第三节等比数列_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮
数列第 3 节 等比数列
考向一 等比数列的概念及通项公式
知识点一 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
a a
2．递推公式形式的定义： n q(nN且n2)（ n1 q，nN）.
a a
n1 n
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数a,b同号，即ab0时，实数a,b存在等比中项．对同号两实
数a,b的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项G ab．也就是说，两实数要么没有等
比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中
项关系”转化求解．
②G2 ab是a、G、b成等比数列的必要不充分条件.
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{a }的首项为a ，公比为q，则a a qn1(n∈N*)．
n 1 n 1
知识点四 从函数观点看等比数列——等比数列与指数函数
1.等比数列的图象
a a
对于等比数列{a }，通项公式a a qn1  1 qn．当q1且a 1时，它们都是一个非零常数c(c＝ 1 )
n n 1 q 1 q
与指数函数y＝qx的乘积：y＝cqx.
由指数函数y＝qx的图象可以得出y＝cqx的图象，而y＝cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，a )
n
组成如下图等比数列的图象．
当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a ，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
1
2.等比数列的单调性
（1）已知等比数列{a }的首项为a ，公比为q，则
n 1
1MST老唐说题26版一轮
a 0 a 0 a 0 a 0
①当 1 或 1 时，{a }是递增数列；②当 1 或 1 时，{a }是递减数列；
q1 0q1 n 0q1 q1 n
③当q 1时，{a }为常数列(a 0)．
n n
（2）对于等比数列{a }，借助函数y＝cqn的性质，可分析等比数列{a }的增减性如下表．
n n
a a >0 a <0
1 1 1
q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1
数列{a }的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列
n
（3）等比数列{a }，当公比q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇
n
数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图)
注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
知识点五 等比数列通项公式的推广和变形
1.通项公式变形
等比数列{a }的公比为q，则
n
a
①qnm  n ，可用来由等比数列任两项求公比.
a
m
②a a qnm，可以用来利用任一项及公比直接得到通项公式，不必求a .
n m 1
a a qn1
证明：∵a a qn1，a a qm1，∴ n  1  qnm，∴a a qnm.
n 1 m 1 a a qm1 n m
m 1
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式
a a qn1 (nN*，a q  0)可以看成是m1时的特殊情况.
n 1 1
a
③qn  n ，已知首项，末项，公比即可计算出项数.
a
1
2.基本量法
（1）等比数列可以由首项a 和公比q确定，我们把a 和q称为基本量，所有关于等比数列的计算和证明，
1 1
都可围绕a 和q进行.在基本量法中，不拘泥于a ，有a 可以直接用a .
1 1 m m
解题时没有思路了，可以回归基本量法.
（2）求等比数列的通项公式的两种思路：
2MST老唐说题26版一轮
①设出基本量a 、q，利用条件构建方程组，通过两式相除法或者代入消元法求出a ，q，即可写出等比
1 1
 
数列 a 的通项公式；
n
a aqn1 a
②已知等比数列中的两项a ,a (n,mN*,n m)时，则 n 1  n qnm可不必求a 而直接写
n m a
m
a
1
qm1 a
m
1
出等比数列{a }的通项公式．
n
③设项技巧——对称设项
a
（i）三个数成等比数列可设为： ，a，aq或a，aq，aq2；
q
a a
（ii）四个数成等比数列可设为： ， ，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3.
q3 q
 
【例1】(2022•乙卷理)已知等比数列 a 的前3项和为168，a a 42，则a ( )
n 2 5 6
A．14 B．12 C．6 D．3
【例2】（2020•新课标Ⅰ文）设{a }是等比数列，且a a a 1，a a +a 2，则a a a （ ）
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8
A．12 B．24 C．30 D．32
 
【例3】（2019•全国III卷理）已知各项均为正数的等比数列 a 的前4项和为15，且
n
a 3a 4a ，则a （ ）
5 3 1 3
A．16 B．8 C．4 D．2
3MST老唐说题26版一轮
考向二 等比数列的常用性质
一、由等比数列生成新的等比数列
若数列{a }是公比为q的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：
n
1.数列 a  (0)仍是公比为q的等比数列；
n
2.数列
 a
（为常数）为等比数列；特别地，当1时，即


