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课时规范练 23 同角三角函数基本关系式与诱
导公式
基础巩固练
17π
1.(2024·江苏扬州期中)sin(- )的值是( )
6
√3 1
A. B.-
2 2
√3 1
C.- D.
2 2
3 sinα+cosα
2.(2024·广东广州期末)若tan α= ,则 =( )
4 sinα-cosα
A.-1 B.1
C.-7 D.7
cosα 2sinα
3.(2024·湖南衡阳月考)若角α的终边在第三象限,则 + 的值为( )
√1-sin2α √1-cos2α
A.3 B.-3
C.1 D.-1
4.设sin 25°=a,则sin 65°cos 115°tan 205°=( )
a2 a2
A. B.-
√1-a2 √1-a2
C.-a2 D.a2
5.(多选题)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是( )
sinα
A.tan α=-
cosα
B.cos α=-√1-sin2α
C.sin α=-√1-cos2α
sinα
D.tan α=
cosα
1
6.(多选题)已知sin(π+α)=- ,则下列计算正确的是( )
2
1 π √3
A.sin(5π-α)= B.sin( +α)=
2 2 2
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3π 1 π
C.cos(α- )=- D.tan( -α)=
√3
2 2 2
7.sin(-570°)+cos(-2 640°)+tan 1 665°= .
1 π
8.(2024·江苏南通期末)已知sin(π-x)= ,x∈(0, ),则tan x= .
3 2
tan(2π-x)sin(-2π-x)cos(6π-x)cos(π-x)
9. = .
3π π
sin(x+ )cos( -x)
2 2
π 1
10.(13分)(2024·北京模拟)(1)若α是第二象限角,且cos( +α)=- ,求tan α的值.
2 3
3π
(2)已知f(α)=
sin(3π-α)cos(2π-α)sin( -α),
2
cos(π-α)sin(-π-α)
化简f(α),在(1)的条件下,求f(α)的值.
综合提升练
sinα-sin3α
11.(2024·四川高三第一次统一监测)已知sin α=2cos α,则 =( )
π
sin(α+ )
2
3 2
A. B.
5 5
2 3
C.- D.-
5 5
12.(2024·广东河源模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过
点P(sin 138°,cos 138°),则tan(α+18°)=( )
√3
A. B.
√3
3
√3
C.- D.-
√3
3
13.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的是( )
A.sin(A+B)=sin C
B+C A
B.sin =cos
2 2
π
C.tan(A+B)=-tan C(C≠ )
2
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D.cos(A+B)=cos C
π
14.(2024·山东烟台模拟)已知α∈(0, ),4sin α-3cos α=3,则tan α= .
2
1
15.(13分)(2024·北京模拟)在①4sin(2 022π+α)=-3cos(2 024π+α);②sin α+cos α= ;③α,β
5
的终边关于x轴对称,并且4sin β=3cos β这三个条件中任选一个,补充在横线上,并回答
问题.
已知第四象限角α满足 ,求下列各式的值.
3sinα+4cosα
(1) ;
cosα-sinα
(2)sin2α+3sin αcos α.
创新应用练
16.已知α为第二象限角,且满足sin α
√1-cosα
+cos α
√1-sinα
=
7
,则sin 2α= .
1+cosα 1+sinα 5
答案：
17π 17π 5π 1
1.B 解析 sin(- )=-sin =-sin =- .故选B.
6 6 6 2
3
+1
2.C 解析 sinα+cosα tanα+1 4 =-7.故选C.
= =
sinα-cosα tanα-1 3
-1
4
cosα 2sinα
3.B 解析 因为角α的终边在第三象限,所以sin α<0,cos α<0,所以原式= + =-3.
-cosα -sinα
4.C 解析 因为sin 65°=cos 25°,cos 115°=cos(90°+25°)=-sin 25°,tan 205°=tan(180°+25°)=tan
sin25°
25°= ,所以sin 65°cos 115°tan 205°=-sin225°=-a2.
cos25°
5.BD 解析 由α是第二象限角,得sin α>0,cos α<0,tan α<0.
sinα sinα
对于A,- >0,即有tan α<- ,A错误;
cosα cosα
对于B,由sin2α+cos2α=1,即cos2α=1-sin2α,得cos α=-√1-sin2α,B正确;
对于C,-√1-cos2α≤0,于是sin α>-√1-cos2α,C错误;
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sinα
对于D,由商数关系知,tan α= 成立,D正确.故选BD.
cosα
1 1 √3
6.AC 解析 依题意,sin(π+α)=-sin α=- ,sin α= ,所以cos α=±√1-sin2α =± ,所以sin(5π-
2 2 2
1 π √3 3π 1
α)=sin α= ,A选项正确;sin( +α)=cos α=± ,B选项错误;cos(α- )=-sin α=- ,C选项正确.
2 2 2 2 2
π
sin( -α)
tan(π-α)= 2 cosα=± ,D选项错误.故选AC.
