课时规范练 2 常用逻辑用语
基础巩固练
π
1.(2024·山东青岛三模)已知命题p: x∈(0, ),sin x<x,则¬p:( )
2
∀
π
A. x (0, ),sin x>x
2
∃ ∉
π
B. x∈(0, ),sin x>x
2
∃
π
C. x (0, ),sin x≥x
2
∃ ∉
π
D. x∈(0, ),sin x≥x
2
∃
2.(2024·四川泸州模拟)已知a,b为实数,则“a>1,b>1”是“log b>0”的( )
a
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024·山东济南二模)已知A={x|1<x<2},B={x|x<a},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必
要条件,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1]
B.[1,+∞)
C.(-∞,2]
D.[2,+∞)
4.(2024·江苏盐城模拟)已知集合M,N,则“M∩N=M”是“M∪N=N”的( )条件.
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
5.(2024·陕西咸阳模拟)“ln(x-1)<0”的一个必要不充分条件是( )
1
A.-1<x<-
e
B.x>0
C.-1<x<0
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D.1<x<
2
6.已知命题p: x∈[0,+∞),x2-4x+4>0,命题q: x∈R,ex=10x,则下列选项正确的是( )
A.p和q都是真命题
∀ ∃
B.¬p和q都是真命题
C.p和¬q都是真命题
D.¬p和¬q都是真命题
7.(2024·广东潮州模拟)命题“∃x∈[1,3],x2-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是(
)
A.a≥9
B.a≤9
C.a≥10
D.a≤10
8.(多选题)下列四个说法中,正确的有( )
A. x∈R,2x>0
B. x∈R,x2+x+1≤0
∀
C.命题“∀x∈R,sin x<2x”的否定是“∃x∈R,sin x≥2x”
∃
x x 1
D.命题“∃x∈R,sin2 +cos2 = ”是真命题
2 2 2
9.(2024·山西吕梁模拟)若命题“∃x ∈R,a=|x |+1”为真命题,则实数a的取值范围为
0 0
.(用区间表示)
10.(2024·辽宁沈阳期末)若命题“∃x∈R,x2-mx+9<0”为假命题,则m的取值范围是
.
综合提升练
11.(2024·安徽合肥二模)设α,β是两个不同的平面,a,b是两条不同直线,则α∥β的一个充
分条件是( )
A.a∥α,b∥β,a∥b
B.a⊥α,b⊥β,a⊥b
C.a⊥α,b⊥β,a∥b
D.a∥α,b∥β,a与b相交
12.(2024·辽宁大连模拟)命题“∃x>0,ax2+x+1<0”为假命题的一个充分不必要条件是(
)
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A.a≥-
4
B.a≥0
C.a≥1
D.a<1
13.(2024·广东广州模拟)已知p: x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q: x∈R,x2-4x+a=0.若p为假命题,q
为真命题,则a的取值范围是( )
∀ ∃
A.[-3,4] B.(-3,4]
C.(-∞,-3) D.[4,+∞)
14.(多选题)(2024·广东深圳模拟)下列命题中,为真命题的有( )
1
A. x>0,x+ ≥2
x
∀
1
B. x<0,x+ >-2
x
∃
x 1
C. x>0, ≥
1+x2 2
∀
x 1
D. x<0, ≤-
1+x2 2
∃
15.(2024·山西太原模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“cos 2A>cos 2B”
是“a<b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.(13分)(2025·北京人大附中模拟)设a,b,c为△ABC的三边,求方程x2+2ax+b2=0与
x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件.
创新应用练
3
17.(13分)已知集合A={x|(x-a)(x-a+1)≤0},B={x| >1}.
x+2
(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)设命题p: x∈B,x2+(2m+1)x+m2-m>8,若命题p为假命题,求实数m的取值范围.
∃
答案：
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1.D 解析 命题p: x∈(0, ),sin x<x为全称量词命题,则¬p为∃x∈(0, ),sin x≥x.
2 2
∀
2.A 解析 当a>1,b>1时,必有log b>0成立;但当log b>0时,有a>1,b>1或0<a<1,0<b<1,因此
a a
“a>1,b>1”是“log b>0”的充分不必要条件,故选A.
a
3.D 解析 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A B,所以a≥2.
4.C 解析 因为M∩N=M等价于M N,M∪N=N等价于M N,所以“M∩N=M”是“M∪N=N”的
⫋
充要条件.
⊆ ⊆
5.B 解析 ln(x-1)<0等价于0<x-1<1,即1<x<2.
因为(1,2) (0,+∞),所以“x>0”是“1<x<2”的必要不充分条件,其他选项均不满足,所以
“ln(x-1)<0”的一个必要不充分条件是“x>0”.
⫋
6.B 解析 对于p,取x=2,则x2-4x+4=0,故p是假命题,¬p是真命题;
对于q,令h(x)=ex-10x,h(0.1)=e0.1-1>e0-1=0,h(1)=e-10<0,h(x)的图象在[0.1,1]上是连续不断的,由零
点存在定理可知,存在x ∈(0.1,1),使得h(x )=0,故q是真命题,¬q是假命题.
0 0
综上,¬p和q都是真命题.故选B.
7.C 解析 因为命题“∃x∈[1,3],x2-a>0”为假命题,所以命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题,即
a≥x2对∀x∈[1,3]恒成立,所以a≥9,因为[10,+∞) [9,+∞),所以命题“∃x∈[1,3],x2-a>0”为假命题
的一个充分不必要条件是a≥10.
