课时规范练 30 三角函数中的综合问题
√3
1.(13分)(2024·北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin 2B= bcos B.
7
(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.
13 5
①b=3;②cos B= ;③csin A= √3.
14 2
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
2.(15分)(2025·云南昭通开学考试)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2(1-
sin 2B)+b2(1-sin 2A)=c2.
(1)求角C;
(2)若a=2,求△ABC的面积S的取值范围.
9 a 2
3.(15分)(2024·天津,16)在△ABC中,cos B= ,b=5, = .
16 c 3
(1)求a;
(2)求sin A;
(3)求cos(B-2A).
4.(15分)(2022·全国乙,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-
B)=sin Bsin(C-A).
(1)若A=2B,求C;
(2)证明:2a2=b2+c2.
答案：
√3 √3
1.解 (1)∵sin 2B= bcos B,∴2sin B·cos B= bcos B.
7 7
π
又A为钝角,∴B∈(0, ),
2
∴cos B≠0,
√3 b 14√3
∴2sin B= b,∴ = .
7 sinB 3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxa b
由正弦定理得 = ,
sin A sinB
7 14√3 √3 2π
则 = ,∴sin A= ,∴A= .
sin A 3 2 3
2π 2π
(2)若选①.由(1)知A= ,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即49=9+c2-2×3×c×cos ,即
3 3
1 1 √3 15√3
c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),∴S ABC = bcsin A= ×3×5× = .
2 2 2 4
△
13 3√3 √3
若选②.由cos B= ,得sin B= .又2sin B= b,∴b=3.
14 14 7
2π
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即49=9+c2-2×3×c×cos ,即c2+3c-40=0,
3
解得c=5或c=-8(舍去),
1 1 √3 15√3
∴S ABC = bcsin A= ×3×5× = .
2 2 2 4
△
5√3 √3 5√3
若选③.由csin A= ,得 c= ,
2 2 2
∴c=5.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
2π
即49=b2+25-2×b×5×cos ,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),
3
1 1 √3 15√3
∴S ABC = bcsin A= ×3×5× = .
2 2 2 4
△
2.解 (1)由a2(1-sin 2B)+b2(1-sin 2A)=c2,得a2+b2-c2=a2sin 2B+b2sin 2A,
由余弦定理得2abcos C=a2sin 2B+b2sin 2A,
a b sin A sinB
再由正弦定理及倍角公式得2cos C= sin 2B+ sin 2A= ·sin 2B+ ·sin 2A=2sin Acos
b a sinB sin A
π
B+2sin Bcos A=2sin(A+B)=2sin C,得cos C=sin C,即tan C=1,故在锐角△ABC中有C= .
4
π 1 √2
(2)a=2,C= ,则S= absin C= b.
4 2 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3π
由正弦定理 a
=
b ,有b=
asinB
2sin(
4
-A),所以b=
sin A sinB =
sinA sinA
3π
2sin( -A)
4 √2sinA+√2cosA √2cosA
= =√2+ .
sinA sinA sinA
π
{ 0<A< ,
2 π π
又△ABC是锐角三角形,有 得A∈( , ),
3π π 4 2
0< -A< ,
4 2
√2 cosA 1
则tan A∈(1,+∞),所以S= b=1+ =1+ ∈(1,2),即△ABC的面积S的取值范围为
2 sinA tanA
(1,2).
a 2 3a
3.解 (1)∵ = ,∴c= .
c 3 2
9
又cos B= ,b=5,
16
∴b2=a2+c2-2accos B,
3a 3a 9
即52=a2+( )2-2a· · ,
2 2 16
∴a2=16,∴a=4.
9
(2)∵cos B= ,B为△ABC的内角,
16
sin A 4
∴sin B=√1-cos2B= √ 1-( 9 ) 2= 5√7, ∴ sinA = a ,即 5√7 = 5 ,∴sin A= √7 .
16 16 sinB b 4
16
√ √7 3
(3)∵a=4,b=5,∴a<b,∴A<B,∴A为锐角.∴cos A=√1-sin2A= 1-( ) 2= .∴sin 2A=2sin
4 4
√7 3 3√7 3 1
Acos A=2× × = ,cos 2A=2cos2A-1=2×( )2-1= .∴cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=
4 4 8 4 8
9 1 5√7 3√7 57
× + × = .
16 8 16 8 64
4.(1)解 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),A=2B,∴sin Csin B=sin Bsin(C-A).
又sin B>0,∴sin C=sin(C-A).
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxπ+A
∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C= ,
2
π+4A
又A+B+C=π,∴ =π,
2
π 5π
解得A= .∴C= .
4 8
(2)证明 (方法一)∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),∴sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B(sin Ccos A-
cos Csin A),
即sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A-sin Bcos Csin A,
即sin A(sin Ccos B+cos Csin B)=2sin B·sin Ccos A,即sin Asin(B+C)=2sin B·sin Ccos A,即
sin2A=2sin Bsin Ccos A.
b2+c2-a2
由正弦定理、余弦定理,得a2=2bc· ,即a2=b2+c2-a2,
2bc
故2a2=b2+c2.
(方法二)∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C.
a2+c2-b2 b2+c2-a2 b2+c2-a2 a2+b2-c2
由正弦定理及余弦定理,得ca· -cb· =bc· -ba· ,化简整理,
2ac 2bc 2bc 2ab
得2a2=b2+c2
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键
转存自动更新永不过期
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