1 
是公比为
1
的等比数列；
n a  q
n
   
3.若数列 b 是公比为q'的等比数列，则数列 a b 是公比为qq'的等比数列；
n n n
4．在等比数列{a }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a，a ，a ，a 为
n n n＋k n＋2k n＋3k
等比数列，公比为qk．
二、等差数列与等比数列的联系
1.若数列{a }是公差为d的等差数列，则数列{ba n}（b0且b1）是公比为bd的等比数列．
n
2.若数列{a }是公比为q等比数列，则数列{log |a |}（b0且b1）公差为log |q|的等差数列．
n b n b
3.如果数列{a }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a }是非零常数数列；但数列{a }是常数数列仅是数
n n n
列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
三、项的性质
1.对称性：若mn pq，则a a a a ；若mn2k ，则a a a2．
m n p q m n k
推广：①若mnt  pqr，则a a a a a a ．②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积
m n t p q r
都相等，都等于首末两项的积：a a a a a a ．
1 n 2 n1 m n1m
2.若m,n,p成等差数列，则a ,a ,a 成等比数列．
m n p
a a a
3.等比性质： m1 k m2 k mn k qk．
a a a
m1 m2 mn
a a a a a a a a a a a a
例如：① 3 6 99 q；② 3 6 99 q2；③ 7 8 9 q3； 7 8 9 q6．
a a a a a a a a a a a a
2 5 98 1 4 97 4 5 6 1 2 3
【例1】已知{an}为正项等比数列，若lga2 ，lga2024 是函数（f x）＝3x2﹣12x+9的两个零点，则a1a2025 ＝（ ）
A．10 B．104 C．108 D．1012
4MST老唐说题26版一轮
12 2 1 1 1
【例2】在等比数列{a }中，a a a  ，a a  ，则   ( )
n 1 2 8 5 4 5 5 a a a
1 2 8
24 14
A．6 B． C． D．2
25 5
【例3】在各项均为正数的等比数列a 中，a22a a a2 25，则a a 的最大值是（ ）
n 6 5 9 8 6 8
25 2
A．25 B．5 C． D．
4 5
考向三 等比数列的前n项和公式及其性质
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
a 1－qn a －a q
1 q≠1， 1 n q≠1，
求和公式 S ＝ 1－q S ＝ 1－q
n n
na q＝1 na q＝1
1 1
1.推导方法：
a a a
由等比数列的定义，有 2  3  n  q
a a a
1 2 n1
a a a S a
根据等比性质，有 2 3 n  n 1  q  (1q)S a a q
a a a S a n 1 n
1 2 n1 n n
a a q a (1qn)
∴当q 1时，S  1 n 或S  1 .
n 1q n 1q
2.基本量法
（1）对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a ，q.如果再给出第三个条件就可以完
1
成a ，a ，q，n，S 的“知三求二”问题．这体现了利用方程思想通过两式相除法或代入消元法求出基本量
n 1 n
解决问题．解题时没有思路了，可以考虑“回归基本量法”.
注：往往要用到乘法公式a2 b2 (ab)(ab)，a3 b3 (ab)(a2 abb2).
（2）和式代换法：将S 层的计算先降维到a 层，再进行下一步计算
n n
5MST老唐说题26版一轮
S ,n1
①a  1 ；②S S a a a .
n S S ,n2 n m m1 m2 n
n n1
3.前n项和S 的常用性质
n
①S S qmS S +qnS ．例如：S =S +q5S ；
mn m n n m 10 5 5
证明：S  S a a ，
mn m m1 mn
而a a aqm a qm a qm   a a a  qm  S qm，于是S S qmS .
m1 mn 1 2 n 1 2 n n mn m n
特别地，S a qS .
n1 1 n
②S ,S S ,S S ，…构成公比为qm的等比数列(q 1).
m 2m m 3m 2m
若a a a S ,a a a S S ,
1 2 m m m1 m2 2m 2m m
a a a S S ,，则S ,S S ,S S ,成公比为qm的等比数列.
2m1 2m2 3m 3m 2m m 2m m 3m 2m
4．S 与S 的性质
奇 偶
等比数列{a }中，所有奇数项之和S 与所有偶数项之和S 具有的性质，设公比为q．
n 奇 偶
S S a
（1）若共有2n项，则 偶 q；（2）若共有2n1项， 奇 1 q．
S S
奇 偶
S
【例1】（2020•新课标Ⅱ文）记S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和．若a
5
–a
3
=12，a
6
–a
4
=24，则 n =（ ）
a
n
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【例2】（2020•新课标Ⅱ）数列{a }中，a 2，a a a ．若a a a 215 25，则k (
n 1 mn m n k1 k2 k10
)
A．2 B．3 C．4 D．5
1
【例3】（2019•全国1）记S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和．若a
1

