课时规范练24　两角和与差的正弦、余弦和正切公式_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版《优化设计》新高考版一轮（生物+数学）_2026年高考数学一轮（优化设计新高考版）_课后习题Word

课时规范练 24 两角和与差的正弦、余弦和正 切公式 基础巩固练 1.(2024·山东临沂期中)sin 81°cos 51°-cos 81°sin 51°=( ) √3 √3 A.- B. 2 2 1 1 C.- D. 2 2 cosα+sinα π 2.(2024·江苏盐城期末)若 =3,则tan(α- )=( ) cosα 4 1 A.-1 B. 3 C.1 D.3 2 α 3.(2024·江苏南京期中)若cos α=- ,α∈(0,π),则cos 的值为( ) 3 2 √6 √6 A. B.- 6 6 √6 √3 C.± D. 6 6 4.(2024·江苏镇江三模)已知角α,β满足tan α=2,2sin β=cos(α+β)sin α,则tan β=( ) 1 1 A. B. 3 7 1 C. D.2 6 5.(多选题)(2024·湖北武汉期中)下列等式成立的是( ) A.sin26°-cos26°=cos 12° √3 B.sin 600°=- 2 C.sin 6°-cos 6°=-√2sin 39° √3-tan15° √3 D. = 1+√3tan15° 3 π 1 6.(多选题)(2024·海南高三学业水平诊断)已知α∈( ,π),且cos2α-cos 2α= ,则( ) 2 5 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1 4 A.tan α=- B.sin 2α= 2 5 3 3 C.cos 2α= D.tan 2α=- 5 4 2√2 7.(2025·河北张家口开学考试)若sin α-cos α= ,则sin 2α= . 3 8.(2025·福建模拟)已知tan(α+β)=4,tan(α-β)=-3,则tan 2β= . π 1 9.(2024·山东淄博模拟)若sin(θ+ )= ,θ∈(0,π),则cos θ= . 6 3 {3cosα=2√2cosβ, π 10.(13分)(2024·北京模拟)已知α,β∈(0, ),且 3√2 2 cosαcosβ= . 5 (1)求α+β的值; π (2)证明:0<α-β< ,并求sin(α-β)的值. 4 综合提升练 4 π π π 11.(2025·安徽开学考试)已知tan 2θ= ,θ∈(0, ),若cos( -θ)=mcos( +θ),则实数m的值 3 4 4 4 为( ) A.-3 B.-2 C.3 D.2 π 12.(2024·江苏徐州期末)已知α,β,γ∈(0, ),sin β+sin γ=sin α,cos α+cos γ=cos β,则( ) 2 1 A.sin(β-α)= 2 1 B.sin(β+α)= 2 C.α-γ=2β D.α+γ=2β π 1 13.(多选题)(2025·山西开学考试)已知0<β<α< ,且sin(α-β)= ,tan α=5tan β,则( ) 4 3 5 A.sin αcos β= 6 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1 B.sin βcos α= 12 5 C.sin 2αsin 2β= 36 π D.α+β= 3 14.(多选题)(2025·江苏常州开学考试)已知角α是锐角,角β是第四象限角,且3cos α+√10 cos β= 17 ,3sin α- sin β= 24 ,tan α= 3 ,则下列结论正确的是( ) √10 5 5 4 13√10 A.cos(α+β)= 50 9√10 B.sin(α+β)=- 50 9 C.tan(2α+β)= 13 D.tan β=-3 α β 15.(2024·江苏南京模拟)若tan αtan βtan tan =1,则cos α+cos β= . 2 2 2√5 16.(13分)(2024·北京模拟)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= . 5 (1)求cos(α-β)的值; π π 5 (2)若- <β<0<α< ,且sin β=- ,求sin α的值. 2 2 13 创新应用练 17.(2024·江苏南京期末)若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β),则tan(α+β)的最大值为( ) √6 √6 A. B. 2 4 √2 √2 C. D. 2 4 答案： 1 1.D 解析 sin 81°cos 51°-cos 81°sin 51°=sin(81°-51°)=sin 30°= . 故选D. 2 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxcosα+sinα π 2.B 解析 因为 =3,所以1+tan α=3,即tan α=2,所以tan(α- )= cosα 4 π tanα-tan 4 2-1 1 故选B. = = . π 1+2×1 3 1+tanαtan 4 2 3.A 解析 ∵cos α=- 2 ,∴cos2 - +1 , α cosα+1 3 1 3 = = = 2 2 2 6 ∵α∈(0,π), α π α √6 ∴ ∈(0, ),∴cos = .