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课时规范练 63 排列与组合
基础巩固练
1.某单位计划举行庆祝活动,共有4个节目,要求A节目不排在第一个,则节目安排的方法
数为( )
A.9 B.18
C.24 D.27
2.(2024·江苏宿迁三模)甲、乙、丙等5人站成一排,甲、乙相邻,且乙、丙不相邻,则不同
排法共有( )
A.24种 B.36种
C.48种 D.72种
3.(2020·新高考Ⅱ,6)3名学生假期到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去1个村,每个
村至少去1名志愿者,则不同的安排方法共有( )
A.2种 B.3种
C.6种 D.8种
4.(2024·山东滨州二模)某单位安排5名同志在5月1日至5日值班,每天安排1人,每人
值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天,丙不安排在5月3日,则不同的安排方
案共有( )
A.42种 B.40种
C.36种 D.30种
5.(2025·上海青浦模拟)已知a ,a ,…,a 是1,2,…,n(n≥2,n∈N)满足下列性质T的一个排
1 2 n
列,性质T:排列a ,a ,…,a 中有且仅有一个a >a (i∈{1,2,…,n-1}),当n=5时,满足性质T
1 2 n 1 i+1
的数列的个数是( )
A.6 B.24
C.5 D.120
6.(2024·河南新乡二模)老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人,其中甲分得2
本,乙、丙每人至少分得一本,则不同的分法有( )
A.248种 B.168种
C.360种 D.210种
7.(2024·山东青岛二模)甲、乙、丙、丁、戊5名调查员分别去城东、城南、城西、城
北四个区域进行数据采集,每个区域至少去一名调查员,若甲不去城东,则不同的安排方
法共有( )
A.36种 B.60种
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxC.96种 D.180种
8.(多选题)(2024·新疆克孜勒苏模拟)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念,
下列结论正确的是( )
A.站成一排不同的站法共有120种
B.若甲和乙不相邻,则不同的站法共有36种
C.若甲站在最中间,则不同的站法共有24种
D.若甲不站排头,则不同的站法共有96种
9.(2024·福建泉州模拟)围棋在中国古时称“弈”,是一种策略性二人棋类游戏.围棋棋盘
由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成.则围棋棋盘上的矩形数量为
.(用数字作答)
10.(2024·山东聊城三模)2本相同的图画书和2本不同的音乐书全部分给3个小朋友,每
人至少1本,且2本图画书不分给同一个小朋友,则不同的分法共有 种.
综合提升练
11.(2024·河南九师联盟联考)有除颜色外大小相同的9个小球,其中有2个红球,3个白
球,4个黑球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,要求2个红球相邻,3个白球两两互不
相邻,不同的排列种数为( )
A.100 B.120
C.10 800 D.21 600
12.(2025·重庆九龙坡模拟)在某次竞赛活动的组织过程中,有甲、乙等5名教师参加了接
待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名教师只参加一个服务项目,每个服务项目至少
有一名教师参加.若甲、乙两名教师不参加同一个服务项目,则不同的安排方案有( )
A.108种
B.114种
C.150种
D.240种
13.(2024·浙江金华模拟)将1至8这8个整数排成一列,要求任意相邻两项互质,则不同的
排列方法有 种.
14.(2024·福建厦门模拟)有10名演员,其中8人会唱歌,5人会跳舞,现要表演一个2人唱
歌2人伴舞的节目,则不同的选派方法共有 种.
15.(17分)(2025·北京房山检测)设数列{d }(n∈N*),d 为1,2,3,…,n的满足下列性质T的排
n n
列a ,a ,…,a 的个数,性质T:排列中仅存在一个i,i∈{1,2,…,n-1},使得a>a .
1 2 n i i+1
(1)求d ,d 的值,并写出n=3时其中一种排列的情形;
1 2
(2)若n=4,求满足性质T的所有排列的情形;
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(3)求数列{d }的通项公式.
n
创新应用练
16.(多选题)某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买),甲、
乙两人打算购买两张该播放厅的票,且甲、乙不坐前两排.( )
A.若甲、乙左右相邻,则购票的情况共有54种
B.若甲、乙不在同一列,则购票的情况共有1 154种
C.若甲、乙前后相邻,则购票的情况共有21种
D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧,且不坐同一排,则购票的情况共有508种
答案：
1.B 解析 由题意,先从后面3个位置中选择一个安排A节目,然后其他3个节目任意排在剩下
的3个位置,共有C1A3=18种方法.
3 3
2.B 解析 甲、乙捆绑在一起看成一个整体,与丙以外的2人全排列,有A3A2=12(种)排法,又因
3 2
为乙、丙不相邻,所以把丙放入一共有3种,所以一共有12×3=36(种)排法.
3.C 解析 先将3名学生分成两个组,有C1C2=3(种)方法;再将分好的两组学生安排到2个村,有
3 2
A2 =2(种)方法.根据分步乘法计数原理,得不同的安排方法共有3×2=6(种).
2
4.B 解析 甲、乙相邻的排列数是A2A4,其中甲、乙相邻且丙排在5月3日的排列数为2A2A2,
2 4 2 2
所以不同的安排方案共有A2A4-2A2A2=40(种).
2 4 2 2
5.B 解析 当n=5时,a ,a ,…,a 是1,2,3,4,5的一个排列,由排列a ,a ,…,a 中有且仅有一个
1 2 5 1 2 5
a >a (i∈{1,2,3,4}),可得a =2,a ,a ,a ,a 是1,3,4,5的任意一个排列,则满足性质的数列一共有A4
1 i+1 1 2 3 4 5 4
=24(个).
