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课时规范练 65 随机事件的概率与古典概型
基础巩固练
1.(2024·北京顺义模拟)已知随机变量X的分布列如表:(其中a为常数)
X 0 1 2 3 4 5
P 0.2 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则P(1≤X≤3)等于( )
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.7
2.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次,用(a,b)表示向上的点数,事件A=“两次点数之和小
于10”,事件B=“两次点数之和能被5整除”,则事件A∩B可表示为( )
A.{(5,5)}
B.{(4,6),(5,5)}
C.{(6,5),(5,5)}
D.{(4,6),(6,4),(5,5)}
3.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,那么互斥不对立的事件是( )
A.“恰有一个黄球”与“恰有一个蓝球”
B.“至少有一个黄球”与“都是黄球”
C.“至少有一个黄球”与“都是蓝球”
D.“至少有一个黄球”与“至少有一个蓝球”
1 2
4.(2024·江西吉安模拟)已知事件A,B是互斥事件,P(A)= ,P( )= ,则P(A∪B)=( )
B
6 3
1 4
A. B.
18 9
1 2
C. D.
2 3
5.(2022·全国甲,文6)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的
2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
1 1
A. B.
5 3
2 2
C. D.
5 3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx6.(多选题)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从
中依次随机取出2个球.事件A=“两次取到的球颜色相同”;事件B=“第二次取到红球”;
事件C=“第一次取到红球”.下列说法正确的是( )
A.A B
B.事件B与事件C是互斥事件
⊆
2
C.P(AB)=
15
2
D.P(B+C)=
3
7.(2022·全国乙,文14)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都
入选的概率为 .
8.(2024·山东枣庄一模)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃
球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为 .
9.(13分)(2024·湖南岳阳模拟)甲、乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比
赛规则为:每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答,答对得1分,答错或不答得0分,
最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩,甲、乙两人在比赛前进行了针对性
训练,训练后的答题情况如下表:
选手 练习题目个数 答错个数
甲 120 24
乙 120 20
若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响,且用频率代替概率.
(1)估计甲、乙两人在比赛时答对题的概率;
(2)设事件A=“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”,求P(A).
10.(15分)某学校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:
性别 七年级 八年级 九年级
女 373 x y
男 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值;
(2)已知y≥245,z≥245,求九年级中女生比男生少的概率;
(3)已知z=218,在全校学生中随机抽取一名学生,则该学生是女生或是九年级学生的概率
是多少?
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11.(2024·河北保定二模)已知圆周率π=3.141 592…,把圆周率通过四舍五入精确到
0.1n(n=1,2,3,4,5)的近似值分别记为a ,a ,a ,a ,a ,若从a ,a ,a ,a ,a 中任取2个数
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
a,a(1≤ia 的概率为( )
i j i j
1 1
A. B.
10 5
3 2
C. D.
10 5
12.(2024·安徽马鞍山三模)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务,每个人从“检
录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位,每个岗位至少有一名志愿
者,则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为( )
3 9
A. B.
20 50
6 12
C. D.
25 25
13.(多选题)某品牌计算机售后保修期为1年,其维修记录资料经统计可以得到如下结论,
这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维
修3次的占4%.设A =“一年内需要维修k次”,k=0,1,2,3,则下列事件的概率正确的是(
k
)
A.在一年内需要维修的概率为0.25
B.在一年内不需要维修的概率为0.75
C.在一年内维修不超过1次的概率为0.9
D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.94
14.(2024·浙江宁波模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,记A,B为事件A,B的对立
事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(AB+AB)=0.5,则P(AB)= .
创新应用练
15.(多选题)设m,n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法不正确的是( )
1
A.曲线C表示双曲线的概率为
5
1
B.曲线C表示椭圆的概率为
6
1
C.曲线C表示圆的概率为
10
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D.曲线C表示两条直线的概率为
5
答案：
1.B 解析 根据分布列概率和为1,可得0.2+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,则
a=0.1,P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.1+0.3=0.5.
2.D 解析 由已知得,事件A={(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},事件B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),
(5,5),(4,6),(6,4)},所以事件A∩B={(4,6),(6,4),(5,5)}.
3.A 解析 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,不同的取球情况共有以下4种:
①3个球全是黄球;②2个黄球和1个蓝球;③1个黄球和2个蓝球;④3个球全是蓝球.
A选项,两个事件可以同时不发生,是互斥不对立的事件,故A正确;B选项,当①发生时,两个事件
同时发生,不是互斥事件,故B错误;C选项,“至少有一个黄球”是情况①②③,“都是蓝球”是情
况④,必然有其中之一发生,是对立事件,故C错误;D选项,当②或③发生时,两个事件同时发生,不
是互斥事件,故D错误.
1
4.C 解析 P(B)=1-P(B)= ,
3
1 1 1
∵事件A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = .
6 3 2
5.C 解析 从6张卡片中无放回随机抽取2张,所有可能的结果是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),
(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),
6 2
(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)共6种,故所求概率为 = ,故选C.
15 5
6.CD 解析 若两次取到绿球,则事件A发生,事件B不发生,故A B,故A错误;事件B与事件C
可能同时发生,故B错误;
⊈
4×3 2
事件AB=“两次都取到红球”,P(AB)= = ,故C正确;事件B+C包含的取球颜色为{(红,
10×9 15
4×3+6×4×2 2
红),(绿,红),(红,绿)},P(B+C)= = ,故D正确.故选CD.
10×9 3
3
7. 解析 设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的
10
可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),
(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.由古典概型公
3
式计算,得甲、乙都入选的概率为
.
