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专题24.13 圆周角（直通中考）（基础练）
【要点回顾】
1.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2.圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
3.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
一、单选题
1．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A，B，C为 上的三个点， ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林·统考中考真题）如图， ， 是 的弦， ， 是 的半径，点 为 上
任意一点（点 不与点 重合），连接 ．若 ，则 的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形 中， ，连接 ， ，
， ， ．则 的度数是（ ）A． B． C． D．
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣弧 上．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点 在 上， 为 的中点．若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示， 是 的直径，弦 交 于点E，连接
，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
8．（2023·广东广州·统考中考真题）如图， 是 的直径， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形 内接于 为对角线， 经过圆心 ．
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在 中，弦 相交于点P，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ， ，
垂足为E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．12．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，点A、B、C是 上不同的三点，点O在 的内部，
连接 、 ，并延长线段 交线段 于点D．若 ，则 度．
13．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知
，那么 ．
14．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 处安
装了一台监视器，它的监控角度是 ，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器
台．
15．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在 中， 为直径，C为圆上一点， 的角平分
线与 交于点D，若 ，则 °．16．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中， ，则 的度数为
．
17．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，
∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
18．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 、 在 上， ，则
度．
19．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．
若 ，则 °20．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为
C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 所对的圆周角，则∠APD的度数是 ．
三、解答题
21．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，
．
（1）试判断 的形状，并给出证明；
（2）若 ， ，求 的长度．
22．（2018·广西河池·统考中考真题）如图，在 中， ．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作 的垂直平分线，垂足为 ；
②以 为圆心， 长为半径作圆，交 于 （ 异于 ），连接 ；
（2）探究 与 的位置关系，并证明你的结论．
23．（2013·浙江温州·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使
DC=CB，延长DA
与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．24．（2017·山东临沂·中考真题）如图， 的平分线交 的外接圆于点 ， 的平分
线交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 外接圆的半径.
25．（2016·山东潍坊·中考真题）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接
DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．参考答案
1．C
【分析】由 ，可得 ，结合 ，可得
，再利用圆周角定理可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．2．D
【分析】根据圆周角定理得出 ，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的度数可能是
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出 ，根据圆周角定理得出
，根据已知条件得出 ，进而根据圆周角定理即可求解．
解：∵圆内接四边形 中， ，
∴
∴
∵
∴ ，
∵
∴ ,
故选：A．
【点拨】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．D
【分析】根据 互相垂直可得 所对的圆心角为 ，根据圆周角定理可得
，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图，半径 互相垂直，
，
所对的圆心角为 ，
所对的圆周角 ，
又 ，
，
故选D．
【点拨】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的
圆周角等于圆心角的一半．
5．D
【分析】连接 ，首先根据圆周角定理得到 ，然后利用半径相等得到 ，
然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
6．A
【分析】连接 ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
解：连接 ，如图所示：
点 在 上， 为 的中点，
，
，
，
根据圆周角定理可知 ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的
关键．
7．D
【分析】如图所示，连接 ，先由同弧所对的圆周角相等得到 ，再由直径所对
的圆周角是直角得到 ，则 ．
解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，故选D．
【点拨】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出
的度数是解题的关键．
8．B
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选B．
【点拨】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
9．B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 为圆的直径，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互
余，掌握它们是关键．
10．A
【分析】根据圆周角定理，可以得到 的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出 的度数．解： ，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出 的度数．
11．1
【分析】连接 ，利用圆周角定理及垂径定理易得 ，则 ，结合已知条件，
利用直角三角形中 角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得 是解题的关键．
12．
【分析】先根据圆周角定理求出 的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．
解：在 中，
，
故答案为： ．【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．
13．
【分析】根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解
题的关键．
14．4
【分析】圆周角定理求出 对应的圆心角的度数，利用 圆心角的度数即可得解．
解：∵ ，
∴ 对应的圆心角的度数为 ，
∵ ，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台；
故答案为：4
【点拨】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
15．35
【分析】由题意易得 ， ，则有 ，然后问题可求解．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；故答案为35．
【点拨】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
16． /30度
【分析】根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理解答即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半是解题的关键．
17．40°/40度
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角
是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对
角互补．
18．120
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ，则
．
解：∵ ， 是弧AC所对的圆周角， 是弧AC所对的圆心角，
∴ ，
∴ ，
故答案为：120．
【点拨】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．19．62
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是90°，可得 ，由 ，可得
，进而可得 ．
解：连接 ，
∵AB是 的直径，
∴ ，
，
，
故答案为：62
【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关
键．
20．30°/30度
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=
∠AOD=30°．
解：∵OC⊥AB，OD为直径，
∴ ，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD= ∠AOD=30°，故答案为：30°．
【点拨】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
21．（1）△ABC是等腰直角三角形；证明见分析；（2） ；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得
∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
解：（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB= ，
∴AC= ，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD= ，
∴CD= ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角
是解题关键．
22．（1）见分析；（2） （或垂直），理由见分析．
【分析】（1）①根据尺规作垂直平分线即可求解；②根据题意即可作圆；
（2）根据圆周角定理即可得到 ．
（1）解：如图，①作出 的垂直平分线
②以点 为圆心， 长为半径作圆，连接
（2） （或垂直），理由如下:
∵ 是 的直径
∴
∴ ．【点拨】此题主要考查尺规作图与圆周角定理，解题的关键是熟知直径所对的圆周角为90°．
23．（1）见分析（2）
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可
证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中， ，可得方程： ，
解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵DC=CB
∴AD=AB
∴∠B=∠D
（2）设BC=x，则AC=x－2，
在Rt△ABC中， ，
∴ ，解得： （舍去）．
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E
∴CD=CE
∵CD=CB，
∴CE=CB= ．24．试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定理得
出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定
理求出BC= =4 ，即可得出△ABC外接圆的半径．
解：（1） 平分 ， 平分 ，
，
又 ， ，
, .
.
（2）解：连接 ，
，
是圆的直径
. ，
.
，
，
，
是等腰直角三角形.
，
.
的外接圆的半径为 .考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理
25．（1）详见分析；（2）详见分析
【分析】（1）根据正方形的性质、圆周角定理及平行线的性质可证∠BED=∠BAD=90°，
∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，即可判定四边形EBFD是矩形；
（2）根据正方形的性质可得 的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
解：（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFG=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握
正方形的性质，矩形的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键．
