文档内容
第 07 讲 离散型随机变量及其分布列和数字特
征 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：离散型随机变量分布列的性质
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的均值与方差
角度1：期望、方差的计算
角度2：决策问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 都有唯一的实数 与之对应，我们称 为随机
变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如 ， ， ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如 ， ，
．
知识点二：离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量 的可能取值为 ， ，…， ，我们称 取每一个值 的概率
， 为 的概率分布列，简称分布列．
… …
… …
知识点三：离散型随机变量的分布列的性质
① ，
②注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
知识点四：离散型随机变量的均值与方差
（1）离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量 的概率分布为：
… …
… …
则称 为随机变量 的均值(mean)或数学期望
(mathematical expectation),数学期望简称期望.
（2）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量 的概率分布列为：
… …
… …
则称
为随机变量 的方差，有时也记为 .
称 为随机变量 的标准差.
知识点五：均值与方差的性质
（1）
（2）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品
可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙
等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元 B．37元 C．38元 D．39元
2．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）若随机变量 的分布列如表，则 的方差 是（ ）
0 1A．0 B．1 C． D．
3．（2022·四川眉山·高二期末（文））若样本数据 ， ，…， 的标准差为4，则数据 ， ，
…， 的标准差为___________.
4．（2022·广东潮州·高二期末）随机变量 ， 满足 ，且 ，则 ___________.
5．（2022·广西玉林·模拟预测（理））离散型随机变量 的分布列如表，则实数a＝________；E（ ）＝
________．
－1 0 1
P a
题型一：离散型随机变量分布列的性质
典型例题
例题1．（2022·江西抚州·高二期末（理））设随机变量 的分布列为 ，则
第三部分：典 型 例 题 剖 析
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二期末）某射击运动员射击一次所得环数 的分布列如下表所示.
4 5 6 7 8 9 10
0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23
则 （ ）
A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90
例题3．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练1．（2022·吉林省实验中学高二阶段练习）设随机变量X的概率分布列如下：则 （ ）
X －1 0 1 2
P
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校高二期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的
值为（ ）
ξ 1 2 3
P
A．－ B． C． D．
3．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）设随机变量 的分布列为 ，（
），则（ ）
A． B．
C． D．
4（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）随机变量 的分布列如图，且 ， ， 成等差数列，则
______．
-1 0 1
题型二：求离散型随机变量的分布列
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量 的分布列如表所示．0 1 2 3
(1)求随机变量 的分布列；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次
随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设 表示总检测费用（单位：元），求 的分布列．
例题3．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号
分别为 的四批疫苗，供全市所辖的 三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接
种．
(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
(2)记 三个区选择的疫苗批号的中位数为 ，求 的分布列．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个
数字组成，编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排
取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相
同的次序排成一组组成，如明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字（密码）就为11223．明文字母 A B C
第一
1
排
对应数字 11 13
2
明文字母 E F G
第二
2
排
对应数字 21 23
2
明文字母 M N P
第三
排
对应数字 1 2 3
(1)假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；
(2)设随机变量 表示密码中所含不同数字的个数．
①求 ；
②求随机变量 的分布列．
2．（2022·全国·高二课时练习）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，
每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的3个小球上的最大数字．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)求随机变量 的分布列．
3．（2022·重庆市朝阳中学高二期中）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸
出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．4．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，
甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，
至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是 ，求 的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记 为乙所得分数，求 的概率分布列．
题型三：离散型随机变量的均值与方差
角度1：期望、方差的计算
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程 （单位：km）
的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1， ， ．
(1)求 的分布列，并求 的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，
则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方
差．
例题2．（2022·陕西西安·高二期末（理））如图，小明家住 小区，他每天早上骑自行车去学校 上学，
从家到学校有 ， 两条路线， 路线上有 ， ， 三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为 ；
路线上有 ， 两个路口，且 ， 路口遇到红灯的概率分别为 ， .(1)若走 路线，求遇到3次红灯的概率；
(2)若走 路线，变量 表示遇到红灯次数，求 的分布列及数学期望.
例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（理））不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球， 个白球，现
从中不放回地取出2个球，若第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为 ．
(1)求白球的个数 ；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为 ，求 ， ．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量 的分布列如表所示，且 ．
0 1
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．
同类题型归类练
1．（2022·广东·广州市第十六中学高二期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，
否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为 ， .
(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为 ，求 的分布列；
(3)求 的期望及标准差.
2．（2022·广东·广州市玉岩中学高二期中）已知随机变量 的分布列如下，
0 1 2
P b a
(1)求 的取值范围；
(2)当a为何值时， 取最大值？并求出 的最大值.
3．（2022·北京通州·高二期末）一个袋子中装有8个大小相同的球，其中有5个红球，3个白球．
(1)从袋子中任取1个球，设随机变量 ，X的分布列及 ；
(2)从袋子中依次不放回的取出3个球作为样本，用随机变量Y表示红球的个数，求Y的分布列及 ．
4．（2022·新疆·八一中学高二期末（理））袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次模出两个球，记 为摸出两球中白球的个数，求 的期望和方差．角度2：决策问题
典型例题
例题1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））为了响应大学毕业生自主创业的号
召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5元的价格从农场购进若干西瓜，然后以每个10元的价格
出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16个西瓜，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：个， ）的
函数解析式；
(2)水果店记录了100天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16个西瓜， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16个或17个西瓜，你认为应购进16个还是17个？请说明理由．
例题2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）为迎接党的“二十大”胜利召开，学校计划组织党史知识竞赛.
某班设计一个预选方案：选手从6道题中随机抽取3道进行回答.已知甲6道题中会4道，乙每道题答对的
概率都是 ，且每道题答对与否互不影响.
(1)分别求出甲、乙两人答对题数的概率分布列；
(2)你认为派谁参加知识竞赛更合适，请说明你的理由.例题3．（2022·全国·高二专题练习）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意
进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员
工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获
得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励
额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值
20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能
地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
同类题型归类练
1．（2022·河北张家口·高二期末）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量 和 .经统计分析，
和 的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元， 和 分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求 和 的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方
差和最小？注：利润率 .
2．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）某运动队拟派出甲、乙两人去参加自由式滑雪比赛．比赛
分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛，已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为
；乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 ，其中 .
(1)甲、乙两人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙两人中恰有1人进入决赛的概率为 ，设进入决赛的人数为ξ，试比较ξ的方差与 大小．
3．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知
甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量 ， ，甲、乙两名射手在每次射击
中击中的环数均大于 环，且甲射中 ， ， ， 环的概率分别为 ， ， ， ，乙射中 ， ，
环的概率分别为 ， ， .
(1)求 ， 的分布列；
(2)求 ， 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10
分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中
获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