故选A. 2 2 2 6 4.B 解析 因为sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,2sin β=cos(α+β)sin α,所以 2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α=cos(α+β)sin α,即2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,则 tanα+tanβ 2+tanβ 2tan(α+β)=3tan α,因为tan α=2,所以tan(α+β)=3,其中tan(α+β)= = =3,故 1-tanαtanβ 1-2tanβ 1 2+tan β=3-6tan β,解得tan β= . 故选B. 7 √3 5.BC 解析 sin26°-cos26°=-cos 12°,故A错误;sin 600°=sin(3×180°+60°)=-sin 60°=- ,故B正确; 2 sin 6°-cos 6°=√2(sin 6°cos 45°-cos 6°sin 45°)=√2sin(6°-45°)=-√2sin 39°,故C正确; √3-tan15° tan60°-tan15° = =tan(60°-15°)=1,故D错误.故选BC. 1+√3tan15° 1+tan60°tan15° 1 π √5 6.AC 解析 cos2α-cos 2α=cos2α-(cos2α-sin2α)=sin2α= ,因为α∈( ,π),所以sin α= ,cos α=- 5 2 5 2√5 sinα 1 4 3 √1-sin2α =- ,所以tan α= =- ,sin 2α=2sin αcos α=- ,cos 2α=1-2sin2α= ,tan 2α= 5 cosα 2 5 5 sin2α 4 =- .故选AC. cos2α 3 1 2√2 7. 解析 ∵sin α-cos α= , 9 3 8 1 ∴(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-sin 2α= ,解得sin 2α= . 9 9 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx7 tan(α+β)-tan(α-β) 7 8.- 解析 由题可得tan 2β=tan[α+β-(α-β)]= =- . 11 1+tan(α+β)tan(α-β) 11 1-2√6 π π 7π π 1 π π π π 9. 解析 ∵θ∈(0,π),∴θ+ ∈( , ).又sin(θ+ )= ,若θ+ ∈( , ),则sin(θ+ 6 6 6 6 6 3 6 6 2 6 π 1 π 1 π π π √ π 2√2 )>sin = ,与sin(θ+ )= 矛盾,∴θ+ ∈[ ,π),∴cos(θ+ )=- 1-sin2 (θ+ ) =- ,∴cos 6 2 6 3 6 2 6 6 3 π π π π π π 2√2 √3 1 1 1-2√6 θ=cos(θ+ − )=cos(θ+ )cos +sin(θ+ )sin =- × + × = . 6 6 6 6 6 6 3 2 3 2 6 {3cosα=2√2cosβ, π 2√5 10.解 (1)因为α,β∈(0, ),所以cos α>0,cos β>0,由 3√2 解得cos α= ,cos β= 2 cosαcosβ= , 5 5 3√10 √5 √10 ,所以sin α=√1-cos2α= ,sin β=√1-cos2β= ,则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= 10 5 10 2√5 3√10 √5 √10 √2 × − × = . 5 10 5 10 2 π 因为α+β∈(0,π),所以α+β= . 4 π π √2 √5 √10 π (2)因为α+β= ,sin = >sin α= >sin β= ,且函数y=sin x在(0, )上单调递增,所以 4 4 2 5 10 2 π π √5 3√10 2√5 √10 √2 0<β<α< ,所以0<α-β< ,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= × − × = . 4 4 5 10 5 10 10 π π π π √2 √2 √2 √2 11.C 解析 cos cos θ+sin sin θ=m(cos cos θ-sin sin θ),即 cos θ+ sin θ=m( cos θ- 4 4 4 4 2 2 2 2 m-1 sin θ),cos θ+sin θ=m(cos θ-sin θ),故(1+m)sin θ=(m-1)cos θ,则tan θ= ,由于tan 2θ= m+1 2tanθ 4 1 = ,故2tan2θ+3tan θ-2=0,解得tan θ=-2或 . 1-tan2θ 3 2 π 1 m-1 1 因为θ∈(0, ),所以tan θ>0,故tan θ= ,即 = ,解得m=3.故选C. 4 2 m+1 2 12.C 解析 由sin β+sin γ=sin α得sin γ=sin α-sin β,两边平方得sin2γ=sin2α+sin2β-2sin αsin β,① 由cos α+cos γ=cos β得cos γ=cos β-cos α,两边平方得cos2γ=cos2α+cos2β-2cos αcos β,② 1 ①+②得1=2-2cos(α-β) cos(α-β)= . 2 ⇒ 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxπ π π 因为α,β,γ∈(0, ),所以α-β∈(- , ),由sin γ=sin α-sin β>0可得sin α>sin β,即α-β>0,所以α- 2 2 2 π 1 π √3 β∈(0, ),又cos(α-β)= ,所以α-β= ,所以sin(β-α)=- ,故A错误; 2 2 3 2 由sin β+sin γ=sin α,两边平方得sin2α=sin2β+sin2γ+2sin βsin γ,③ 由cos α+cos γ=cos β得cos α=cos β-cos γ,两边平方得cos2α=cos2β+cos2γ-2cos βcos γ,④ 1 ③+④得1=2-2cos(β+γ) cos(β+γ)= . 