第三节基本不等式_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第一章

添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 1. 3 基本不等式 考向 1 利用基本不等式求最值 1．基本不等式 ab ab 如果a0，b0，那么 ab  ，当且仅当ab时，等号成立．其中， 叫作a，b的算术平均 2 2 数， ab 叫作a，b的几何平均数．即正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a，b R ，则a2 b2 2ab，当且仅当 ab 时取等号； ab 基本不等式2：若a，b R+ ，则  ab （或ab2 ab ），当且仅当 ab 时取等号． 2 2．两个基本不等式的异同 （1）两个基本不等式中实数a，b的取值范围是不同的，运用第二个不等式时，a，b必须都是 正实数 ． （2）两个基本不等式中等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号； （3）两个基本不等式的变形：（这里的变形要让学生理解是如何得来的，同时也让学生试着去发现这些不 等式都出现了哪些运算形式，有求和，乘积，平方和，开方和） 第一个不等式可变形为：a2 3b2 2b(ab)或2a2 2b2 (ab)2，其中a，bR； ab 第二个不等式可变形为：( a  b)2 4 ab 或ab( )2，其中a，bR+． 2 （4）常用基本不等式2来求最值：当两个正数a，b的积为定值时，由ab2 ab 可得当ab时，它们的 ab 和有最 小 值；当两个正数a，b的和为定值时，由ab( )2可得当a b时，它们的积有最 大 值，正 2 所谓“积定和最 小 ，和定积最 大 ”． 如：已知x0，y0． s2 ①若x ys（和为定值），则当x y时，积xy取得最大值 ； 4 ②若xy p（积为定值），则当x y时，和x y取得最小值2 p ． 注意 （1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定”指求 最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件，即取等条件成立． （2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致． 题型1 直接使用 n n 模型一：mx 2 mn(m0，n0)，当且仅当x 时等号成立； x m n n n 模型二：mx m(xa) ma2 mn ma(m0，n0)，当且仅当xa 时等号成立． xa xa m添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 ax2 bxc c c 模型三： axb 2 ac b(a0，c0)，当且仅当ax 时等号成立． x x x 【例1】（2024•上海）已知ab1，4a2 9b2的最小值为 ． 1 1 【例2】若x( ,1]，则2x 的最小值为( ) 2 2x1 A．1 B．2 C．2 2 D．3 x2 x4 【例3】若x1，则函数y ( ) x1 A．有最大值5 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最小值3 题型2 “1”的代换 a b 形如x y 1和  1的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒数结构 x y x y 【例1】（2015•福建）若直线  1(a0,b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于( ) a b A．2 B．3 C．4 D．5 a1 3 【例2】已知a0，b0，且  2，则3ab的最小值为( ) a b A．4 B．6 C．9 D．12 【例3】已知a，b是两个不同的正数，满足ab2ab，则3a2b的最小值是( ) 32 2 5 A． B．52 6 C．3 D．  6 2 2添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 题型3 换元与消元 消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示另一个 参数，再利用基本不等式进行求解．尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别运用两个 分式的分母作为新的两个参数，再转化为新参数的不等关系． 【例1】（2020•江苏）已知5x2y2  y4 1(x,yR)，则x2  y2的最小值是 ． 1 3 【例2】已知0a1，0b1，且4ab4a4b30，则  的最小值是( ) a b 164 3 A． B．3 C．2 3 D．8 3 1 2 【例3】已知x y0且4x3y1，则  的最小值为( ) 2xy x2y A．10 B．9 C．8 D．7 题型4 齐次化 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本 不等式进行求解． (x1)(y1) 【例1】已知x0，y0，x2y1，则 的最小值为( ) xy A．44 3 B．12 C．84 3 D．16 2x2 x1 【例2】已知x0，y0，x y1，则 的最小值为( ) xy 14 A．7 B． C． 22 D．2 21 3添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 考向 2 利用基本不等式解决实际问题 题型1 常见的几何无字证明模型 【例1】数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无 需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更 为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于 顶点的一个动点，设ADa，BDb，则该图形可以完成的无字证明为( ) ab ab a2 b2 A．  ab(a0,b0) B．  (a0,b0) 2 2 2 2ab C．  ab(a0,b0) D．a2 b2 2 ab(a0,b0) ab 题型2 常见的几个函数模型 1．常见实际应用问题 （1）经济效益问题；（2）几何图形无字证明或最值问题． 2．常见函数模型 （1）反比例函数型；（2）二次函数型；（3）对勾函数型． 【例1】杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至 10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生 产该款产品的固定成本为 4 万元，每生产 x 万件，需另投入成本 p(x)万元．当产量不足 6 万件时， 1 81 63 p(x) x2 x；当产量不小于6万件时， p(x)7x  ．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分 2 x 2 析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完． （1）求该款产品销售利润y（万元）关于产量x（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 【例2】如图，用面积140m2的铁皮制作一个长为am，宽为2m，高为bm的无盖盒子．制作要求如下：① 4a 铁皮全部用完，且不计拼接用料；②2b ． 3 （1）求a的取值范围； （2）当a，b分别为多少时，箱子的容积V 最大，并求出最大值．添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 柯西不等式 a b 柯西不等式二元式：设a，b，c，d R，有(ab)(cd)( ac  bd)2 当且仅当  时等号成立． c d 模型一：分母的倍数和为常数 m n 1 1 1 1 (ab)(  )( m  n)2，其中a,b,m,nR，例如：(ab)(  )( a  b )2 4； a b a b a b 模型二：一高一低和式配凑类型 (x2  y2)(m2 n2)(mxny)2，其中m，nR a2 b2 ab 例(a2 b2)(11)(ab)2或者写成  2 2 模型三：同次积式配凑类型 已知xy的值，求(xm)(yn)(m,nR)的最值，利用(xm)(yn)( xy  mn)2求最值． 【例1】（2014•陕西）设a，b，m，nR，且a2 b2 5，manb5，则 m2 n2 的最小值为 ． 【例2】柯西不等式(CauchySchwarzLnequality) 是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的， 它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：(a2 b2)(c2 d2)(acbd)2，当且仅当ad bc a b 时即  时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数 f(x)3 43x  3x2的最大值为( ) c d A．2 5 B．2 3 C． 10 D． 13 xy 【例3】已知3x2yz3，则x2  y2 2z2的取最小值时， 为( ) z 8 7 A． 7 B． C．3 D． 3 3添加老师微信：AlwaysContact，拉你进最新小初高资料免费分享群 MST老唐说题26版一轮 拓展2 权方和不等式 (a )m1 (a )m1 (a )m1  a a a m1 若a 0,b 0,m0.则 1  2  n  1 2 n i i (b )m (b )m (b )m  b b b m 1 2 n 1 2 n a a a 当且仅当 1  2  n 时，等号成立.m为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. b b b 1 2 n 【例1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 a2 b2 (ab)2 a b a ，b ， x ， y0 ，则   ，当且仅当  时等号成立．根据权方和不等式，函数 x y x y x y 1 4 1 f(x)  (0x )的最小值为( ) x 14x 4 A．1 B．4 C．9 D．16 x2 y2 【例2】x, y为正实数，且x y1，则  的最小值是 . x2 y1 1 8 【例3】设x，y是正实数且满足x y1，求  最小值. x2 y2