3
，a
4
2 a
6
，则S
5
=___________．
6MST老唐说题26版一轮
【例4】在等比数列{a }中，已知前n项和S 2n a，则a的值为( )
n n
A．1 B．1 C．2 D．2
【例5】（2021•甲卷文）记S 为等比数列  a  的前n项和.若S 4，S 6，则S （ ）
n n 2 4 6
A．7 B．8 C．9 D．10
S S
【例6】设等比数列{a }的前n项和为S ，若 3 3，则 6 （ ）
n n S S
6 9
8 3
A.2 B. C. D.3
3 7
考向四 等比数列的判定方法
1.定义法：若 a n＋1＝q(q为非零常数)或 a n ＝q(q为非零常数且n≥2)，则 a 是等比数列．
n
a a
n n－1
2.等比中项法：若数列 a
n
中a
n
≠0且a2
n＋1
＝a
n
·a
n＋2
(n∈N*)，则数列 a
n
是等比数列．
3.通项公式法：若数列通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{a }是等比数列．
n n
4.前n项和法：若数列
a
的前n项和S ＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则
a
是等比数列．
n n n
需要说明的是：对于方法(1)、(2)适用于任何题型，强调推理过程，而方法(3)、(4)适合于选择、填空题，
强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．
5.常见的等比数列
（1）若S  Aqn B，当AB 0时，{a }是等比数列；当AB 0时，{a }是从第二项开始的等比
n n n
数列．
（2）S  Aa B（A1），则{a }是等比数列．
n n n
（3）若S  Aa B（A0），则 a 是从第二项a 为首项的等比数列．
n n1 n 2
7MST老唐说题26版一轮
【例1】（2019·全国卷Ⅱ）数列{a }和{b }满足a 1，b 0，4a 3a b 4，4b 3b a 4
n n 1 1 n＋1 n n n＋1 n n
（1）证明：{a b }是等比数列，{a b }是等差数列；
n n n n
（2）求{a }和{b }的通项公式．
n n
【例2】记数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1 ＝4， ．
4(  +1)
+1 = (   −1)
（1）证明：数列 是等比数列； 2  −1
−1
（2）求{an}的通项{ 2公  −式1．}
【例3】记S 为数列{a }的前n项和，T 为数列{S }的前n项和，已知S T 2．
n n n n n n
（1）求证：数列{S }是等比数列；
n
（2）求数列{a }的通项公式．
n
3 3a
【例4】已知数列{a }的首项a  ,a  n (nN*)．
n 1 5 n1 2a 1
n
 1 
（1）求证：数列 1是等比数列；
a 
n
（2）求数列{a }的通项公式．
n
=
8MST老唐说题26版一轮
考向五 等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．解决应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
（2）建模：将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结
构和特征；
（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
3．注意问题是求什么(n，a ，S )．
n n
注意：
（1）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
（2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
（3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
（4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
4.实际应用题常见的数列模型
（1）储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
（2）总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y＝ N(1＋p)n.
（3）传染病模型：第一天确诊患者数a 人，每个人的传染力为q，则经过n1轮传染后，则患者总人数为
1
a (1qn)
S  1 .
n 1q
【例1】某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款a 元，按照复利计算，10
0
a
年后得到的本利和为a ，下列各数中与 10 最接近的是( )
10 a
0
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【例2】（多选）在流行病学中，基本传染数R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的
0
情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R 个人为第一轮传染，第一轮被传染的R 个
0 0
人每人再传染R 个人为第二轮传染，．假设某种传染病的基本传染数R 4，平均感染周期为7
0 0
天，初始感染者为1人，则( )
A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天
9MST老唐说题26版一轮
【例3】某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且每年年底卖出100头
牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c ，c ，c ，S 为{c }的前n项和，则S  .（结
1 2 3 n n 6
果保留成整数）（参考数据：1.15 1.611，1.16 1.771，1.17 1.949)
10