文档内容
课时规范练 11 指数函数
基础巩固练
1.(2024·江西南昌模拟)已知a=(2√2)2,b=4√2,c=2π,则a,b,c的大小关系为( )
A.a0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数
g(x)=mx-n的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.(2024·湖北武汉模拟)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则
g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为( )
2 2
A.(0, ) B.(-∞, )
9 9
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C.(-∞, ) D.(0, )
3 3
6.(多选题)(2024·湖北鄂州检测)已知函数f(x)=3-2x2-ax(a∈R),则下列结论成立的是( )
A.若f(x)是偶函数,则a=0
a
B.f(x)的单调递增区间是(-∞,- ]
4
C.f(x)的值域为(0,1)
D.当a∈(0,1)时,方程f(x)-a=0有两个实数根
7.(2024·北京房山模拟)已知函数f(x),给出两个性质:①f(x)在R上是增函数;②对任意
x∈R,f(x)>1.写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式f(x)= .
2
1
8.(2024·广东深圳期末)函数y=( )x+1的值域为 .
3
9.(2024·山东潍坊模拟)若函数y=a1-x(a>0,且a≠1)在区间[-2,1]上的最大值和最小值的和
9
为 ,则实数a= .
8
综合提升练
10.(2025·湖南常德开学考试)高斯是德国著名的数学家,是近代数学奠基者之一,享有
“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最
2x+5
大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,若函数f(x)= ,则函数y=[f(x)]
2x+1
的值域为( )
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3,4}
D.{2,3,4,5}
1
11.(2024·福建三明模拟)已知函数f(x)=( )|x-1|,若f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,则实数a的取
2
值范围为( )
2
A.( ,+∞)
3
2
B.(-∞, )
3
2
C.( ,1)
3
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3
a
12.(多选题)(2024·浙江金华模拟)若直线y= 与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个
2
公共点,则a的取值可以是( )
3 3
A. B.
8 4
3
C. D.3
2
13.(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则不
等式f(9x-3)>f(3x+b)的解集为 .
14.(13分)已知a为实数,函数f(x)=a·2x-2-x是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值,并用定义法证明f(x)在R上单调递增;
(2)解关于x的不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0.
3
15.(13分)(2024·北京模拟)已知a为实数,函数f(x)=a- .
2x+1
(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;
u
(2)在(1)的条件下,对任意x∈[1,6],不等式f(x)≥ 恒成立,求实数u的最大值.
2x
创新应用练
16.(多选题)(2024·江苏南京期中)已知函数f(x)=|2x-1|,当af(c)>f(b).给出
以下命题,则正确的命题是( )
A.a+c<0 B.b+c<0
C.2a+2c>2 D.2b+2c>2
答案：
1.B 解析 因为y=2x在R上单调递增,a=(2√2)2=8=23,b=4√2=22√2,又2√2<3<π,所以22√2<23<2π,
因此b0,
2 2
1 1
所以y=( )t≤( )-1=2,所以函数y的值域为(0,2],故选A.
2 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3.B 解析 由1.5x-1-1.5≠0得x≠2,排除A;当x>2时,1.5x>1.5x-1-1.5>0,所以f(x)>1,排除CD;又f(x)=
1.5x 1.5(1.5x-1-1.5)+1.52 1.52 1.52
= =1.5+ ,当x>2时, >0,故
1.5x-1-1.5 1.5x-1-1.5 1.5x-1-1.5 1.5x-1-1.5
f(x)>1.5,故选项B符合题意,故选B.
4.B 解析 由已知条件得当x=2时,f(2)=2,则函数f(x)的图象恒过点(2,2),即m=2,n=2,此时
g(x)=2x-2,由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到,且过点(0,-1),由此可知
g(x)的图象不过第二象限.故选B.
5.A 解析 由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、三、四象限,可得b<-1,所以g(b)=f(b)-
1 2 2 2 2 2
f(b-1)=3b-3b-1=3b·(1- )= ·3b< ·3-1= ,又因为 ·3b>0,所以g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(0, ),故
3 3 3 9 3 9
选A.
