第三节等比数列_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮 数列第 3 节 等比数列 考向一 等比数列的概念及通项公式 知识点一 等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． a a 2．递推公式形式的定义： n q(nN且n2)（ n1 q，nN）. a a n1 n 知识点二 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数a,b同号，即ab0时，实数a,b存在等比中项．对同号两实 数a,b的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项G ab．也就是说，两实数要么没有等 比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中 项关系”转化求解． ②G2 ab是a、G、b成等比数列的必要不充分条件. 知识点三 等比数列的通项公式 若等比数列{a }的首项为a ，公比为q，则a a qn1(n∈N*)． n 1 n 1 知识点四 从函数观点看等比数列——等比数列与指数函数 1.等比数列的图象 a a 对于等比数列{a }，通项公式a a qn1  1 qn．当q1且a 1时，它们都是一个非零常数c(c＝ 1 ) n n 1 q 1 q 与指数函数y＝qx的乘积：y＝cqx. 由指数函数y＝qx的图象可以得出y＝cqx的图象，而y＝cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，a ) n 组成如下图等比数列的图象． 当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a ，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 1 2.等比数列的单调性 （1）已知等比数列{a }的首项为a ，公比为q，则 n 1 1MST老唐说题26版一轮 a 0 a 0 a 0 a 0 ①当 1 或 1 时，{a }是递增数列；②当 1 或 1 时，{a }是递减数列； q1 0q1 n 0q1 q1 n ③当q 1时，{a }为常数列(a 0)． n n （2）对于等比数列{a }，借助函数y＝cqn的性质，可分析等比数列{a }的增减性如下表． n n a a >0 a <0 1 1 1 q的范围 01 01 数列{a }的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 n （3）等比数列{a }，当公比q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇 n 数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图) 注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列. 知识点五 等比数列通项公式的推广和变形 1.通项公式变形 等比数列{a }的公比为q，则 n a ①qnm  n ，可用来由等比数列任两项求公比. a m ②a a qnm，可以用来利用任一项及公比直接得到通项公式，不必求a . n m 1 a a qn1 证明：∵a a qn1，a a qm1，∴ n  1  qnm，∴a a qnm. n 1 m 1 a a qm1 n m m 1 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式 a a qn1 (nN*，a q  0)可以看成是m1时的特殊情况. n 1 1 a ③qn  n ，已知首项，末项，公比即可计算出项数. a 1 2.基本量法 （1）等比数列可以由首项a 和公比q确定，我们把a 和q称为基本量，所有关于等比数列的计算和证明， 1 1 都可围绕a 和q进行.在基本量法中，不拘泥于a ，有a 可以直接用a . 1 1 m m 解题时没有思路了，可以回归基本量法. （2）求等比数列的通项公式的两种思路： 2MST老唐说题26版一轮 ①设出基本量a 、q，利用条件构建方程组，通过两式相除法或者代入消元法求出a ，q，即可写出等比 1 1   数列 a 的通项公式； n a aqn1 a ②已知等比数列中的两项a ,a (n,mN*,n m)时，则 n 1  n qnm可不必求a 而直接写 n m a m a 1 qm1 a m 1 出等比数列{a }的通项公式． n ③设项技巧——对称设项 a （i）三个数成等比数列可设为： ，a，aq或a，aq，aq2； q a a （ii）四个数成等比数列可设为： ， ，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3. q3 q   【例1】(2022•乙卷理)已知等比数列 a 的前3项和为168，a a 42，则a ( ) n 2 5 6 A．14 B．12 C．6 D．3 【例2】（2020•新课标Ⅰ文）设{a }是等比数列，且a a a 1，a a +a 2，则a a a （ ） n 1 2 3 2 3 4 6 7 8 A．12 B．24 C．30 D．32   【例3】（2019•全国III卷理）已知各项均为正数的等比数列 a 的前4项和为15，且 n a 3a 4a ，则a （ ） 5 3 1 3 A．16 B．8 C．4 D．2 3MST老唐说题26版一轮 考向二 等比数列的常用性质 一、由等比数列生成新的等比数列 若数列{a }是公比为q的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质： n 1.数列 a  (0)仍是公比为q的等比数列； n 2.数列  a （为常数）为等比数列；特别地，当1时，即   1  是公比为 1 的等比数列； n a  q n     3.若数列 b 是公比为q'的等比数列，则数列 a b 是公比为qq'的等比数列； n n n 4．