10
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8. 解析 依题意,问题相当于从1,2,3,…,10的10个数中任取3个,这3个数的和能被3整除
20
的概率,显然试验的样本空间Ω含有的样本点总数为n(Ω)=C3 =120,它们等可能.10个数中能整
10
除3的有3,6,9;除以3余数是1的有1,4,7,10;除以3余数是2的有2,5,8.
设事件A=“取出的3个数的和能被3整除”,则n(A)=2C3+C3+C1C1C1=42,
3 4 3 3 4
n(A) 42 7
所以P(A)= = = .
n(Ω) 120 20
120-24 4
9.解 (1)由题意,可以估计甲在比赛时答对题的概率为p = = ,乙在比赛时答对题的概
1
120 5
120-20 5
率为p 2 = = .
120 6
(2)设事件B=“某轮比赛中甲得1分”,事件C=“某轮比赛中乙得1分”,
4 5
由(1)知P(B)=p = ,P(C)=p = ,
1 2
5 6
则事件A=BC∪BC∪BC,
4 1 1 5 4 5 29
所以P(A)=P(BC)+P(BC)+P(BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)+P(B)P(C)= × + × + × = .
5 6 5 6 5 6 30
1 1 29
(或P(A)=1-P(B C)=1- × = )
5 6 30
x
10.解 (1)∵ =0.19,∴x=380.
2 000
(2)设事件A=“九年级女生比男生少”,九年级女生数、男生数记为(y,z),
由(1)知x=380,∴y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,y,z∈N.
试验的样本空间Ω={(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245)},共11个样本点,
A={(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251)},共5个样本点.
n(A) 5
∴P(A)= = .
n(Ω) 11
(3)设B=“抽到女生”,C=“抽到九年级学生”,由(2)知y+z=500,又z=218,∴y=282,∴全校女生共
有373+380+282=1 035(名),
1 035 207 500 1 282 141
则有P(B)= = ,P(C)= = ,P(B∩C)= = .
2 000 400 2 000 4 2 000 1 000
∴该学生是女生或九年级学生的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=
207 1 141 1 253
+ − = .
400 4 1 000 2 000
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx11.C 解析 由题意可得a =3.1,a =3.14,a =3.142,a =3.141 6,a =3.141 59,试验的样本空间为
1 2 3 4 5
Ω={(a ,a ),(a ,a ),(a ,a ),(a ,a ),(a ,a ),(a ,a ),(a ,a ),(a ,a ),(a ,a ),(a ,a )},共10个样本点,设事件
1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5
n(A) 3
A=“a i >a j ”,则A={(a 3 ,a 4 ),(a 3 ,a 5 ),(a 4 ,a 5 )},共3个样本点,所以所求概率为 = .
n(Ω) 10
12.C 解析 若人数配比为3∶1∶1时,则有C3A3=60(种)不同安排方法;若人数配比为2∶2∶1
5 3
时,则有C1C1C2=90(种)不同安排方法;所以共有60+90=150(种)不同安排方法.
5 3 4
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3∶1∶1时,则有C1A3=18(种)不同安排方法;
3 3
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为2∶2∶1时,则有C2A3=18(种)不同安排方法,所以
3 3
36 6
共有18+18=36(种)不同安排方法.所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为P= = .
150 25
13.ABC 解析 依题意得P(A )=0.15,P(A )=0.06,P(A )=0.04,且A ,A ,A ,A 两两互斥,由题可知
1 2 3 0 1 2 3
Ω=A ∪A ∪A ∪A ,所以P(A )=1-[P(A )+P(A )+P(A )]=0.75.
0 1 2 3 0 1 2 3
记事件A=“一年内需要维修”,则A=A ∪A ∪A ,所以
1 2 3
P(A)=P(A )+P(A )+P(A )=0.15+0.06+0.04=0.25,故A正确;
1 2 3
记事件B=“一年内不需要维修”,则B=A ,所以P(B)=P(A )=0.75,故B正确;
0 0
记事件C=“在一年内维修不超过1次”,则C=A ∪A ,所以P(C)=P(A )+P(A )=0.75+0.15=0.9,故
0 1 0 1
C正确;
记事件D=“一年内最多需要维修2次”,则D=A ,所以P(D)=1-P(D)=1-P(A )=1-0.04=0.96,故D
3 3
错误.
故选ABC.
14.0.3 解析 由题意得P(B)=1-P(B)=0.7,AB,AB为互斥事件,即AB∩AB= ,所以P(AB+AB)=P(
AB)+P(AB)=0.5,又P(B)=P(AB)+P(AB)=0.7,P(A)=P(AB)+P(AB)=0.6,所以
⌀
2P(AB)+P(AB)+P(A
B)=1.3,所以P(AB)=0.4,则P(AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3.
15.ACD 解析 对于A,当mn<0时,曲线C表示双曲线,则当m>0,n<0时,有C1·C1=6(种),当
3 2
12 1
m<0,n>0时,有C1·C1=6(种),所以曲线C表示双曲线的概率为 = ,故A不正确;
3 2 C1C1 3
6 6
对于B,当m>0,n>0,m≠n时,曲线C表示椭圆,所以有A2=6种,所以曲线C表示椭圆的概率为
3
6 1
= ,故B正确;
C1C1 6
6 6
3 1
对于C,当m=n>0时,曲线C表示圆,有3种情况,所以曲线C表示圆的概率为 = ,故C不
C1C1 12
6 6
正确;
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx对于D,当m=0,n>0或m>0,n=0时,曲线C表示两条直线,当m=0,n>0时,有3种情况,当m>0,n=0
6 1
时,有3种情况,共6种情况,所以曲线C表示两条直线的概率为 = ,故D不正确.
C1C1 6
6 6
故选ACD
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