第三节离散型随机变量的分布列与数字特征_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_十一章

MST老唐说题26版一轮 第 节 离散型随机变量的分布列与数字特征 3 知识点一．离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对 应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机 变量常用字母X ，Y ，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能 结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前 不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，X 0表示反面 向上，X 1表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若X 是随机变量，Y aX b，a，b是常数，则Y 也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一 切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验 的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x ，x ，，x ，，x ，X 取每一个值x (i1，2，，n) 1 2 i n i 的概率P(X x) p ，以表格的形式表示如下： i i X x x  x  x 1 2 i n P p p  p  p 1 2 i n 我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式 P(X x) p ，i1，2，，n表示X 的分布列． i i 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1） p 0，i1，2，，n；（2） p  p  p 1． i 1 2 n 注意： ①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． 1/6 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司MST老唐说题26版一轮 ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量X 的分布列为 X x x  x  x 1 2 i n P p p  p  p 1 2 i n 称E(X)x p x p x p x p 1为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变 1 1 2 2 i i n n 量取值的平均水平． 注意：（1）均值E(X)刻画的是X 取值的“中心位置”，这是随机变量X 的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有 相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机 变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）E(C)C（C为常数）． （2）若Y aX b，其中a，b为常数，则Y 也是随机变量，且E(aX b)aE(X)b． （3）E(X X )E(X )E(X )． 1 2 1 2 （4）如果X ，X 相互独立，则E(X X )E(X )E(X )． 1 2 1 2 1 2 3、方差 若离散型随机变量X 的分布列为 X x x  x  x 1 2 i n P p p  p  p 1 2 i n n 则称D(X)(x E(X))2p 为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根 D(X) 为随机变量 X 的标准差． i i i1 注意：（1） (x E(X))2描述了x(i1，2，，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)是上述偏离程度 i i 的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值E(X)的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变 量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若Y aX b，其中a,b为常数，则Y 也是随机变量，且D(aX b)a2D(X)． （2）方差公式的变形：D(X)E(X2)[E(X)]2． 2/6 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司MST老唐说题26版一轮 题型一 离散型随机变量的概念 【例1】下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 【例2】袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止， 所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( ) A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3… 【例3】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则3 表示（ ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 题型二：求离散型随机变量的分布列及其性质 【例1】某一随机变量的概率分布如下表，且E1.5，则mn的值为 ．  0 1 2 3 P 0.2 m n 0.3 【例2】从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布 为： ． 3/6 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司MST老唐说题26版一轮  k   1 7  【例3】设随机变量的分布为P akk1,2,3,4,5，则P   ．  5 10 10 【例4】随机变量X 的分布列如下列表格所示，其中E  X 为X 的数学期望，则E X EX   . X 1 2 3 4 5 p 0.1 a 0.2 0.3 0.1 题型三：离散型随机变量的均值、方差 【例1】一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X表示取出的3个球中最大编号， 则EX ． 【例2】离散型随机变量X的分布为： X 0 1 2 4 5 q P 0.3 0.2 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足Y 2X 1，则下列结果正确的为 ． ①EX2；②EY4；③DX2.8；④DY14． 【例3】（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张， 记所抽取卡片上数字的最小值为，则P(2) ，E() ． 4/6 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司MST老唐说题26版一轮 【例4】小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合 格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考 试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0 p1），且每个科目每次考试的结 果互不影响． (1)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为 f p，求 f p的最大值点p ． 0 (2)以（1）中确定的p 作为p的值． 0 （ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率； （ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求EX． 题型四：决策问题 【例1】某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10 元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒）， 获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率. (1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望； (2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？ 5/6 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司MST老唐说题26版一轮 【例2】（2024•新高考Ⅱ）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队都由两名队员组成，比赛具体规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分，若至少投 中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队 的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互 独立． （1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； （2）假设0＜p＜q， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【例3】（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代， 经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且 有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X i) p (i0，1，2，3)． i （Ⅰ）已知 p 0.4， p 0.3， p 0.2， p 0.1，求E(X)； 0 1 2 3 （Ⅱ）设 p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p  px p x2  p x3 x 0 1 2 3 的一个最小正实根，求证：当E(X)1时， p1，当E(X)1时， p1； （Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 6/6 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司