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课时规范练 8 函数的奇偶性、周期性
基础巩固练
1.(2024·天津耀华中学检测)下列函数中,为偶函数的是( )
x
A.f(x)=
x-1
B.f(x)=√x2
C.f(x)=√1-x+√x-1
1
D.f(x)=x+
x
x2-1
2.(2024·河南新乡期末)已知函数f(x)= 是奇函数,则a=( )
x+a
A.0 B.1
C.-1 D.2
3.已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2,则f(a)+f(b)=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.(2025·江苏南京质检)函数f(x)是周期函数,10是f(x)的一个周期,且f(2)=√2,则f(22)等于
( )
A.√2 B.-√2
C.0 D.10
5.(2024·江苏镇江模拟)若函数f(x)=πx-π-x+2 023x,则不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集为(
)
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.(0,1] D.[-1,1]
6.(多选题)(2024·浙江丽水开学考试)设函数f(x)=ecos x,则下列选项正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期函数
C.f(x)有最大值
D.f(x)是增函数
7.(多选题)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则函数g(x)的解析式可以是( )
1+x
A.g(x)=lg
1-x
B.g(x)=3x-3-x关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
1 1
C.g(x)= +
2 2x+1
D.g(x)=ln(√x2+1+x)
8.(2024·江西吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈[0,2)时,
f(x)=log (x+1),则f(49)= .
2
9.(2023·全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin ( x+ π)为偶函数,则a= .
2
综合提升练
{ 21+x-21-x,x≥0,
10.(2024·浙江金华模拟)已知函数f(x)= 是定义在R上的偶函数,则
m·2x+n·2-x,x<0
m-n等于( )
A.2 B.0
C.-2 D.-4
11.(多选题)(2024·河北唐山模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+4)+f(x)=0,当
2x+a
0≤x≤2时,f(x)= ,则下列选项正确的是( )
2x+1
A.a=-1
B.a=-2
C.f(-33)<f(40)<f(19)
D.f(40)<f(-33)<f(19)
12.(多选题)定义在R上的函数f(x)满足:x为整数时,f(x)=2 024;x不为整数时,f(x)=0,则(
)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C. x∈R,f(f(x))=2 024
D.f(x)的最小正周期为1
∀
13.(2024·湖北部分名校模拟)已知函数y=f(x),对任意x∈R,都有f(x+3)f(x)=k(k为常数),且
当x∈[0,3]时,f(x)=x2+1,则f(2 023)= .
x+1
14.(2024·陕西渭南期末)若f(x)=(x+a)ln 为偶函数,则a等于 .
x-1
15.(13分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时
f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)的值.
创新应用练
16.(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数,f(x)为奇函数,当
2 025 i
x∈[0,1]时,f(x)=ax+b,若f(-1)+f(2)=1,则 ∑ f( )=( )
2
i=1
1
A.- B.0
2
2 025
C.1 D.
2
答案：
1.B 解析 选项A中,函数定义域是{x|x≠1},不关于原点对称,是非奇非偶函数;选项B中,函数定
义域是(-∞,+∞),f(-x)=√(-x)2=√x2=f(x),是偶函数;选项C中,函数定义域是{1},不关于原点对称,
1
是非奇非偶函数;选项D中,函数定义域是{x|x≠0},f(-x)=-x- =-f(x),是奇函数,故选B.
x
x2-1 x2-1
2.A 解析 由函数f(x)是奇函数,得f(x)+f(-x)=0,则 + =0,解得a=0.此时函数f(x)=
x+a -x+a
x2-1
,它的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是奇函数,所以a=0.故选A.
x
3.A 解析 依题意得a-4+2a-2=0,解得a=2,由f(0)=b+2=0,得b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.
故选A.
4.A 解析 因为10是函数y=f(x)的周期,所以f(22)=f(12+10)=f(12)=f(2+10)=f(2)=√2.故选A.
5.A 解析 f(x)的定义域为R,因为f(-x)=π-x-πx-2 023x=-(πx-π-x+2 023x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,所
以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x),因为y=πx,y=-π-x,y=2 023x在R上均单调递增,
所以f(x)在R上单调递增,所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故选A.
6.ABC 解析 对于A,因为f(x)=ecos x的定义域为R,又f(-x)=ecos(-x)=ecos x=f(x),所以f(x)是偶函数,A
选项正确.
对于B,易知f(x+2π)=ecos(x+2π)=ecos x=f(x),所以2π是f(x)的一个周期,B选项正确.
对于C,易知cos x≤1,所以f(x)≤e,所以f(x)有最大值,C选项正确.
对于D,因为y=cos x在区间(0,π)内单调递减,y=ex在R上单调递增,所以f(x)在区间(0,π)内单调递
减,D选项错误.故选ABC.关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
7.BD 解析 因为f(x)=x3g(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即g(-x)=-g(x),所以g(x)是定
义在R上的奇函数.
对于A,函数定义域为(-1,1),A不符合题意;对于B,函数定义域为R,g(-x)=3-x-3x=-g(x),B符合题意;
1 1 1 2x 3 1
对于C,函数定义域为R,g(-x)= + = + = − ≠-g(x),C不符合题意;对于D,函
2 2-x+1 2 1+2x 2 1+2x
数定义域为R,g(-x)=ln(√x2+1-x),而g(-x)+g(x)=ln(√x2+1-x)+ln(√x2+1+x)=0,D符合题意.
故选BD.
