文档内容
课时规范练 29 解三角形的实际应用
基础巩固练
1.(2024·河北高三学业考试)如图,一艘船沿正北方向航行,航行速度为每小时30海里,在
A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上.1小时后,船航行到B处,在B处看灯塔S在船
的北偏东75°的方向上,则船航行到B处时与灯塔S的距离为( )
A.15√2海里
B.15√6海里
C.30√2海里
D.10√6海里
2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观
察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
3.(2024·河南驻马店模拟)如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.
为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度MC=100√3
m,NB=50√2 m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,
以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为( )
A.100√2 m B.120 m
C.100√3 m D.200 m
4.(2024·江西上饶模拟)矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达
天下”的美好寓意.某中学研究性学习小组为测量其高度,在和它底部位于同一水平高度
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的共线三点A,B,C处测得铜雕顶端P处仰角分别为
, ,
,且AB=BC=20 m,点O为P
6 4 3
在底部的投影,则铜雕的高度为( )
A.15√6 m B.10√6 m
C.6√6 m D.5√6 m
5.(多选题)(2024·广东佛山期中)如图,为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高
BC,测量船沿航线DA航行,且DA与AC在同一铅直平面内,测量船在D处测得
∠BDA=α,∠CDA=β,然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处,测得
∠BEA=γ,∠CEA=δ(δ>γ>β>α,测量船的高度忽略不计),则( )
msinγsinα
A.AB=
sin(δ-α)
msinγ
B.BD=
sin(γ-α)
msinα
C.BC=
cosδsin(γ-α)
msinδ
D.CD=
sin(δ-β)
6.(2024·安徽合肥模拟)如图,某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工
程人员先选取直线DE上的三点A,B,C,设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角
为15°,B处的俯角为45°,C处的俯角为30°,且测得AB=1.4 km,BD=0.2 km,CE=0.5 km,则
拟修建的隧道DE的长为 km.
综合提升练
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx7.(15分)(2024·安徽宿州期中)宿州市泗县县政府始终坚持财力有一分增长,民生有一分
改善,全力打造我县民生样板,使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”,老厂房、旧仓
库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房,计划对其改造,规划图如图中五边形
11π π π
ABCDE所示,其中△BDE为等腰三角形,且∠CDE= ,∠BCD= ,∠CBD= ,CD=4
12 3 4
km,计划沿线段BE修建步行道.
(1)求步行道BE的长度;
2π
(2)现准备将△ABE区域建为绿化带且∠BAE= ,当绿化带的周长最大时,求该绿化带
3
的周长与面积.
创新应用练
8.(15分)(2024·湖北武汉期中)某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5米)
的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE.如图所示,广告牌底部点E正好为DC
的中点,电梯AC的坡度∠CAB=30°.某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角
√3
∠DPE=θ,当人在A点时,观测到视角∠DAE的正切值为 .
9
(1)设BC的长为m米,用m表示tan∠DAB;
(2)求扶梯AC的长;
(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时,求CP的长.
答案：
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1.A 解析 由题意得,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=30,∠BSA=75°-30°=45°,由正弦定理得
AB BS 30 BS
= ,即 = ,解得BS=15√2(海里).
sin∠BSA sin∠BAS sin45° sin30°
2.B 解析 灯塔A,B的相对位置如图所示.
由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°.
即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
3.A 解析 由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100√3 m,NB=50√2 m,∠MAN=45°,且
MC
∠MCA=∠NBA=90°,在Rt ACM中,可得AM= =200 m,在Rt ABN中,可得AN=
sin60°
△ △
NB
=100 m,
√2
sin30°
在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20 000,所以MN=100√2 m.
π x π
4.B 解析 设PO=x m,在Rt POC中,∠PCO= ,所以CO= ,在Rt POB中,∠PBO= ,所以
3 √3 4
△ △
π
BO=x,在Rt PAO中,∠PAO= ,所以AO= x,在△BOC和△BOA中分别用余弦定理得
√3
6
△
x2
x2+400-
cos∠OBC+cos∠OBA=
3
x2+400-3x2=0,解得x=10
√6
或x=-10
√6
(舍去),即铜雕
+
40x 40x
的高度为10√6 m.