6.ABD 解析 对于A选项,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即3-2(-x)2+ax=3-2x2-ax,则-2x2+ax=-2x2-
a
ax,即2ax=0对任意的x∈R恒成立,解得a=0,故A正确;对于B选项,内层函数u=-2x2-ax=-2(x+
4
a2 a
)2+ 的单调递增区间为(-∞,- ],外层函数y=3u在定义域R上为增函数,由复合函数的单调性可
8 4
a a a2 a2
知,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,- ],故B正确;对于C选项,-2x2-ax=-2(x+ )2+ ≤ ,则f(x)=
4 4 8 8
3-2x2-ax∈ (0,
3
a
8
2],故C错误;对于D选项,当a∈(0,1)时,由f(x)= 3-2x2-ax =a,可得-2x2-ax=log 3 a,则
2x2+ax+log a=0,Δ=a2-8log a>0,所以当a∈(0,1)时,方程f(x)-a=0有两个实数根,故D正确.故选
3 3
ABD.
7.2x+1(答案不唯一) 解析 取函数f(x)=2x+1,由指数函数的单调性可知,函数f(x)=2x+1在R上为
增函数,满足性质①;因为2x>0恒成立,所以2x+1>1恒成立,所以对任意x∈R,f(x)>1,满足性质②.
2 1 2 1 2 1 2
8.(0,1)∪(1,+∞) 解析 由于 ≠0,故( )x+1>0且( )x+1≠1,故函数y=( )x+1的值域为
x+1 3 3 3
(0,1)∪(1,+∞).
1 9
9. 解析 由于函数y=a1-x(a>0,且a≠1)在区间[-2,1]上为单调函数,所以依题意有a3+a0= ,解得
2 8
1
a= .
2
2x+5 4
10.C 解析 f(x)= =1+ ,
2x+1 2x+1
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∵2x>0,∴1+2x>1,0< <1,则1<1+ <5,即11,2a2-2a+4=2(a- )2+ >1,所以由f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,得f(2a2+a+2)2a2-2a+4,解得a> ,所以实数a的取值范围为( ,+∞),故选A.
3 3
a a
12.ABC 解析 当a>1时,图象如图1所示,此时若直线y= 与函数图象有两个公共点,需0<
2 2
a
<1,即01,f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以 解得a=√3,b=-1或a=-√3,b=-1(舍去).
f (2)=a2+b=2,
综上,a=√3,b=-1.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx此时f(x)=(√3)x-1,x∈[0,2].由于f(9x-3)>f(3x-1),所以2≥9x-3>3x-1≥0,解得log 20,所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即
f(x )0等价于f(3x2-5x)>-f(x-4)=f(4-x);再由函数f(x)的单调性可得3x2-5x>4-
2
x,即3x2-4x-4>0,解得x>2或x<- .
3
{ 2}
因此不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0的解集为 x|x>2或x<- .
3
15.解 (1)由题意可知f(x)的定义域为R.
3 3 3 3 3 2x-1
若函数f(x)为奇函数,则f(0)=a- =0,解得a= ,此时f(x)= − = × ,则f(x)+f(-x)=
2 2 2 2x+1 2 2x+1
3 2x-1 3 2-x-1 3 2x-1 3 1-2x 3
× + × = × + × =0,即f(x)=-f(-x),可知f(x)为奇函数,则a= 符合题
2 2x+1 2 2-x+1 2 2x+1 2 2x+1 2
3
意,所以a=
.
2
3 3
(2)由(1)可知f(x)= − .
2 2x+1
3 3 u 3 3×2x 3
由不等式f(x)= − ≥ ,得u≤ ×2x- .因为x∈[1,6],令2x+1=t∈[3,65],则u≤ (t-1)-
2 2x+1 2x 2 2x+1 2
3(t-1) 3 2 9
= (t+ )- .
t 2 t 2
3 2 9
又因为函数φ(t)= (t+ )- 在[3,65]上单调递增,则φ(t) =φ(3)=1,可得u≤1,所以实数u的最大
min
2 t 2
值为1.
16.AD 解析 f(x)的图象如图所示,由图可知f(x)在(-∞,0)内单调递减,在[0,+∞)内单调递增.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx因为af(c)>f(b).所以c>0.同理可得a<0,
所以a<0f(c),所以|a|>c,所以-a>c,即a+c<0,A正确.
f(a)=|2a-1|=1-2a>f(c)=2c-1,
即2a+2c<2,C错误.
若b>0,因为f(a)>f(c)>f(b),所以|a|>c>b>0>a,此时b+c>0,B错误,2b+2c>20+20=2,D正确.
若b<0,因为f(a)>f(c)>f(b),所以|a|>|b|>c>0>b>a,f(c)=2c-1>f(b)=|2b-1|=1-2b,即2b+2c>2,综上所述,
D正确.故选AD
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