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课时规范练 67 离散型随机变量及其分布列、
数字特征
1.(13分)(2024·广东东莞模拟)某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软
件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣
传方案:
方案一:投放该平台广告,据市场调研,其收益X分别为0元,20万元,40万元,且
P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.
方案二:投放传统广告,据市场调研,其收益Y分别为10万元,20万元,30万元,其概率依次
为0.3,0.4,0.3.
(1)请写出方案一的分布列,并求方差D(X);
(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告,并说明你的理由.
2.(15分)(2024·山东济宁一模)袋中装有大小相同的4个红球,2个白球.某人进行摸球游
戏,游戏规则如下:①每次从袋中摸取一个小球,若摸到红球则放回袋中,充分搅拌后再进
行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束.
(1)求摸球游戏结束时摸球次数不超过3的概率;
(2)若摸出1次红球计1分,摸出1次白球记2分,求游戏结束时,此人总得分X的分布列和
数学期望.
3.(15分)(2024·江西南昌一模)甲公司现有资金200万元,考虑一项投资计划,假定影响投
资收益的唯一因素是投资期间的经济形势,若投资期间经济形势好,投资有25%的收益率,
若投资期间经济形势不好,投资有10%的损益率;如果不执行该投资计划,损失为1万元.
现有两个方案,方案一:执行投资计划;方案二:聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济
形势,聘请费用为5 000元,若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好,则执行投资计划;
若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好,则不执行该计划.根据以往的资料表明,
投资咨询公司乙预测不一定正确,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势好的概
率是0.8;投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据
权威资料可以确定,投资期间经济形势好的概率是40%,经济形势不好的概率是60%.
(1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率.
(2)根据获得利润的期望值的大小,甲公司应该执行哪个方案?说明理由.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx4.(15分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,
水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以
上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份
有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独
立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限
制,并有如下关系:
年入流量X 40120
发电量最多
1 2 3
可运行台数
若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800
万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装多少台发电机?
答案：
1.解 (1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,
依题意得a+b+0.3=1,①
又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30,②
由①②解得a=0.1,b=0.6.
∴X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.
(2)由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.
由E(X)>E(Y)可知采用平台广告投放期望收益较大,又D(X)>D(Y),说明平台广告投放的风险较高.
综上所述,如果公司期望高收益,选择平台广告;如果公司期望收益稳定,选择传统广告.
2.解 (1)设B=“第i次摸球时摸到红球”(i=1,2,3,4),
i
C1
2
则由题可知P(B)= 4= ,
i C1 3
6
2 1
则P(B)=1-P(B i )=1- = .
i 3 3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx设A=“摸球游戏结束时,摸球次数不超过3”,则A=B ∪B B ∪B B B ,事件B 、事件B B 与事
1 1 2 1 2 3 1 1 2
件B B B 互斥,
1 2 3
由概率的加法公式及乘法公式,得P(A)=P(B )+P(B B )+P(B B B )=P(B )+P(B )P(B )
1 1 2 1 2 3 1 1 2
1 2 1 2 2 1 19
+P(B 1 )P(B 2 )·P(B )= + × + × × = . 因此,摸球游戏结束时,摸球次数不超过3的概率
3 3 3 3 3 3 3 27
19
为 .
27
1
(2)由题可知,X的可能取值为2,3,4,5,则P(X=2)=P(B )= ,P(X=3)=P(B 1B )=P(B 1 )P(B )=
1 3 2 2
2 1 2
× = ,P(X=4)=P(B 1 B 2B )+P(B 1 B 2 B 3 B 4 )=P(B 1 )P(B 2 )P(B )+P(B 1 )P(B 2 )P(B 3 )P(B 4 )=
3 3 9 3 3
2 2 1 2 2 2 2 28 2 2 2 1 8
× × + × × × = ,P(X=5)=P(B 1 B 2 B 3B )=P(B 1 )P(B 2 )P(B 3 )P(B )= × × × = ,
3 3 3 3 3 3 3 81 4 4 3 3 3 3 81
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
1 2 28 8
P
3 9 81 81
1 2 28 8 260
所以E(X)=2× +3× +4× +5× = .
3 9 81 81 81
3.解 (1)记事件B =“投资期间经济形势好”,事件B =“投资期间经济形势不好”,
1 2
事件A=“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”,
则P(B )=0.4,P(B )=0.6,
1 2
因此P(A)=P(B A+B A)=0.4×0.8+0.6×0.3=0.5.
1 2
(2)若采取方案一,则该公司获得的利润值X万元的分布列是
X 50 -20
P 0.4 0.6
E(X)=50×0.4-20×0.6=8;
若采取方案二:设该公司获得的利润值为Y万元,有以下情况,投资期间经济形势好,咨询公司乙预
测经济形势为好,Y=49.5,其发生的概率为P(B A)=0.4×0.8=0.32,
1
投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势为不好,Y=-1.5,其发生的概率为P(B A
1
)=0.4×0.2=0.08,投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为好,Y=-20.5,其发生的概率为
P(B A)=0.6×0.3=0.18,投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为不好,Y=-1.5,其发生的
2
概率为P(B A)=0.6×0.7=0.42,因此,随机变量Y的分布列为
2
Y -20.5 -1.5 49.5
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxP 0.18 0.5 0.32
因此E(Y)=-20.5×0.18-1.5×0.5+49.5×0.32=-3.69-0.75+15.84=11.4,
因为E(X)120)=
1 2 3
50 50 50
=0.1,
记事件A=“在未来4年中,至多有1年的年入流量超过120”,所以P(A)=
9 9 1
C0(1-P )4+C1(1-P )3P
3
=( )4+4×( )3× =0.947 7.
4 3 4 3 10 10 10
(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元),
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,
对应的年利润Y=5 000,且E(Y)=5 000×1=5 000.
②安装2台发电机.
当40120时,三台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=P =0.1,
3
由此可得Y的分布列为
Y 3 400 9 200 15 000
P 0.2 0.7 0.1
所以E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.
因为8 840>8 620>5 000,
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装2台发电机
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