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§10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随
机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的
_________表示．在这个对应关系下，_________随着试验结果的变化而变化．像这种取值随
着试验结果的变化而变化的量称为_________变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量 X 的取值为 x ，x ，…，x ，…，随机变量 X 取 x 的概率为
1 2 n i
_______________，记作P(X＝x)＝p(i＝1,2，…，n，…)．①
i i
①式也可以列成表，如表：
x x x … x …
i 1 2 n
P(X＝x) p p … p …
i 1 2 n
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)p___0(i＝1,2，…，n，…)；
i
(2)p＋p＋…＋p＋…＝______.
1 2 n
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
(1)均值
则称EX＝____________________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期
望)．它反映了离散型随机变量X取值的_______________．
(2)方差
称DX＝E(X－EX)2＝__________________为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X
的_________，记作σ ，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．
X
5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝_________.
(2)D(aX＋b)＝_________ (a，b为常数)．
常用结论
1．Ek＝k，Dk＝0，其中k为常数．
2．E(X＋X)＝EX＋EX.
1 2 1 2
3．DX＝EX2－(EX)2.
4．若X，X 相互独立，则E(XX)＝EX·EX.
1 2 1 2 1 2
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与
之对应．( )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( )
2．已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则EY的值为( )
A. B．4 C．－1 D．1
3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则EX＝
________，DX＝________.
4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
题型一 分布列的性质
例1 (1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P等于(
)
A. B. C. D.
思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的
概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1 (1)若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a c
则P(|X|＝1)等于( )
A. B. C. D.
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题点1 求离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经
统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50
甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的频率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、
乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则 X的均值和方差分别是(
)
A．EX＝1.5，DX＝0.36
B．EX＝1.4，DX＝0.36
C．EX＝1.5，DX＝0.34
D．EX＝1.4，DX＝0.34
(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表：X －1 0 1 2
P a b c
若EX＝，P(X≥1)＝，则DX等于( )
A. B. C. D.
均值、方差的大小比较、最值(范围)问题
关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，
还经常从下列几个角度进行考查：
(1)均值、方差及概率的大小比较；
(2)均值、方差的增减性分析；
(3)均值、方差的最值；
(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．
典例 (1)设随机变量X的分布列如下(其中0
