文档内容
课时规范练 64 二项式定理
基础巩固练
1
1.(2024·广东深圳模拟)(2x2- )6的展开式中二项式系数最大的项为( )
x
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
2.(2024·河北张家口三模)(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为( )
A.-5 B.5
C.-10 D.10
a
3.(2024·辽宁沈阳三模)已知二项式(2x2- )7的展开式中x2的系数是280,则实数a的值等
x
于( )
A.1 B.2
C.±1 D.±2
4.(2024·浙江金丽衢十二校模拟)(1+x-y)5展开式中含x2y项的系数为( )
A.30 B.-30
C.10 D.-10
5.(2024·贵州贵阳二模)已知x5=a +a (x+1)+a (x+1)2+a (x+1)3+a (x+1)4+a (x+1)5,则a =(
0 1 2 3 4 5 2
)
A.15 B.10
C.-10 D.-15
9
6.(2024·湖南长沙二模)∑(1+x)i的展开式中x3的系数为( )
i=3
A.180 B.210
C.240 D.250
7.(2024·浙江温州三模)已知m∈N*,(1+x)2m和(1+x)2m+1的展开式中二项式系数的最大值
分别为a和b,则( )
A.ab
D.a,b的大小关系与m有关
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx2
8.(2024·安徽皖江名校二模)已知(x- )n的展开式中二项式系数和为256,则展开式中系数
x
最大的项为( )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
a 1
9.(2024·浙江嘉兴模拟)(x+ )(2x- )5展开式中的常数项是120,则实数a= .
x x
2
10.(2024·河南三模)若(√3 x+ )n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的值可以是
√x
.(写出一个值即可)
综合提升练
11.(2024·江西上饶模拟)《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,
若a和b同时除以m所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a b(mod m).若a=
C1 +C2 +…+C30,a b(mod 10),则b的值可以是( )
30 30 30 ≡
A.2 021 B.2 022
≡
C.2 023 D.2 024
12.(多选题)(2024·浙江如东模拟)若(x2+x-2)10=a +a x+a x2+a x3+…+a x20,则( )
0 1 2 3 20
A.a =1 024
0
B.a =1
1
C.a =10
19
D.a +a +a +…+a =-512
1 3 5 19
1
13.(多选题)(2024·福建泉州一模)已知(x+ )n(n∈N*)的展开式中共有8项,则该展开式
2√x
结论正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为128
3
B.所有项的系数和为( )8
2
C.系数最大项为第2项
D.有理项共有4项
14.(2025·上海同济大学一附中高三检测)已知(1+2 024x)50+(2 024-x)50= a +a x+a x2+…
0 1 2
+a x50,若a <0,k∈{0,1,2,…,50},则实数k的最大值为 .
50 k
1
15.(2024·河北“五个一”名校联盟模拟)已知 (x3-x+1)n(x+ )n+2的展开式中各项系数
x
和为8,则展开式中常数项为 .
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx创新应用练
16.(2024·江西景德镇三模)若关于x,y的多项式(1+xcos2θ+ ysin2θ)n的展开式中各项系
数之和为64,则n= ;其中含xy的项的系数的最大值为 .
1 6
17.(15分)(2025·上海五爱高级中学检测)已知( +x)6=∑a
i
xi.
4
i=0
+∞
(1)无穷等比数列{b
n
}的首项b
1
=a
3
,公比q=a
4
.求 ∑b
i
的值;
i=1
n
(2)无穷等差数列{c
n
}的首项c
1
=a
5
,公差d=a
6
.求{c
n
}的通项公式和 ∑c
i
.
i=1
答案：
1.C 解析 由题意可知二项展开式共有7项,所以二项式系数最大的项为第4项.
2.A 解析 (1+x)5的展开式通项为T =Crxr,
r+1 5
则(1-x2)(1+x)5的展开式中x4项为C4x4-x2·C2x2=(C4−C2)x4=-5x4,所以(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的
5 5 5 5
系数为C4−C2
=-5.
5 5
a a
3.C 解析 由二项式(2x2- )7展开式的通项为T
r+1
=Cr(2x2)7-r(- )r=27-r·(-a)r ·Crx14-3r,令14-
x 7 x 7
3r=2,解得r=4,所以23·(-a)4·C4=280,解得a=±1.
7
4.B 解析 由题意得,(1+x-y)5展开式中含x2y的项为(C2·x2)·[C1·(-y)]·(C2×12)=-30x2y,所以(1+x-
5 3 2
y)5展开式中含x2y项的系数为-30.
5.C 解析 因为x5=[-1+(x+1)]5,由二项展开式的通项公式,可得T =C2(-1)3(x+1)2,所以a =-10.
3 5 2
9
6.B 解析 ∑(1+x)i=(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9,所以x3系数为
i=3
C3+C3+C3 +…+C3=C4+C3+C3 +…+C3=C4
=210.
3 4 5 9 4 4 5 9 10
7.A 解析 根据二项式系数的性质,得a=Cm ,b=Cm =Cm+1 ,所以b=
2m 2m+1 2m+1
(2m+1)! 2m+1 (2m)! 2m+1
Cm = = · = ·Cm >Cm =a,从而a1, 8 = 8 >1,故C6 26最大,因此第7项的系数最大.
C424 C4 5 C828 4 8
8 8 8
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1
9.2 解析 ∵(2x- )5展开式的通项公式为T
r+1
=(-1)r Cr25-rx5-2r(r=0,1,2,…,5),令5-2r=-1,得r=3,即
x 5
40
T 4 =- C322x-1=- .
