4
6k(k+2) 3k(k+4) 2 3
Δ>0,x +x = ,x x = .将y=y 代入y= x-2,得x= (y +2),则点T
1 2 1 2 1 1
4+3k2 4+3k2 3 2
(3 )
(y +2),y .
2 1 1
又⃗MT=⃗TH,所以点H(3y +6-x ,y ).所以直线HN的方程为(3y +6-x -x )(y-y )=(y -y )(x-x ),即
1 1 1 1 1 2 2 1 2 2
(3y +6-x -x )(y-y )-(y -y )(x-x )=0.
1 1 2 2 1 2 2
将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x +x )+3y y +6(y +y )-x y -x y =0.(*)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
6k(k+2) 3k(k+4) -8k-16
因为x +x = ,x x = ,所以y +y =k(x -1)-2+k(x -1)-2=
1 2 1 2 1 2 1 2
4+3k2 4+3k2 4+3k2
-24k -8k2+16k+16
,x y +x y =x [k(x -1)-2]+x [k(x -1)-2]= ,y y =[k(x -1)-2][k(x -1)-2]= ,所以(*)
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
4+3k2 4+3k2
12k(k+2) -24k2+48k+48 -48k-96 -24k
式左边=12- + + − =0=右边,即(*)式成立.所以
4+3k2 4+3k2 4+3k2 4+3k2
直线HN过点(0,-2).
综上所述,直线HN恒过定点(0,-2).
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3.(1)解 如图所示,
因为|AD|=|AC|,EB∥AC,可得∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|
AD|,又圆C的标准方程为(x+1)2+y2=16,可得圆心坐标为A(-1,0),且|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4,又
x2 y2
由B(1,0),可得|AB|=2,即a=2,c=1,b=√3. 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为 + =1(y≠0).
4 3
(2)①解 设点M(x ,y ),N(x ,y ),且直线l :x=my+t,
1 1 2 2 1
{x=my+t,
联立 x2 y2 消去x整理得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,则方程的判别式Δ=(6mt)2-4(3m2+4)
+ =1,
4 3
-6mt 3t2-12
(3t2-12)>0,且y +y = ,y y = ,k k =
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 1 2
y y y y y y
1 2 = 1 2 = 1 2 ,所以
(x -2)(x -2) (m y +t-2)(m y +t-2) m2y y +m(t-2)(y + y )+(t-2)2
1 2 1 2 1 2 1 2
3t2-12
27
3m2+4 9 9 m2t(t-2)
=- ,即(1+ m2)3t2-12 2 9
3t2-12 -6mt 4 4 − +
m2· +m(t-2)( )+(t-2)2 3m2+4 3m2+4 4
3m2+4 3m2+4
(t-2)2=0,
因为t≠2,所以(4+9m2)(t+2)-18m2t+3(t-2)(3m2+4)=0,化简得16t-16=0,解得t=1,所以直线m过定点
F (1,0).
2
x2 y2 3
②证明 设直线A M和直线A N的斜率为k ,k ,因为 1+ 1=1,可得y2= (4-x2),
1 2 A 1 M A 2 N 4 3 1 4 1
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又由k ·k = 1 × 1 = 1 =- ,直线A M与直线A N的斜率分别是k ,k ,且k k =- ,
A 1 M A 2 M x +2 x -2 x2-4 4 2 2 1 2 1 2 4
1 1 1
y
0
k x +2 x -2 1
且直线A
1
M和直线A
2
N交于点P(x
0
,y
0
),所以 MA 1= 0 = 0 = .所以x
0
=4.
k y x +2 3
NA 0 0
2
x -2
0
4 9 y2
4.(1)解 将点(2,3)代入双曲线中, − =1,解得a2=1,故双曲线方程为x2- =1.又双曲线
a2 a2+2 3
x2 y2 x x y y
− =1(a>0,b>0)上一点(x ,y )的切线方程为 0 − 0 =1,设A(x ,y ),B(x ,y ),Q(m,n),则双曲
a2 b2 0 0 a2 b2 1 1 2 2
ny ny
线过点Q(m,n)的切线方程为mx- =1,由双曲线方程得,渐近线方程为y=± x,联立mx- =1与
√3
3 3
3 3
{x = , {x = ,
1 3m-√3n ny 2 3m+√3n
y=√3x,解得 联立mx- =1与y=-√3x,解得
3√3 3 -3√3
y = , y = ,
1 3m-√3n 2 3m+√3n
y- y y - y
直线AB的方程为 1= 2 1,即(y-y )(x -x )-(y -y )(x-x )=0,
1 2 1 2 1 1
x-x x -x
1 2 1
|(- y )(x -x )-(y - y )(-x )| |x y -x y |
故点O到直线AB的距离为 1 2 1 2 1 1 = 1 2 2 1 ,
√(x -x )2+(y - y )2 √(x -x )2+(y - y )2
2 1 2 1 2 1 2 1
且|AB|= ,
√(x -x )2+(y - y )2
2 1 2 1
1|x y -x y | 1
故△AOB的面积为 1 2 2 1 ·√(x -x )2+(y - y )2= |x y -x y |
2 √(x -x )2+(y - y )2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 1 2 1
1| 3 -3√3 3 3√3 |
= · - ·
2 3m-√3n 3m+√3n 3m+√3n 3m-√3n
1|-18√3 | 1|-18√3|
= = =√3,为定值.
2 9m2-3n2 2 9
(2)证明 若直线l斜率不存在,此时直线l与双曲线右支无交点,不合题意,不满足条件,故直线l斜
1 y2 1
率存在,设直线l的方程为y-1=k(x- ),与x2- =1联立,消去y得(3-k2)x2+(k2-2k)x-( k2-k+4)=0,
2 3 4
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{
3-k2≠0,
k2-2k
>0, 1 1 -2-2√13
由 k2-3 因为 k2-k+4= (k-2)2+3>0恒成立,所以k2-3>0,故k2-2k>0,解得
4 4 3
1
k2-k+4
4
>0,
k2-3