= √3
2 π sinα
cos( -α)
2
7.1 解析 原式=sin(-570°+720°)+cos(-2 640°+2 880°)+tan(1 665°-1 620°)=sin 150°+cos 240°
1 1
+tan 45°=sin 30°-cos 60°+1= − +1=1.
2 2
√2 1 1
8. 解析 由sin(π-x)= ,得sin x= .
4 3 3
因为x∈(0, π ),所以cos x=√1-sin2x= √ 1- 1 = 2√2 ,
2 9 3
sinx 1 √2
所以tan x= = = .
cosx 2√2 4
9.sin x 解析 tan(2π-x)=-tan x,sin(-2π-x)=sin(-x)=-sin x,
cos(6π-x)=cos x,cos(π-x)=-cos x,
3π π
sin(x+ )=-cos x,cos( -x)=sin x,
2 2
(-tanx)·(-sinx)·cosx·(-cosx)
原式= =tan x·cos x=sin x.
(-cosx)·sinx
π 1
10.解 (1)∵cos( +α)=-sin α=- ,
2 3
1
∴sin α= ,又α是第二象限角,
3
2√2 sinα √2
∴cos α=-√1-sin2α =- ,则tan α= =- .
3 cosα 4
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3π
(2)f(α)=
sin(3π-α)cos(2π-α)sin( -α)=sinαcosα(-cosα)
=cos α,由(1)知,cos α=-
2
(-cosα)sinα
cos(π-α)sin(-π-α)
2√2 2√2
,则f(α)=cos α=- .
3 3
sinα-sin3α sinα(1-sin2α)
=
11.B 解析 由sin α=2cos α,显然cos α≠0,可得tan α=2,因为
π cosα
sin(α+ )
2
sinα-sin3α sinα-sin3α 2
sinαcosα tanα = .
=sin αcos α,所以 =sin αcos α= = ,所以
π π 5
sin(α+ ) sin2α+cos2α tan2α+1 sin(α+ )
2 2
12.D 解析 因为cos 138°<0,sin 138°>0,得到点P在第四象限,即α为第四象限角,
cos138° cos(90°+48°) -sin48° sin(-48°)
由三角函数定义得tan α= = = =
sin138° sin(90°+48°) cos48° cos(-48°)
=tan(-48°),
所以α=-48°+k·360°,k∈Z,
√3
所以tan(α+18°)=tan(-48°+k·360°+18°)=tan(-30°)=- .
3
B+C π A
13.ABC 解析 在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C;sin =sin( −
2 2 2
A π
)=cos ;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C(C≠ );cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C.故选ABC.
2 2
24
14. 解析 (方法一)由4sin α-3cos α=3,得4sin α=3+3cos α,两边同时平方得16(1-
7
7 π 7
cos2α)=9(1+2cos α+cos2α),解得cos α= 或cos α=-1,因为α∈(0, ),所以cos α= ,代入4sin
25 2 25
24 24
α-3cos α=3,得sin α= ,所以tan α= .
25 7
(方法二)将4sin α-3cos α=3两边同时平方,得16sin2α-24sin αcos α+9cos2α=9,得7sin2α=24sin αcos
π 24
α,又α∈(0, ),所以sin αcos α≠0,两边同时除以sin αcos α,可得tan α= .
2 7
15.解 若选择条件①:
∵4sin(2 022π+α)=-3cos(2 024π+α),
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3
∴4sin α=-3cos α,∴tan α=- .
4
若选择条件②:
∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
1
又sin α+cos α= ,
5
1
∴( -cos α)2+cos2α=1,
5
4 3 3
∴cos α= ,sin α=- ,∴tan α=- .
5 5 4
若选择条件③:
∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
又α,β的终边关于x轴对称,
∴sin α=-sin β,cos α=cos β.
又4sin β=3cos β,
3
∴-4sin α=3cos α,即tan α=- .
4
3
3×(- )+4
(1)3sinα+4cosα 3tanα+4= 4 =1.
=
cosα-sinα 1-tanα 3
1-(- )
4
3 3
(- ) 2+3×(- )
(2)sin2α+3sin αcos α=sin2α+3sinαcosα tan2α+3tanα 4 4 =-27
= = .
sin2α+cos2α tan2α+1
(-
3
) 2+1
25
4
24
16.- 解析 由题意得
25
√1-cosα √1-sinα
sin α +cos α
1+cosα 1+sinα
√(1-cosα)2 √(1-sinα)2
=sin α +cos α·
(1+cosα)(1-cosα) (1+sinα)(1-sinα)
1-cosα 1-sinα
=sin α· +cos α· ,
|sinα| |cosα|
因为α为第二象限角,sin α>0,cos α<0,
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1-cosα 1-sinα 1-cosα 1-sinα
则有sin α· +cos α· =sin α· +cos α· =sin α-cos α,
|sinα| |cosα| sinα -cosα
7 49
即sin α-cos α= ,两边平方得1-2sin αcos α= ,
5 25
24
故sin 2α=-
25
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