5.BD 解析 在△BDE中,∠BDE=α,∠DBE=∠BEA-∠BDE=γ-α,∠BED=π-γ,由正弦定理得,
DE BD BE m BD BE msinγ
= = ,即 = = ,所以BD= ,BE=
sin∠DBE sin∠BED sin∠BDE sin(γ-α) sinγ sinα sin(γ-α)
msinα msinγsinα msinαcosγ
,故B正确;且AB=BDsin α= ,故A错误;AE=BEcos γ= ,在
sin(γ-α) sin(γ-α) sin(γ-α)
BC BE
△BCE中,∠BCE= π -δ,∠BEC=δ-γ,在△BCE中,由正弦定理得, = ,所以
sin(δ-γ) π
2 sin( -δ)
2
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BC= = ,故C错误;对于D,在△CDE中,
cosδ cosδsin(γ-α)
∠CDE=β,∠DCE=∠CEA-∠CDE=δ-β,∠CED=π-δ,又在△CDE中,由正弦定理得,
CD DE msinδ
= ,所以CD= ,故D正确.故选BD.
sin∠CED sin∠DCE sin(δ-β)
6.0.7 解析 由题意知,∠PAD=15°,∠PBD=45°,∠PCE=30°,∠APB=30°.在△PAB中,由正弦定理
AB PB 1.4 PB
得 = ,即 = ,所以PB=2.8sin 15°.
sin∠APB sin∠PAB sin30° sin15°
在△PBC中,因为∠BPC=180°-∠PBD-∠PCE=180°-45°-30°=105°,由正弦定理得
PB BC PB BC PB
= ,即 = ,所以BC= ×sin 105°=2PB×sin
sinC sin∠BPC sin30° sin105° sin30°
105°=5.6×sin 15°×sin 105°=5.6×sin 15°×cos 15°=2.8sin 30°=1.4(km),所以DE=BC-BD-EC=1.4-
0.2-0.5=0.7(km),
即拟修建的隧道DE的长为0.7 km.
BD 4
7.解 (1)在△BCD中,由正弦定理 BD
=
CD ,得
π
=
π
,解得BD=2
√6
,而
sin∠BCD sin∠CBD sin sin
3 4
π π 5π
∠BCD= ,∠CBD= ,则∠BDC=π-(∠BCD+∠CBD)= ,即有∠BDE=∠CDE-∠BDC=
3 4 12
11π 5π π
− = ,又△BDE为等腰三角形,所以△BDE为等腰直角三角形,则BD=DE=2 √6 ,所以
12 12 2
BE=√2BD=4√3,即步行道BE的长度为4√3 km.
(2)在△ABE中,由余弦定理得BE2=BA2+AE2-2BA·AE·cos∠BAE,
(BA+AE)2 3
得48=BA2+AE2+BA·AE=(BA+AE)2-BA·AE≥(BA+AE)2- = (BA+AE)2,当且仅当
4 4
BA=AE=4时等号成立,则当BA=AE=4时,BA+AE取最大值8, ABE的周长为BA+AE+BE=8+4
△ 1 √3
√3,所以绿化带的周长最大为(8+4√3)km,此时绿化带的面积S
△ABE
= ×4×4× =4√3(km2).
2 2
8.解 (1)因为在Rt ABC中,∠CAB=30°,B=90°,BC=m,所以AB=√3m.
△
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx因为DE=5,点E是DC的中点,从而DB=2DE+BC=10+m,
DB 10+m
所以tan∠DAB= = .
AB √3m
10+m 5+m
(2)由(1)有tan∠DAB= ,其中BC=m,而在Rt EAB中,tan∠EAB= ,
√3m √3m
△
√3
又因为tan∠DAE= ,∠DAB=∠EAB+∠DAE,
9
tan∠EAB+tan∠DAE
所以tan∠DAB=tan(∠EAB+∠DAE)= ,
1-tan∠EABtan∠DAE
5+m √3
+
10+m √3m 9
即 = ,
√3m 5+m √3
1- ·
√3m 9
5 5
解得m= 或m=5,注意到AC>5,所以m=5(否则m= 时,有AC=2m=5,矛盾),
2 2
所以扶梯AC的长度为10米.
(3)作PQ⊥BC于点Q,如图所示,
设CQ=x,则PQ=√3x,PC=2x,由(2)可知x∈(0,5],
10+x 5+x
tan∠DPQ= ,tan∠EPQ= ,
√3x √3x
当tan∠DPE取最大值时,∠DPE取最大值,
tan∠DPE=tan(∠DPQ-∠EPQ)=
10+x 5+x
-
√3x √3x 5√3x 5√3 5√3 √3 ,
= = ≤ =
10+x 5+x 3x2+(x2+15x+50) 50 2√200+15 4√2+3
1+ · 4x+ +15
√3x √3x x
5√2
当且仅当x= 时等号成立,所以此时CP=2x=5√2
2
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