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第5讲 离散型随机变量及其分布列
最新考纲 考向预测
离散型随机变量的分布列
1.通过具体实例，了解离散型随机变量
及其性质、两点分布和超
的概念，理解离散型随机变量的分布
命题趋势 几何分布是高考考查的热
列．
点，题型将主要是解答题，
2.通过具体实例，了解超几何分布，并
也可出选择题、填空题．
能解决简单的实际问题.
核心素养 数据分析、数学建模
1．离散型随机变量
(1)随机变量
特点：随着试验结果的变化而变化的变量．
表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量的特点
所有取值可以一一列举出来．
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
若离散型随机变量X可能取的不同值为x ，x ，…，x，…，x ，X取每一个值
1 2 i n
x(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x)＝p，则下表
i i i
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为 X的分布列，有时也用等式
P ( X ＝ x ) ＝ p ， i ＝ 1 ， 2 ， … ， n 表示X的分布列．
i i
(2)性质：
①p ≥ 0 ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， n )；②∑p＝1.
i i
3．常见的两类特殊分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X 0 1
P 1 － p p其中p＝ P ( X ＝ 1) 称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即：
X 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布
常用结论
1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的．
常见误区
1．对于分布列，易忽视其性质p ＋p ＋…＋p ＝1及p≥0(i＝1，2，…，n)，其
1 2 n i
作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
2．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个
数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
概率之和．( )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何
分布．( )
(5)下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( )
X 2 5
P 0.3 0.7
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C.A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能的取值为0，1，2.故选C.
3．设离散型随机变量ξ的分布列如表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是( )
A．P(ξ<3)＝ B．P(ξ>1)＝
C．P(2<ξ<4)＝ D．P(ξ<0.5)＝0
解析：选C.P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；P(ξ>1)＝＋＝，B错误；P(2<ξ<4)＝P(ξ
＝3)＝，C正确；P(ξ<0.5)＝＋＝，D错误．故选C.
4．(易错题)设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案：
离散型随机变量的分布列的性质
[题组练透]
1．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P p
则p为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，所以p＝1－＝.
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4C．－1 D．1
解析：选A.E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
3．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)．其中a是
常数，则P(<X<)的值为________．
解析：由×a＝1，知a＝1，得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
答案：
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每
个概率值均为非负值．
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应
的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．
超几何分布
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影
响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，
另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价
两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A ，A ，A ，A ，A ，A 和4名女志愿者
1 2 3 4 5 6
B ，B ，B ，B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
1 2 3 4
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的概率；
1 1
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M，
1 1
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为X 0 1 2 3 4
P
【引申探究】
1．(变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列．
解：由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
因此X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
2.(变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之
差，求X的分布列．
解：由题意可知X的取值为3，1，－1，－3，－5，
则P(X＝3)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，P(X＝－3)＝＝，
P(X＝－5)＝＝.
因此X的分布列为
X 3 1 －1 －3 －5
P
求超几何分布的分布列的步骤
1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个
红球的概率为( )A. B.
C. D.
解析：选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N
＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，
P(X＝6)＝(注意袋中球的个数为80＋20＝100)．
2．某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参
与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．
若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列．
解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数
为N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布．
X的所有可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝i)＝(i＝0，1，2，3)，则P(X＝0)＝
＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
求离散型随机变量的分布列
(2021·开封市模拟考试)某大学为了调查该校学生性别与身高(单位：厘
米)的关系，对该校1 000名学生按照10∶1的比例进行抽样调查，得到身高频数
分布表如下：
男生身高频数分布表
[160， [165， [170， [175， [180， [185，
男生身高/厘米
165) 170) 175) 180) 185) 190]
频数 7 10 19 18 4 2
女生身高频数分布表
[155， [160， [165， [170， [175，
女生身高/厘米 [150，155)
160) 165) 170) 175) 180]
频数 3 10 15 6 3 3
(1)估计这1 000名学生中女生的人数；
(2)估计这1 000名学生的身高在[170，190]的概率；
(3)在样本中，从身高在[170，180]的女生中任取3名进行调查，设X表示所选
3名学生中身高在[170，175)的人数，求X的分布列．【解】 (1)样本中男生为60名，女生为40名．
估计这1 000名学生中女生的人数是1 000×＝400.
(2)由题表知样本中身高在[170，190]的人数为19＋18＋4＋2＋3＋3＝49，样
本容量是100，
所以样本中身高在[170，190]的频率为.
所以估计这1 000名学生的身高在[170，190]的概率为0.49.
(3)依题意，X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
离散型随机变量分布列的求解步骤
(2021·贵阳市四校联考)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠
活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给
予相应优惠，标准如下：
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 ≥5次
收费比率 1 0.95 0.90 0.85 0.80
该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了
100位进行统计，得到的统计数据如下：
消费次数 1 2 3 4 5
人数 60 20 10 5 5
假设汽车美容1次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)某会员仅消费2次，求这2次消费中，公司获得的平均利润；
(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为1位会员服务的
平均利润为X元，求X的分布列．解：(1)因为第1次消费200元，利润为50元，第2次消费190元，利润为40
元，所以2次消费的平均利润为45元．
(2)若该会员消费1次，则X＝50，
P(X＝50)＝0.6；
若该会员消费2次，则X＝＝45，
P(X＝45)＝0.2；
若该会员消费3次，则X＝＝40，
P(X＝40)＝0.1；
若该会员消费4次，则X＝＝35，
P(X＝35)＝0.05；
若该会员消费5次，则X＝＝30，
P(X＝30)＝0.05.