5 x
令5-2r=1,得r=2,即T =C223x=80x,
3 5
a 1 a
∴(x+ )(2x- )5展开式中的常数项为x·T
4
+ ·T
3
=-40+80a,故-40+80a=120,解得a=2.
x x x
2
10.5(答案不唯一,满足n=5k,k∈N*即可) 解析 (√3 x+ )n的展开式的通项公式为T =
r+1
√x
C n r(√3 x)n-r ( √ 2 x )r=2r C n rx n 3 -r x - 1 2 r=2r C n rx n 3 - 5 6 r =2r C n rx6 1 (2n-5r)(0≤r≤n且r∈N),令 6 1 (2n-5r)=0,则
2n
r= ,又0≤r≤n且r∈N,所以n=5k,k∈N*.
5
11.C 解析 a=C1 +C2 +…+C30=230-1=810-1=(10-2)10-1=C0 1010+C1 109×(-2)+C2 108×(-2)2+…
30 30 30 10 10 10
+C10(-2)10-1=10[109+C1 108×(-2)+…+C9 (-2)9]+1 024-1=10[109+C1 108×(-2)+…+C9
10 10 10 10 10
(-2)9+102]+3,所以a除以10的余数为3,选项中除以10余数为3的数只有2 023.
12.ACD 解析 令x=0,得a =(-2)10=1 024,故A正确;
0
令x=1,得a +a +…+a =0,
0 1 20
令x=-1,得a -a +a -a +…+a -a +a =1 024,
0 1 2 3 18 19 20
两式相减得a +a +a +…+a =-512,故D正确;
1 3 5 19
易知(x2+x-2)10=(x-1)10(x+2)10,而(x-1)10中的常数项为1,含x项为C9 x×(-1)9=-10x,含x9项为C1
10 10
x9×(-1)=-10x9,含x10项为x10,同理(x+2)10中的常数项为1 024,含x项为C9 x×29=5 120x,含x9项为
10
C1 x9×2=20x9,含x10项为x10,所以a =1×5 120+(-10)×1 024=-5 120,故B错误;
10 1
a =-10×1+1×20=10,故C正确.
19
故选ACD.
1
13.AD 解析 因为(x+ )n的展开式共有8项,所以n=7.故所有项的二项式系数和为27=128,
2√x
1 3
故A正确;令x=1,可得所有项的系数和为(1+ )7≠( )8,故B错误;因为展开式的通项公式为T =
r+1
2 2
1 1
{
( )
r·Cr≥(
)
r-1·Cr-1,
C 7 r· x7-r·( 2√ 1 x )r=( 1 2 )r ·C 7 r·x 7- 3 2 r ,r=0,1,2,…,7.设T r+1 项系数最大,由
(
2 1
)
r·C 7 r≥( 2 1
)
r+1·C 7 r+1, 解
2 7 2 7
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx8
{r≤ ,
3 3r
得 则r=2,故第3项的系数最大,故C错误;由7- 为整数,且r=0,1,2,…,7,可知r的值可以
5 2
r≥ ,
3
为0,2,4,6,所以展开式中,有理项共有4项,故D正确.故选AD.
14.23 解析 因为(1+2 024x)50展开式中xk的系数为Ck 2 024k,(2 024-x)50展开式中xk的系数为
50
Ck 2 02450-k(-1)k,所以(1+2 024x)50+(2 024-x)50展开式中xk的系数为Ck 2 024k+Ck 2 02450-k(-1)k=
50 50 50
Ck 2 024k[1+2 02450-2k(-1)k],k=0,1,2,…,50.要使a<0,则k为奇数,且2 02450-2k>1,所以50-2k>0,则
50 k
k<25,所以k的最大值为23.
15.-2 解析 令x=1,可得展开式中各项系数的和为(13-1+1)n(1+1)n+2=2n+2=8,解得n=1.
1 1
(x+ )3的展开式的通项公式为T
r+1
= Cr· x3-r·( )r= Cr· x3-2r,
x 3 x 3
1 1 1 1
因为(x3-x+1)(x+ )3=x3(x+ )3-x·(x+ )3+(x+ )3,
x x x x
所以展开式中常数项为x3·x-3-x·C2x-1=1-3=-2.
3
15
16.6 解析 (1+xcos2θ+ ysin2θ)n的展开式中各项系数之和为64,则令x=y=1,得2n=64,
2
解得n=6,所以(1+xcos2θ+ ysin2θ)6的展开式中含xy的项的系数为C1cos2θ·C1
6 5
cos2θ+sin2θ 15
sin2θ=30cos2θsin2θ≤30( )2= ,
2 2
1 15
当且仅当cos2θ=sin2θ= 时等号成立,即最大值为 .
2 2
17.解 (1)(
1
+x)6的展开式的通项公式为T
=Ck(1) 6-k
xk,
4 k+1 6 4
因为 ( 4 1 +x) 6 =∑ 6 a i xi,所以a 3 =C 6 3( 4 1) 3 = 1 5 6 =b 1 ,q=a 4 =C 6 4( 4 1) 2 = 1 1 6 5 ,
i=0
5 (15) n
[1- ]
所以 ∑ n b i = b 1 (1-qn) = 16 16 =5[1-(15) n ],故 ∑ +∞ b i =5.
i=1 1-q
1-
15 16 i=1
16
1 3
(2) 由(1)知,等差数列{c
n
}首项c
1
=a
5
=C5× = ,公差d=a
6
= C6=1,所以等差数列{c
n
}的通项公式
6 4 2 6
3 2n+1
为c n = 3 +(n-1)×1= 2n+1 ,等差数列{c n }的前n项和为 ∑ n c i =( 2 + 2 )n n2+2n
2 2 =
i=1
2 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(3)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群
552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新
永不过期
(4)
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