6.D 解析 第一类:甲、乙、丙每人分得2本,有C2C2C2=90(种)分法;
6 4 2
第二类:甲分得2本,乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本,有C2C1C3A2=120(种)分法.所
6 4 3 2
以由分类加法计数原理可得共有90+120=210(种)不同的分法.
7.D 解析 城东去1人,不同安排方法有C1C2A3=144(种);
4 4 3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx城东去2人,不同安排方法有C2A3=36(种),
4 3
所以不同的安排方法共有144+36=180(种).
8.ACD 解析 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排,不同的站队方式共有A5=120(种),故A正确;
5
甲和乙不相邻的站队方式有A3A2=72(种),故B不正确;甲在最中间的不同的站队方式有A4
3 4 4
=24(种),故C正确;甲不站排头,则先从其余四人中选一人站排头,再将其余三人与甲任意排,故不
同的站队方式有C1 A4 =96(种),故D正确.故选ACD.
4 4
9.29 241 解析 矩形是在同一平面内,由两组平行线段组成,且每两相交线段均垂直的闭合图形.
则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可构成矩形,即C2 C2 =29 241.
19 19
10.15 解析 由题可知,1个小朋友分得2本书,且此2本均为音乐书,或者1本图画书、1本音乐
书,其他小朋友各分得1本书.
若2本均为音乐书,有C1=3(种)分法;
3
若1本图画书、1本音乐书,有C1C1A2=12(种)分法.故共有3+12=15(种)不同的分法.
3 2 2
11.A 解析 将4个黑球放好有一种,形成5个空,从中选一个空将2个红球作为一个整体排上,有
C1种排法,如此就形成6个空,将3个白球插空到6个空中,有C3种排法,故共有C1C3 =100(种)不
5 6 5 6
同排法.
C2C2
12.B 解析 5名教师按3∶1∶1分组有C3种方法,按2∶2∶1分组有 5 3种分法,因此5名教
5 A2
2
C2C2
师的安排方案有(C3+ 5 3 )A3种,当甲、乙在同一组时,甲乙可视为1个人,即相当于4名教师
5 A2 3
2
C2C2
的安排方案,有C2A3种,所以所求不同的安排方案有(C3+ 5 3 )A3−C2A3 =25×6-6×6=114(种).
4 3 5 A2 3 4 3
2
13.1 728 解析 由于任意相邻两项互质,所以偶数必须隔开,所以先把四个奇数排成一列有A4种
4
方法,然后把偶数插空进去,四个偶数中只有6不能与3相邻,其他偶数可以随意插空,所以先考虑
把6插空,有A1种选择,剩下的3个偶数在剩下的4个空中随意插空,所以共有A4A1A3=1
3 4 3 4
728(种)排列方法.
14.199 解析 由题意,易知10名演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞,3人既会唱歌又会跳舞,以
只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究:
①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员,有C2C2种选派方法;
3 3
②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员,有C1C1C2种选派方法;
5 3 4
③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员,有C2C2种选派方法.
5 5
由分类加法计数原理知,选派方法共有C2C2+C1C1C2+C2C2=199(种).
3 3 5 3 4 5 5
15.解 (1)由性质T的定义可知:当n=1时,由1构成的排列不满足性质,故d =0;
1
当n=2时,由构成的排列2,1满足性质T,故d =1;
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx当n=3时,由1,2,3构成的所有排列为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2),其中满足仅存在
一个i∈{1,2,3},使得a>a 的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),从中任选一个即可.
i i+1
(2)若n=4,由1,2,3,4构成的所有A4=24种排列中,符合性质T的排列有(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),
4
(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,2,4),(3,4,1,2),(4,1,2,3),故d =11.
4
(3)由(1),(2)可得d =0,d =1,d =4,d =11,同理可得d =26,可归纳出d =2n-n-1.
1 2 3 4 5 n
证明:∵在1,2,…,n的所有排列(a ,a ,…,a )中,若a =n(1≤i≤n-1),从(n-1)个数1,2,3,…,n-1中选
1 2 n 1
(i-1)个数,从小到大排列为a ,a ,…,a ,其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置,∴满足题意
1 2 i-1
的排列个数为Ci-1 ,若a=n-1,则满足题意的排列个数为d ,
n-1 i n-1
n-1
综上,d
n
=d
n-1
+∑Ci-1=d
n-1
+2n-1-1,即d
n
-d
n-1
=2n-1-1,∴d
n
=(d
n
-d
n-1
)+(d
n-1
-d
n-2
)+…+(d
2
-d
1
)=21+22+…
n-1
i=1
2×(1-2n-1)
+2n-1-(n-1)×(-1)= +1-n=2n-n-1,故数列{d }的通项公式为d =2n-n-1.
n n
1-2
16.ABD 解析 若甲、乙左右相邻,先选座位,在第三排有10种,在第四排有4种,在第五排有3
种,在第六排有6种,在第七排有4种,共有27种.再考虑甲、乙顺序,有A2=2(种),所以一共有
2
27×2=54(种)购票情况,故A正确;
甲、乙在同一列的情况共有A2+A2+A2+A2+A2+A2+A2+A2 =106(种),则甲、乙不在同一列
3 5 5 3 2 4 5 5
的情况有A2 -106=1 154(种),故B正确;
36
若甲、乙前后相邻,先选座位,有2+4+4+1+2+4+4=21(种),再考虑甲乙顺序,有A2=2(种),所以一
2
共有21×2=42(种)购票情况,故C错误;
中心线左侧有18个座位,右侧有18个座位.甲、乙分坐于两侧,有A2×18×18=648(种).
2
甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑),有A2(5×6+3×3+3×2+4×4+3×3)=140(种),所以甲、
2
乙分坐于两侧,且不坐同一排的购票情况共有648-140=508(种),故D正确.
故选ABD
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