故X的分布列为
X 50 45 40 35 30
P 0.6 0.2 0.1 0.05 0.05
[A级 基础练]
1．(2020·陕西咸阳模拟)设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝
0，1，2，那么a的值为( )
A. B. C. D.
解析：选D.因为随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，所
以P(ξ＝0)＝a＝a，P(ξ＝1)＝a＝，P(ξ＝2)＝a＝，所以a＋＋＝1，解得a＝.故选D.
2．(2021·河北邢台期中)10名学生中有a名女生，若从中抽取2名作为学生代
表，恰抽取1名女生的概率为，则a＝ ( )
A．1 B．2或8 C．2 D．8
解析：选B.设x表示抽取的女生人数，则x服从超几何分布，所以P(X＝1)＝
＝＝，解得a＝2或a＝8.故选B项．
3．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取
出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A.
ξ 1 2 3P
B.
ξ 1 2 3 4
P
C.
ξ 1 2 3
P
D.
ξ 1 2 3
P
解析：选C.随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ
＝3)＝＝，故选C.
4．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从
备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列
选项正确的是( )
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为
B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为
D．合格的概率为
解析：选CD.设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，p(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝
1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故
A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概
率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确；故选CD.
5．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝
2)＝________．
解析：由题意知，X服从超几何分布，
其中N＝10，M＝3，n＝4，
故P(X＝2)＝＝.
答案：
6.如图所示，A，B两点共有5条连线并联，它们在单位时
间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取
三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 ξ，则P(ξ≥8)＝________．
解析：由题意知，ξ的可能取值为7，8，9，10，
P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝.
所以ξ的概率分布列为
ξ 7 8 9 10
P
所以P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.
答案：
7．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，
规定每个学生坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
X，已知X＝2时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列．
解：(1)因为当X＝2时，有C种坐法，所以C＝6，即＝6，n2－n－12＝0，解得n
＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的
可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 2 3 4
P
8.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量
n(单位：枝，n∈N*)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进17枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列．
解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝(10－5)×17＝85；当日需求量n<17时，
利润y＝10n－85，所以y关于n的解析式为
y＝(n∈N*)．
(2)X可取55，65，75，85，P(X＝55)＝0.1，P(X＝65)＝0.2，P(X＝75)＝0.16，P
(X＝85)＝0.54.
X的分布列为
X 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
[B级 综合练]
9．某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢
会的服务工作．从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场
服务工作．
(1)设M为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者a但不包含男
志愿者b”，求事件M发生的概率；
(2)设X表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列．
解：(1)事件从10名志愿者中抽取6人负责会场服务工作M的基本事件的总
数为C，事件M包含的基本事件的个数为C，则P(M)＝＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝，
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
10.某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数
学学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学
5，每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1 800名学生的
数学选课人数统计如表：
课程 数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 合计
180 540 540 360 180 1 800
选课人数
为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1
800名学生中抽取10人进行分析．
(1)从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2
的概率；
(2)从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，
选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ＝X－Y，求随机变量ξ的分布列．
解：抽取的10人中选修数学1的人数应为10×＝1人，选修数学2的人数应
为10×＝3人，选修数学3的人数应为10×＝3人，选修数学4的人数应为10×
＝2人，选修数学5的人数应为10×＝1人．
(1)从10人中选3人共有C＝120种选法，并且这120种选法出现的可能性是
相同的，有2人选择数学2的选法共有C·C＝21种，有3人选择数学2的选法有
C＝1种，所以至少有2人选择数学2的概率为＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，Y的可能取值为0，1，ξ的可能取值为－1，0，1，
2，3.
P(ξ＝－1)＝P(X＝0，Y＝1)＝＝；
P(ξ＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)
＝＋＝＋＝；
P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝2，Y＝1)
＝＋＝＋＝；
P(ξ＝2)＝P(X＝2，Y＝0)＝＝；
P(ξ＝3)＝P(X＝3，Y＝0)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ －1 0 1 2 3
P
[C级 创新练]
11．随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是
________．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.
答案：
12．由离散型随机变量X的分布列得知P(X＝2)＝Cp3·(1－p)17(0<p<1)，则当p
＝________时，P(X＝2)取到最大值．
解析：设f(p)＝p3(1－p)17，
则f′(p)＝3p2(1－p)17＋p3(－17)(1－p)16
＝p2(1－p)16(3－20p)，
由f′(p)＝0，得p＝，
当p∈时，f′(p)>0，f(p)是增函数，
当p∈时，f′(p)<0，f(p)是减函数，
所以当p＝时，f(p)取到最大值f，
P(X＝2)取到最大值C.
答案：