在等比数列{a }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a，a ，a ，a 为 n n n＋k n＋2k n＋3k 等比数列，公比为qk． 二、等差数列与等比数列的联系 1.若数列{a }是公差为d的等差数列，则数列{ba n}（b0且b1）是公比为bd的等比数列． n 2.若数列{a }是公比为q等比数列，则数列{log |a |}（b0且b1）公差为log |q|的等差数列． n b n b 3.如果数列{a }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a }是非零常数数列；但数列{a }是常数数列仅是数 n n n 列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． 三、项的性质 1.对称性：若mn pq，则a a a a ；若mn2k ，则a a a2． m n p q m n k 推广：①若mnt  pqr，则a a a a a a ．②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积 m n t p q r 都相等，都等于首末两项的积：a a a a a a ． 1 n 2 n1 m n1m 2.若m,n,p成等差数列，则a ,a ,a 成等比数列． m n p a a a 3.等比性质： m1 k m2 k mn k qk． a a a m1 m2 mn a a a a a a a a a a a a 例如：① 3 6 99 q；② 3 6 99 q2；③ 7 8 9 q3； 7 8 9 q6． a a a a a a a a a a a a 2 5 98 1 4 97 4 5 6 1 2 3 【例1】已知{an}为正项等比数列，若lga2 ，lga2024 是函数（f x）＝3x2﹣12x+9的两个零点，则a1a2025 ＝（ ） A．10 B．104 C．108 D．1012 4MST老唐说题26版一轮 12 2 1 1 1 【例2】在等比数列{a }中，a a a  ，a a  ，则   ( ) n 1 2 8 5 4 5 5 a a a 1 2 8 24 14 A．6 B． C． D．2 25 5 【例3】在各项均为正数的等比数列a 中，a22a a a2 25，则a a 的最大值是（ ） n 6 5 9 8 6 8 25 2 A．25 B．5 C． D． 4 5 考向三 等比数列的前n项和公式及其性质 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 a 1－qn a －a q 1 q≠1， 1 n q≠1， 求和公式 S ＝ 1－q S ＝ 1－q n n na q＝1 na q＝1 1 1 1.推导方法： a a a 由等比数列的定义，有 2  3  n  q a a a 1 2 n1 a a a S a 根据等比性质，有 2 3 n  n 1  q  (1q)S a a q a a a S a n 1 n 1 2 n1 n n a a q a (1qn) ∴当q 1时，S  1 n 或S  1 . n 1q n 1q 2.基本量法 （1）对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a ，q.如果再给出第三个条件就可以完 1 成a ，a ，q，n，S 的“知三求二”问题．这体现了利用方程思想通过两式相除法或代入消元法求出基本量 n 1 n 解决问题．解题时没有思路了，可以考虑“回归基本量法”. 注：往往要用到乘法公式a2 b2 (ab)(ab)，a3 b3 (ab)(a2 abb2). （2）和式代换法：将S 层的计算先降维到a 层，再进行下一步计算 n n 5MST老唐说题26版一轮 S ,n1 ①a  1 ；②S S a a a . n S S ,n2 n m m1 m2 n n n1 3.前n项和S 的常用性质 n ①S S qmS S +qnS ．例如：S =S +q5S ； mn m n n m 10 5 5 证明：S  S a a ， mn m m1 mn 而a a aqm a qm a qm   a a a  qm  S qm，于是S S qmS . m1 mn 1 2 n 1 2 n n mn m n 特别地，S a qS . n1 1 n ②S ,S S ,S S ，…构成公比为qm的等比数列(q 1). m 2m m 3m 2m 若a a a S ,a a a S S , 1 2 m m m1 m2 2m 2m m a a a S S ,，则S ,S S ,S S ,成公比为qm的等比数列. 2m1 2m2 3m 3m 2m m 2m m 3m 2m 4．S 与S 的性质 奇 偶 等比数列{a }中，所有奇数项之和S 与所有偶数项之和S 具有的性质，设公比为q． n 奇 偶 S S a （1）若共有2n项，则 偶 q；（2）若共有2n1项， 奇 1 q． S S 奇 偶 S 【例1】（2020•新课标Ⅱ文）记S n 为等比数列{a n }的前n项和．若a 5 –a 3 =12，a 6 –a 4 =24，则 n =（ ） a n A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【例2】（2020•新课标Ⅱ）数列{a }中，a 2，a a a ．若a a a 215 25，则k ( n 1 mn m n k1 k2 k10 ) A．2 B．3 C．4 D．5 1 【例3】（2019•全国1）记S n 为等比数列{a n }的前n项和．若a 1  3 ，a 4 2 a 6 ，则S 5 =___________． 6MST老唐说题26版一轮 【例4】在等比数列{a }中，已知前n项和S 2n a，则a的值为( ) n n A．1 B．1 C．2 D．2 【例5】（2021•甲卷文）记S 为等比数列  a  的前n项和.若S 4，S 6，则S （ ） n n 2 4 6 A．