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课时规范练 30 三角函数中的综合问题
√3
1.(13分)(2024·北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin 2B= bcos B.
7
(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.
13 5
①b=3;②cos B= ;③csin A= √3.
14 2
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
2.(15分)(2025·云南昭通开学考试)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2(1-
sin 2B)+b2(1-sin 2A)=c2.
(1)求角C;
(2)若a=2,求△ABC的面积S的取值范围.
9 a 2
3.(15分)(2024·天津,16)在△ABC中,cos B= ,b=5, = .
16 c 3
(1)求a;
(2)求sin A;
(3)求cos(B-2A).
4.(15分)(2022·全国乙,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-
B)=sin Bsin(C-A).
(1)若A=2B,求C;
(2)证明:2a2=b2+c2.
答案：
√3 √3
1.解 (1)∵sin 2B= bcos B,∴2sin B·cos B= bcos B.
7 7
π
又A为钝角,∴B∈(0, ),
2
∴cos B≠0,
√3 b 14√3
∴2sin B= b,∴ = .
7 sinB 3
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由正弦定理得 = ,
sin A sinB
7 14√3 √3 2π
则 = ,∴sin A= ,∴A= .
sin A 3 2 3
2π 2π
(2)若选①.由(1)知A= ,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即49=9+c2-2×3×c×cos ,即
3 3
1 1 √3 15√3
c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),∴S ABC = bcsin A= ×3×5× = .
2 2 2 4
△
13 3√3 √3
若选②.由cos B= ,得sin B= .又2sin B= b,∴b=3.
14 14 7
2π
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即49=9+c2-2×3×c×cos ,即c2+3c-40=0,
3
解得c=5或c=-8(舍去),
1 1 √3 15√3
∴S ABC = bcsin A= ×3×5× = .
2 2 2 4
△
5√3 √3 5√3
若选③.由csin A= ,得 c= ,
2 2 2
∴c=5.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
2π
即49=b2+25-2×b×5×cos ,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),
3
1 1 √3 15√3
∴S ABC = bcsin A= ×3×5× = .
2 2 2 4
△
2.解 (1)由a2(1-sin 2B)+b2(1-sin 2A)=c2,得a2+b2-c2=a2sin 2B+b2sin 2A,
由余弦定理得2abcos C=a2sin 2B+b2sin 2A,
a b sin A sinB
再由正弦定理及倍角公式得2cos C= sin 2B+ sin 2A= ·sin 2B+ ·sin 2A=2sin Acos
b a sinB sin A
π
B+2sin Bcos A=2sin(A+B)=2sin C,得cos C=sin C,即tan C=1,故在锐角△ABC中有C= .
4
π 1 √2
(2)a=2,C= ,则S= absin C= b.
4 2 2
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由正弦定理 a
=
b ,有b=
asinB
2sin(
4
-A),所以b=
sin A sinB =
sinA sinA
3π
2sin( -A)
4 √2sinA+√2cosA √2cosA
= =√2+ .
sinA sinA sinA
π
{ 00,∴sin C=sin(C-A).
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∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C= ,
2
π+4A
又A+B+C=π,∴ =π,
2
π 5π
解得A= .∴C= .
4 8
(2)证明 (方法一)∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),∴sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B(sin Ccos A-
cos Csin A),
即sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A-sin Bcos Csin A,
即sin A(sin Ccos B+cos Csin B)=2sin B·sin Ccos A,即sin Asin(B+C)=2sin B·sin Ccos A,即
sin2A=2sin Bsin Ccos A.
b2+c2-a2
由正弦定理、余弦定理,得a2=2bc· ,即a2=b2+c2-a2,
2bc
故2a2=b2+c2.
(方法二)∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C.
a2+c2-b2 b2+c2-a2 b2+c2-a2 a2+b2-c2
由正弦定理及余弦定理,得ca· -cb· =bc· -ba· ,化简整理,
2ac 2bc 2bc 2ab
得2a2=b2+c2
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