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第5讲 离散型随机变量及其分布列
最新考纲 考向预测
离散型随机变量的分布列
1.通过具体实例，了解离散型随机变量
及其性质、两点分布和超
的概念，理解离散型随机变量的分布
命题趋势 几何分布是高考考查的热
列．
点，题型将主要是解答题，
2.通过具体实例，了解超几何分布，并
也可出选择题、填空题．
能解决简单的实际问题.
核心素养 数据分析、数学建模
1．离散型随机变量
(1)随机变量
特点：随着试验结果的变化而变化的变量．
表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量的特点
所有取值可以一一列举出来．
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
若离散型随机变量X可能取的不同值为x ，x ，…，x，…，x ，X取每一个值
1 2 i n
x(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x)＝p，则下表
i i i
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为 X的分布列，有时也用等式
P ( X ＝ x ) ＝ p ， i ＝ 1 ， 2 ， … ， n 表示X的分布列．
i i
(2)性质：
①p ≥ 0 ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， n )；②∑p＝1.
i i
3．常见的两类特殊分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X 0 1
P 1 － p p其中p＝ P ( X ＝ 1) 称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即：
X 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布
常用结论
1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的．
常见误区
1．对于分布列，易忽视其性质p ＋p ＋…＋p ＝1及p≥0(i＝1，2，…，n)，其
1 2 n i
作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
2．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个
数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
概率之和．( )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何
分布．( )
(5)下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( )
X 2 5
P 0.3 0.7
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C.A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能的取值为0，1，2.故选C.
3．设离散型随机变量ξ的分布列如表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是( )
A．P(ξ<3)＝ B．P(ξ>1)＝
C．P(2<ξ<4)＝ D．P(ξ<0.5)＝0
解析：选C.P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；P(ξ>1)＝＋＝，B错误；P(2<ξ<4)＝P(ξ
＝3)＝，C正确；P(ξ<0.5)＝＋＝，D错误．故选C.
4．(易错题)设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案：
离散型随机变量的分布列的性质
[题组练透]
1．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P p
则p为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，所以p＝1－＝.
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4C．－1 D．1
解析：选A.E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
3．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)．其中a是
常数，则P(0，f(p)是增函数，
当p∈时，f′(p)<0，f(p)是减函数，
所以当p＝时，f(p)取到最大值f，
P(X＝2)取到最大值C.
答案：