7 B．8 C．9 D．10 S S 【例6】设等比数列{a }的前n项和为S ，若 3 3，则 6 （ ） n n S S 6 9 8 3 A.2 B. C. D.3 3 7 考向四 等比数列的判定方法 1.定义法：若 a n＋1＝q(q为非零常数)或 a n ＝q(q为非零常数且n≥2)，则 a 是等比数列． n a a n n－1 2.等比中项法：若数列 a n 中a n ≠0且a2 n＋1 ＝a n ·a n＋2 (n∈N*)，则数列 a n 是等比数列． 3.通项公式法：若数列通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{a }是等比数列． n n 4.前n项和法：若数列 a 的前n项和S ＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 a 是等比数列． n n n 需要说明的是：对于方法(1)、(2)适用于任何题型，强调推理过程，而方法(3)、(4)适合于选择、填空题， 强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可． 5.常见的等比数列 （1）若S  Aqn B，当AB 0时，{a }是等比数列；当AB 0时，{a }是从第二项开始的等比 n n n 数列． （2）S  Aa B（A1），则{a }是等比数列． n n n （3）若S  Aa B（A0），则 a 是从第二项a 为首项的等比数列． n n1 n 2 7MST老唐说题26版一轮 【例1】（2019·全国卷Ⅱ）数列{a }和{b }满足a 1，b 0，4a 3a b 4，4b 3b a 4 n n 1 1 n＋1 n n n＋1 n n （1）证明：{a b }是等比数列，{a b }是等差数列； n n n n （2）求{a }和{b }的通项公式． n n 【例2】记数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1 ＝4， ． 4( +1) +1 = ( −1) （1）证明：数列 是等比数列； 2 −1 −1 （2）求{an}的通项{ 2公 −式1．} 【例3】记S 为数列{a }的前n项和，T 为数列{S }的前n项和，已知S T 2． n n n n n n （1）求证：数列{S }是等比数列； n （2）求数列{a }的通项公式． n 3 3a 【例4】已知数列{a }的首项a  ,a  n (nN*)． n 1 5 n1 2a 1 n  1  （1）求证：数列 1是等比数列； a  n （2）求数列{a }的通项公式． n = 8MST老唐说题26版一轮 考向五 等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．解决应用题的一般步骤： （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； （2）建模：将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结 构和特征； （3）解模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 3．注意问题是求什么(n，a ，S )． n n 注意： （1）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． （2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． （3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． （4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 4.实际应用题常见的数列模型 （1）储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n. （2）总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y＝ N(1＋p)n. （3）传染病模型：第一天确诊患者数a 人，每个人的传染力为q，则经过n1轮传染后，则患者总人数为 1 a (1qn) S  1 . n 1q 【例1】某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款a 元，按照复利计算，10 0 a 年后得到的本利和为a ，下列各数中与 10 最接近的是( ) 10 a 0 A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【例2】（多选）在流行病学中，基本传染数R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的 0 情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R 个人为第一轮传染，第一轮被传染的R 个 0 0 人每人再传染R 个人为第二轮传染，．假设某种传染病的基本传染数R 4，平均感染周期为7 0 0 天，初始感染者为1人，则( ) A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人 C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天 9MST老唐说题26版一轮 【例3】某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且每年年底卖出100头 牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c ，c ，c ，S 为{c }的前n项和，则S  .（结 1 2 3 n n 6 果保留成整数）（参考数据：1.15 1.611，1.16 1.771，1.17 1.949) 10