⫋
1 3
8.AC 解析 由指数函数的知识可知A正确;因为x2+x+1=(x+ )2+ >0,所以B错误;由全称量
2 4
x x
词命题的否定形式可知C正确;由同角三角函数的基本关系式可知,sin2 +cos2 =1恒成立,故D
2 2
错误.故选AC.
9.[1,+∞) 解析 因为|x|+1≥1,即函数y=|x|+1的值域为[1,+∞),所以实数a的取值范围为[1,+∞).
10.[-6,6] 解析 因为命题“∃x∈R,x2-mx+9<0”为假命题,所以命题“∀x∈R,x2-mx+9≥0”为真命
题,所以Δ=(-m)2-4×9≤0,解得-6≤m≤6,所以m的取值范围是[-6,6].
11.C 解析 当a∥α,b∥β,a∥b时,α,β可能相交,故A错误;当a⊥α,b⊥β,a⊥b时,α,β可能相交,故
B错误;因为a⊥α,a∥b,所以b⊥α,又b⊥β,所以α∥β,故C正确;当a∥α,b∥β,a与b相交时,α,β可
能相交,故D错误.
12.C 解析 因为命题“∃x>0,ax2+x+1<0”为假命题,所以对∀x>0,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,
ax2+x+1=x+1>0在区间(0,+∞)上恒成立,所以a=0满足条件;当a>0时,令h(x)=ax2+x+1,图象对
1
称轴为直线x=- <0,且h(0)=1>0,所以当x∈(0,+∞)时,ax2+x+1>0恒成立;当a<0时,显然有
2a
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxax2+x+1≥0不恒成立,故对∀x>0,ax2+x+1≥0恒成立时,有a≥0,所以满足条件的a的取值范围应
该是[0,+∞)的真子集,故选C.
13.A 解析 由题意知p: x∈[-1,2],x2-2x+a<0为假命题,则¬p: x∈[-1,2],x2-2x+a≥0为真命题,当
x∈[-1,2]时,y=x2-2x+a的图象的对称轴为直线x=1,此时其最大值为(-1)2+2+a=3+a,则
∀ ∃
3+a≥0,∴a≥-3;又q: x∈R,x2-4x+a=0为真命题,所以Δ=16-4a≥0,即得a≤4.
综上,a的取值范围是[-3,4].
∃
1 √ 1
14.AD 解析 对于A,利用基本不等式可得∀x>0,x+ ≥2 x· =2,当且仅当x=1时,等号成立,
x x
1 1 √ 1
故A正确;对于B,对于∀x<0,x+ =-(-x+ )≤-2 -x· =-2,当且仅当x=-1时,等号成立,即
x -x -x
x 1 1 1
1 = ≤ =
命题∃x<0,x+ x >-2不成立,故B错误;对于C,易知对于∀x>0, 1+x2 x+ 1 2 √ x· 1 2,当且
x x
x 1 x 1
仅当x=1时,等号成立,故C错误;对于D,易知当x=-1时, =- ,即∃x<0, ≤- ,故D正确.
1+x2 2 1+x2 2
故选AD.
15.C 解析 cos 2A>cos 2B 1-2sin2A>1-2sin2B sin2A<sin2B,而A,B∈(0,π),∴sin A>0,sin B>0,故
⇔ a ⇔b
sin A<sin B,由正弦定理可得sin A<sin B⇔ < (R为△ABC外接圆半径) a<b,反之也成立,
2R 2R
⇔
即“cos 2A>cos 2B”是“a<b”的充要条件,故选C.
16.解 必要性:
设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m,显然m≠0.
则m2+2am+b2=0,m2+2cm-b2=0,两式相加,得m=-(a+c).
将m=-(a+c)代入m2+2am+b2=0,得[-(a+c)]2+2a[-(a+c)]+b2=0,整理得a2=b2+c2.所以A=90°.
充分性:
当A=90°时,a2=b2+c2,于是x2+2ax+b2=0等价于x2+2ax+a2-c2=0,所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,该方
程有两根x =-(a+c),x =-(a-c).
1 2
同样x2+2cx-b2=0等价于x2+2cx-a2+c2=0,所以[x+(a+c)][x+(c-a)]=0,该方程也有两根x =-
3
(a+c),x =-(c-a).
4
显然x =x ,两方程有公共根.
1 3
故方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
3 x-1
17.解 (1)依题意得A=[a-1,a],由 >1,得 <0,解得-2<x<1,所以B=(-2,1).
x+2 x+2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx由于x∈A是x∈B的充分不必要条件,
{a-1>-2,
所以 得-1<a<1,即实数a的取值范围是(-1,1).
a<1,
(2)由于命题p: x∈(-2,1),x2+(2m+1)x+m2-m>8为假命题,所以¬p: x∈(-2,1),x2+(2m+1)x+m2-m≤8
为真命题,即∀x∃ ∈(-2,1),x2+(2m+1)x+m2-m-8≤0为真命题.
∀
{f (-2)≤0, {m2-5m-6≤0,
构造函数f(x)=x2+(2m+1)x+m2-m-8,f(x)的图象开口向上,所以 即
f (1)≤0, m2+m-6≤0,
解得-1≤m≤2,即实数m的取值范围是[-1,2]
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