8.1 解析 由题知,函数f(x)的周期为4,所以f(49)=f(4×12+1)=f(1)=log (1+1)=1.
2
9.2 解析 由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-
a)x+cos x+1.
∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2+(2-a)x+cos x+1,解得a=2.
10.D 解析 当x>0时,因为f(x)是偶函数,所以有f(x)=f(-x),即21+x-21-x=m·2-x+n·2x,即(2x)2(2-
{2-n=0,
n)=m+2,要想x>0时,式子(2x)2(2-n)=m+2恒成立,只需 则m-n=-4.
m+2=0,
当x<0时,因为f(x)是偶函数,所以有f(x)=f(-x),即21-x-21+x=m·2x+n·2-x,即(2-x)2(2-n)=m+2,要想x<0
{2-n=0,
时,式子(2-x)2(2-n)=m+2恒成立,只需 则m-n=-4.
m+2=0,
综上所述,m-n=-4.
1+a
11.AC 解析 已知函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,即f(0)= =0,解得a=-1,A正确,B错误;
1+1
又因为f(x+4)+f(x)=0,即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),从而函数f(x)的周期为8,f(-33)=f(-1-4×8)=f(-1)=-
f(1),f(40)=f(0+5×8)=f(0),f(19)=f(3+2×8)=f(3)=-f(-1)=f(1).
2x-1 1 1 1
因为当0≤x≤2时,f(x)= ,所以f(1)= ,从而f(-33)=-f(1)=- ,f(40)=0,f(19)= ,所以
2x+1 3 3 3
f(-33)<f(40)<f(19),C正确,D错误.故选AC.
12.BCD 解析 对于A,f(1)=2 024,f(-1)=2 024,f(-x)=-f(x)不恒成立,则f(x)不是奇函数,A错误;对于
B,若x为整数,则-x也是整数,则有f(x)=f(-x)=2 024,若x不为整数,则-x也不为整数,则有f(x)=f(-
x)=0,综上可得f(x)=f(-x),f(x)是偶函数,B正确;对于C,若x为整数,f(x)=2 024,x不为整数时,f(x)=0,
总之f(x)是整数,则f(f(x))=2 024,C正确;对于D,若x为整数,则x+1也为整数,若x不为整数,则
x+1也不为整数,总之有f(x+1)=f(x),f(x)的周期为1,若t(0<t<1)也是f(x)的周期,而x和x+t可能一
个是整数,另一个不是整数,则有f(x)≠f(x+t),故f(x)的最小正周期为1,D正确.故选BCD.
13.2 解析 因为对任意x∈R,都有f(x+3)f(x)=k,k为常数,所以f(x+6)f(x+3)=k,从而f(x+6)=f(x),即
f(x)的周期为6,所以f(2 023)=f(1)=2.关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
x+1
14.0 解析 由 >0,得x<-1或x>1,则函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
x-1
x+1 -2+1 2+1 1
因为f(x)=(x+a)ln 为偶函数,所以f(-2)=f(2),所以(-2+a)ln =(2+a)ln ,(a-2)ln
x-1 -2-1 2-1 3
x+1 -x+1 x-1
=(a+2)ln 3,得-(a-2)ln 3=(a+2)ln 3,解得a=0,当a=0时,f(x)=xln ,则f(-x)=-xln =-xln
x-1 -x-1 x+1
x+1 x+1 x+1
=-xln( )-1=xln =f(x),所以f(x)=xln 为偶函数,所以a=0符合题意.
x-1 x-1 x-1
15.(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x)是周期函数,且T=4是其一个周期.
(2)解 令x∈[-2,0],则-x∈[0,2],∴f(-x)=-2x-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是定义在R上的奇函数,即f(-x)=-
f(x),∴当x∈[-2,0]时,f(x)=2x+x2,由x∈[2,4],得x-4∈[-2,0],则f(x-4)=2(x-4)+(x-4)2=x2-6x+8.∵f(x)
的周期是4,∴f(x)=f(x-4)=x2-6x+8,∴当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)解 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
∴f(0)=2×0-02=0,f(1)=2×1-12=1,当x∈[2,4]时,f(2)=22-6×2+8=0,f(3)=32-6×3+8=-1,f(4)=42-
6×4+8=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.
∵f(x)是周期为4的函数,且2 026=4×506+2,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 025)=506×0+f(0)+f(1)=1.
16.A 解析 因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
当x∈[0,1]时,f(x)=ax+b,则f(0)=b,f(1)=a+b.
又当x=0时,f(0)=-f(0),所以f(0)=0,所以b=0.
当x=1时,f(0)=f(2)=0,f(-1)=-f(1),又因为f(-1)+f(2)=1,所以f(1)=-1,则a=-1,因此当x∈[0,1]时,
f(x)=-x.
因为f(x+4)=f[1-(x+3)]=f(-x-2)=-f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x),所以函数f(x)的周期是4.
1 1 1 3 3 1 1 5 5
当x= 时,f( )=- ;当x=1时,f(1)=-1;当x= 时,f( )=f( )=- ;当x=2时,f(2)=0;当x= 时,f( )=-f(
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 7 7 3 1
)= ;当x=3时,f(3)=-f(1)=1;当x= 时,f( )=-f( )= ;当x=4时,f(4)=-f(2)=0;…
2 2 2 2 2 2
2 025 i 1 3 2 024 2 025 1 1
则 ∑ f( )=f( )+f(1)+f( )+f(2)+…+f( )+f( )=f( )=- ,故选A
2 2 2 2 2 2 2
i=1
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