2 ⇒ π π π π 因为α,β,γ∈(0, ),所以β+γ∈(0,π),故β+γ= ,由α-β= ,β+γ= ,可得α-γ=2β,故C正确,D错误. 2 3 3 3 综上,sin(α+β)不是定值,故B错误.故选C. 1 1 tanα sinαcosβ 13.BC 解析 因为sin(α-β)= ,tan α=5tan β,故sin αcos β-cos αsin β= , = =5. 3 3 tanβ cosαsinβ 5 1 所以sin αcos β= ,sin βcos α= ,A错误,B正确; 12 12 5 5 1 1 所以sin 2αsin 2β=4sin αcos βcos αsin β= ,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= + = ,又因为 36 12 12 2 π π 0<β<α< ,所以α+β= ,故D错误,C正确.故选BC. 4 6 3 sinα 3 14.ABD 解析 因为tan α= ,所以 = ,因为角α是锐角,角β是第四象限角,sin α>0,cos 4 cosα 4 3 4 α>0,sin β<0,cos β>0,因为sin2α+cos2α=1,解得sin α= ,cos α= . 5 5 24 9 24 3√10 17 因为3sin α-√10sin β= ,所以 −√10sin β= ,解得sin β=- ,因为3cos α+√10cos β= , 5 5 5 10 5 12 17 √10 4 √10 3 所以 +√10cos β= ,解得cos β= ,由两角和的余弦公式得cos(α+β)= × − ×(- 5 5 10 5 10 5 3√10 13√10 )= ,故A正确; 10 50 3 √10 4 3√10 9√10 由两角和的正弦公式得sin(α+β)= × + ×(- )=- ,故B正确; 5 10 5 10 50 3√10 √10 因为sin β=- ,cos β= ,所以tan β=-3,故D正确; 10 10 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3 2× 由二倍角公式得tan 2α= 2tanα 4 3 16 24,由两角和的正切公式得tan(2α+β)= = = × = 1-tan2α 9 2 7 7 1- 16 24 3 -3 7 7 3 ,故C错误.故选ABD. = = 24 79 79 1- ×(-3) 7 7 α β α β α β 15.1 解析 由tan αtan βtan tan =1,可得sin αsin βsin sin =cos αcos β·cos cos ,又由正弦的 2 2 2 2 2 2 α α β β α β α β 倍角公式,可得4sin2 cos sin2 cos =cos αcos βcos cos ,即4sin2 sin2 =cos αcos β=(1-2sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 α β α β 1 )( 1-2sin2 ),令x=sin2 ,y=sin2 ,则4xy=(1-2x)(1-2y)=1-2x-2y+4xy,解得x+y= ,所以cos α+cos 2 2 2 2 2 α β β=1-2sin2 +1-2sin2 =2-2(x+y)=1. 2 2 16.解 (1)因为向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), 2√5 4 |a-b|=√(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=√2-2cos(α-β)= ,所以2-2cos(α-β)= ,所以 5 5 3 cos(α-β)= . 5 π π 3 5 4 12 (2)因为0<α< ,- <β<0,所以0<α-β<π,因为cos(α-β)= ,且sin β=- ,所以sin(α-β)= ,cos β= 2 2 5 13 5 13 4 12 3 5 33 ,所以sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β= × + ×(- )= . 5 13 5 13 65 17.D 解析 若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β), 则sin[2α-(α-β)]=cos 2αsin(α-β), 所以sin 2αcos(α-β)-sin(α-β)cos 2α=cos 2αsin(α-β),所以sin 2αcos(α-β)=2cos 2αsin(α-β),即tan 2α=2tan(α-β), 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxtan2α-tan(α-β) tan(α-β) tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]= = ,若使得tan(α+β)取得最大值, 1+tan2αtan(α-β) 1+2tan2(α-β) 1 1 √2 不妨设tan(α-β)>0,则tan(α+β)= ≤ = ,当且仅当 1 1 2√2 4 +2tan(α-β) tan(α-β) tan(α-β) √2 =2tan(α-β),即tan(α-β)= 时,等号成立.故选D 2 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468 也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx