文档内容
真题汇总
一
1987-2009
【编者注】1987年到1996年的数学试卷 I , II 均为现在的数学一 ．1987年真题
1987年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷I)
－、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
,
x I y 2 z I
(I)与两直线
:
::� l+t,及 ; = ; = � 都平行，且过原点的平面方程为
= 2 + t
z
x
(2)当 X= 时，函数 y = x2 取得极小值
(3)由曲线 y = ln x 与两直线 y = (e+ l) - x 及 y = 0所围成的平面图形的面积是 ．
2 2 2
(4)设L为取正向的圆周 x + y = 9则, 曲线积分f (2xy -2 y )d x+ (x -4x)d y 的值是
(5)已知3维线性空间的 一 组基底为a1 = (I, 1, 0),a
2
= (I, 0, 1),a
3
= (0, 1, 1),则 向量u=
(2,0,0)在上述基底下的坐标是 ．
二、（本题满分8分）
1 . J
t
求正常数a与b,使等式lim 尸dt = I 成立．
x---->O bx - Sill X O
三、（本题满分7分）
、加 彻
(1)设J, g 为连续可微函数,u = f(x,xy ), V = g (X+ XJ), 求—
如
· —
雇
3 0 1
a}
(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B, 其中A I 求矩阵B.
+
0 1 4
四、（本题满分8分）
"'
求微分方程 y + 6 y "+ (9 + a勹 y '= I 的通解，其中常数a>0 .
五、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
n k+ n
(1)设常数k>0 则, 级数 IC-1) 2 c )
n=l n
(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛． (D)收敛或发散与K的取值有关
勹
(2)设瓜）为已知连续函数，I= tf (tx)dx, 其中t>O,s>O,则I的值（ ）
l历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(A)依赖于s和t. (B)依赖于s,t, x.
(C)依赖于t和x,不依赖于s. (D)依赖于s,不依赖于t.
f(x) -f(a)
(3)设l x i --+ m a ? =- 1,则 在 X = a处（ ）
(x-a)
(A)f(x)的导数存在，且f'(a)¥= 0. (B)f(x)取得极大值．
(C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不 存在 ．
I I I I
(4)设 A为n阶方阵，且A的行列式 A = a¥= 0,而 A*是A的伴随矩阵，则 A* 等于（ ）
(A)a. (B)—
1
. (C) a
n-1
. (D)正
a
六、（本题满分10分）
00
L
求幕级数
1
n X
n-
1的收敛域，并求其和函数．
n =l n2
七、（本题满分10分）
计算曲面积分
2
I =§x( Sy + 1) dydz + 2( 1- y ) dzdx- 4 yz dxdy,
.t
2 z = Jy亡
其中 是由曲线\ 丁'(1:::;;y:::;;3)绕y轴旋转一周所成的曲面，它的法向植与y轴正向的
X = 0,
夹角恒大于工
2
八、（本题满分10分）
一
设函数八x)在闭区间 [ 0, 1]上可微，对于[ 0, 1]上的每 个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，
且f'(x) #1. 证明：在(O,1)内有且仅有 一 个x,使f(x) = x.
九、（本题满分8分）
问a,b为何值时，线性方程组
X 1 + X 2 + x 3 + X 4 = 0,
x + 2x + 2x = 1,
2 3 4
-x
2
+(a- 3)x
3
-2x
4
= b,
3x + 2x + x + ax = - l
1 2 3 4
一
有唯 解，无解， 有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解．
十、填空题（本题共3小题，每小题 2分，满分6分）
(1)设在 一 次试验中，事件A发生的概率为p.现进行n次独立试验，则A至少发生 一 次的概率为
一
；而事件A至多发生 次的概率为
一
(2)三个箱子，第 个箱子中有4个黑球 1个臼球，第二个箱子中有3个黑球 3个自球，第三个箱子
一
中有3个黑球5个自球现随机地取 个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为自球的概
21987年真题
率等于 ．已知取出的球是自球，此球属于第二个箱子的概率为 ．
7,
(3)已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) =
了
卫心 则X的数学期望为 ，X的
-1'
方差为
+-、（本题满分6分）
设随机变鼠X,Y相互独立，其概率密度函数分别为
1, O�x�l, 亡， y > 0,
八(x) = { fy(y) = {
0, 其他， 0, y::;;; 0.
求随机变量Z = 2X + Y的概率密度函数
（试卷II)
一、（本题满分15分）【同试卷I 第一题】
二、（本题共2小题，满分14分）
f
(1)( 本题满分6分）计算定积分 (I x I + x) e-1 xi dx.
-2
(2)(本题满分8分）【同试卷I 第二题】
三、（本题满分7分）
矿z
设z = f(u,x,y) ,u = xer,其 中J具有二阶连续偏导数 ，求
如叶
四、（本题满分8分）【同试卷I 第四题】
五、（本题满分12分）【同试卷I 第五题】
六、（本题满分10分）【同试卷I 第六题】
七、（本题满分10分）【同试卷I 第七题】
八、（本题满分10分）【同试卷I 第八题】
九、（本题满分8分）【同试卷I 第九题】
十、（本题满分6分）
设A为 阶矩阵，入 和入 是A的两个不同的特征值， 是分别 属于入 和入 的特征向屉试证
n 1 2 X1 ,X2 1 2
明 + 不是A的特征向鼠．
X1 Xz
3历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
1988年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷I)
一、（本题共3小题每， 小题5分，满分15分）
oo
(X 3)n
(1)求幕级数二 - 的收敛域
n=l n3
丑
(2)已知f(x) = e ，八叭x)]= 1 -x且叭x) ;;::: 0,求 叭x)并写出它的定义域
2 2 2
(3)设2为曲面x + y + z = 1的外侧，计算曲面积分
=册
3 3 3
I x dydz + y dzdx + z dxdy .
.J;
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
!� 芷
巴 l
(1)若兀） = t(I+ ),则f'(t) = .
--;-
(2)设八x)是周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上的定义为
2, -1 0, f'(x。) = 0,则 函数f(x) 在点
x。处 （ ）
(A)取得极大值 (B)取得极小值
(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少．
2 2 2 2 2 2 2
(3)设有空间区域fl 1 : x + y + z �R ,z �0 ; 及[1 2 :X 十广+z �R 'X�0'y�0, z�0'则（ ）
fjJ fjJ
(A) fJJ xdv = 4 fJJ xdv. (B) ydv = 4 ydv.
il1 纺 il1 {Ji
fjJ fjJ
(C) fJJzdv = 4 fJJzdv. (D) xyzdv = 4 xyzdv.
il1 fii il1 {Ji
41988年真题
I
n
a X X
n
(4)若n = I (x -I) 在 = -I处收敛，则此级数在 = 2 处（ ）
(A)条件收敛. (B)绝对收敛．
(C)发散. (D)收敛性不能确定
1 2
(5) n维向最组a ,a '…，a, (3 ::::; s ::::; n)线性无关的充分必要条件是（ ）
一 … …
l 2 ., 1 1 2 2 ., .,
(A)存在 组不全为零的数 k ,k ' ，k '使 k a + k a + + k a ¥= 0.
1 2
(B)a ,a ,… ，q中任意两个向量都线性尤关．
一
1 2
(C)a ,a ,… ，q中 存在 个向量，它不能用其余向量线性表出．
一
1 2
(D)a ,a ,… ，q中任意 个向最都不能用其余向鼠线性表出．
四、（本题满
王
分
)
6分）
矿U
a2u
X
如2 妞
设u = yf( + xg(LX ),其 中函数f,g具有二阶连续导数，求 +y
y a y
五、（本题满分8分）
x
设 2 函数y = y(x)满足微分方程y" - 3y'+ 2y = 2e , 且其图形在点(O,1)处的切线与曲线y =
x - x+ I在该点的切线重合，求函数y = y(x).
六、（本题满分9分）
了k
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为 (k > 0为常数，r为质点A与M之间的距离），
r
质点M沿曲线y =迈：二了自B(2 ,0)运动到0(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引
力所作的功．
七、（本题满分6分）
1 0 0 1 0 0
已知AP=PB,其中B=[� � JP=[ I }求A 及 A ' .
� � � �
八、（本题满分8分）
2 0 0 2 0 0
已知矩阵A�[o O IJ与B�[o y O J相似
0 1 x O O -I
(1)求 x与y;
一
1
(2 )求 个满足p-AP=B的可逆矩阵 P.
九、（本题满分9分） t,
一
设函数f(x)在区间[ a ,b]上连续，且在(a,b)内有f'(x) > 0. 证明：在(a,b)内存在唯 的 使曲
X
线y = J(x)与两直线y =八妒， = a所围平面图形面积S是曲线y = J(x)与两直线y = J(g)'
X 1
2
= b所围平面图形面积S 的 3倍
5历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分）
一 —19
(1)设三次独立试验中 ，事件A出现的概率相等．若已知A至少出现 次的概率等于 ，则事件A在
27
一
次试验中出现的概率为
(2)在区间(O,1)中随机地取两个数，则事件
”
两数之和小于
—6
"的概率为
5
(3)设随机变量X服从均值为10,均r方 差为0.02的正态分布已知
I
中(x) = e 寻du, 中(2.5) = 0. 9938
-00 芦
则X落在区间(9.95, 10. 05)内的概率为 ．
十一、（本题满分6分）
1 了
设随机变量X的概率密度函数为八(x) = ，求随机变量y = I -汃的概率密度函数
叭1 + 勹
X
fy(y).
（试卷 II)
一、（本题满分15分）【同试卷I 第一题】
二、（本题满分12分）【同试卷I 第二题】
三、（本题满分15分）【同试卷1 第三题】
四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分）
(1)【同试卷I 第四题】
J J J4 叫2
(2)计算二次积分 dx sin 空dy + sin 空dy.
石 2y 2 石 2y
2 2 X -6 y -3
(3) 求椭球面x + 2y + 3l = 21上某点M处的切平面 的方程，使 过巳知直线L: =
1T 1T
2 1
2z -I
= .
-2
五、（本题满分8分）【同试卷I 第五题】
六、（本题满分9分）【同试卷1 第六题】
七、（本题满分6分）【同试卷I 第七题】
八、（本题满分8分）【同试卷I 第八题】
九、（本题满分9分）【同试卷I 第九题】
61989年真题
1989年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷I)
－、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
f f
(3 -h) - (3)
(1)已知f'(3) = 2, 则lim
h----+O 2h
(2)设八x)是连续函数，且j(X) = X + 2 r j(t)d t , 则J(x) = .
J
Ji
2 2
(3)设平面曲线L为下半圆y =- 二了，则曲线积分 (x + y )d s =
2 2
(4)向最场u(x,y,z) = xy i +ye]+ x ln(l + z )k在点P(l,1,0)处的散度div u = .
3 0 0 1 0 0
[o
(5)设矩阵 A = [1 4 0} E = I O}则逆矩阵(A -2E) _, = .
0 0 3 0 0 1
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1
(1)当X > Q时， 曲线y = xsin — ( )
(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线
(C)既有水平渐近线，也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线，也无铅直渐近线
2 2
(2)已知曲面z= 4 -x -y 上点P处的切平面平行于平面2x +2 y +z -I = 0,则 点P的坐标是（ ）
(A)(l, -1,2). (B)(-1,1,2). (C)(l,1,2). (D)(-1, -1,2).
(3)设线性无关的函数Y1 ,Y2 ,y 3 都是二阶非齐次线性方程 y" +p (x)y' +q( x)y =f(x)的解 ，C1 ,C2
是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）
(A)C 1Y1 + C订2 +Y 3· (B)C1Y1 + C2Y2 -(C1 + C2 )Y3·
(C)C1Y1 +C2Y2 -(1 -Ci -C2 )凡· (D)C1Y1 + C2Y2 +( 1 -C1 -C2 )J3·
2
(4)设函数J(x)= x ,0�x�I , 而
S(x) =三仇sin n而， -oo 0)上，问当R取何值时，球面 2 在定
球面内部的那部分的面积最大？
十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分）
(1)已知随机事件A的概率P(A) =0.5, 随机事件B的概率P(B) =0 .6 及条件概率P(B I A) =
81989年真题
0.8, 则和事件AUB的概率P(AU B) =
一 一
(2)甲、乙两人独立地对同 目标射击 次，其命中率分别为0.6和0.5. 现已知目标被命中 ，则它
是甲射中的概率为
g
2
(3)若随机变量 在(1,6)上服从均匀分布，则方程x + tx + I = 0有实根的概率是
一
十 、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为五的正态分布，而Y服从标准正态
分布．试求随机变量Z = 2X -Y + 3的概率密度函数
（试卷II)
一 一
、（本题满分15分）【同试卷I 第 题】
二、（本题满分15分【） 同试卷I 第二题】
三、（本题满分15分【） 同试卷I 第三题】
四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分）
(1)【同试卷I 第四题】
2 2 2 2
(2)求八分之一的球面x +y +z = R ,x� 0 ,y� 0,z� 0的边界曲线的重心，设曲线的线密度
p
= I.
2 2 2
(3) 设空间区域0由曲面z = a -x -y 与平面z = 0围成，其中a为正常数记0表面的外侧为
s,n
的体积为V.证明：
2 l 2 2
§x ydy由-xy z dzdx +z (I +x yz)dxdy = V.
五、（本题满分7分）【同试卷I 第五题】
六、（本题满分7分）【同试卷I 第六题】
七、（本题满分6分）【同试卷I 第七题】
八、（本题满分8分）【同试卷I 第八题】
九、（本题满分9分）【同试卷I 第九题】
9历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
1990年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷I)
-、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
x=-t + 2,
(1)过点M(1,2, -1)且与直线/r�3t -4, 垂直的平面方程是
z= t -I
(2)设a为非零常数，则
x
l
---->
im
oo
(
x
X -
+a
a
)
Ix I ::::;
1, 1 f
(3)设函数f(x)= { ＇则 [J(x)] =
0, lxl>l,
L l
2 2
2
(4)积分 dx e -r dy的值等于
(5)已知向最组a1= (I ,2,3,4), a2= (2,3,4,5) ,a 3 = (3,4,5,6), a4 = (4,5,6,7),则 该向最组
的秩是
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
f
(1)设f(x)是连续函数，且F(X)= J(t) dt, 则 F'(x)等于（ ）
(A) -e-xf(e一x) -J(X). (B) -e -xf (e一X) + f(x)•
(C)e -xf( e -x) -J(X). (D)e -xf( e -x) +J (X).
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f1 (X)= [J(X)尸，则当n为大于2的正整数时， f(x)的n
n
阶导数f( )(x)为（ ）
(A)n ! [J(X) ]
n+l
. (B)n [j(X) ]
n+l
. (C) [j(X) ]
2 n•
(D)n ! [J(X) ]
2 n.
(3)设a为常数，则级数� (Sl: 皿＿｀（ ）
忙
(A)绝对收敛 (B)条件收敛．
(C)发散． (D)收敛性 与a的取值有关
f(x)
(4)已知f(x)在X=0 的某个邻域内连续，且f(O)=0 , lim =2 ,则 在点X=0 处f(x)( )
---->O 1 - COS X
x
f
(A)不可导 (B)可导，且 I (0) -=p 0.
(C)取得极大值 (D)取得极小值
(5)已知Pi, P2 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，a 1 'a 2 是对应齐次线性方程组Ax=0
一
的基础解系，k l,k2 为任意常数，则方程组Ax=b的通解（ 般解）是（ ）
/31 -/32
一
/31 +化
(A)k1a1 +k2(a1 +a2) + . (B)k 1 a1 + k2 (a1 a2) + .
2 2
Pi -P2 Pi + 化
(C)k1a1 +k2C/J1 + /J2) + . (D)k 1 a1 + k2 (/31 -/J2) + .
2 2
101990年真题
三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
(1)求r。 In (1 + X) d x .
(2 -x)
扩z
(2)设z = f (2x -y, ysin x), 其中八u,v)具有连续的二阶偏导数，求
a垃y"
(3)求微分方程y"+ 4y'+ 4y = e - 2 x的通解（ 一 般解）．
四、（本题满分6分）
求幕级数三(2n+ 1)矿的收敛域，并求其和函数．
n =0
五、（本题满分8分）
求曲面积分
=『
I yzdzdx + 2dxdy,
2 2 2 l
其中 是球面x + y + = 4外侧在z ;:: 0的部分．
六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b). 证明
在(a,b)内至少存在 一 点{,使得f'(t) > 0.
七、（本题满分6分）
。 。
设4阶矩阵
1 。 -1 。 2 1 3 4
。 。
1 -1 0 2 1 3
B = I ， C =
1 -1 0 0 2 1
0 0 0 1 丿 \Q O O 2
T T
且矩阵A满足关系式A(E - c-1B?c = E, 其中E 为4阶单位矩阵，c-1表示C的逆矩阵，C表
示C的转置矩阵．将上述关系式化简并求矩阵A.
八、（本题满分8分）
求 一 个正交变换化二次型j = Xi + 4式+4x; -4x 1 x 2 + 4x 1 x 3 -8x 2 x 3 成标准形．
九、（本题满分8分）
y
质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(l,2)运动到点B(3,4)的过程
中受变力F作用（如图），F的大小等于点P与原点0之间的距离，其方向
垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于巠．求变力F对质点P所作
2
的功．
。 X
11历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分）
(1)已知随机变屈X的概率密度函数
1
J(X) = —e-I xi ' 一 oo 0)中，求 一 条曲线L,使沿该曲线从0到A的
3
积分J
L
(l + y ) dx + (2x + y) d
r
的值最小．
五、（本题满分8分）
00
f I I
将函数 (x) = 2 + x (-飞 X =:::; 1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数三上的和
n
n=l
六、（本题满分7分）
J�f f
一
设函数瓜）在[0,1 ]上连续，(0,1)内可导，且3 (X) dx = (0), 证明准(O,1)内存在 点 c,使
f'(c) = 0.
七、（本题满分8分）
p
巳知a1 = (1,0,2,3)平= (1,1,3,5), a 3 = (1, - l,a + 2,1), a4 = (l,2,4,a + 8)及 =
(1,1,b+3,5).
p
(l)a,b为何值时， 不能表示成 a1,a2 ,a3 ,a4的线性组合？
P
(2)a,b为何值时， 有a1,a2 ,a 3 ,a4 的唯 一 的线性表示式？并写出该表示式
八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+ E的行列式大于1.
九、（本题满分8分）
一 一
在上半平面求 条向上凹的曲线 ，其 上任 点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长
度的倒数( Q是法线与x轴的交点 ） ，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴 平行．
十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）
l
(1)若随机变量X服从均值为2,方差为矿的正态分布，且Pj2 O,y > 0,
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为J(x,y) = { 求随机变量Z = X + 2Y
0, 其他，
的分布函数
（试卷II)
一
一、（本题满分15分）【同试卷I 第 题】
二、（本题满分15分）【同试卷I 第二题】
三、（本题满分15分）【同试卷I 第三题】
四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分）
+oc
dx
(1)求f 二
4
3 (x-1)
=』-
2 2
(2)计算I ydzdx + (z + 1) dxdy, 其中S是圆柱面x + y = 4被平面X + Z = 2和z = 0所
截出部分的外侧
(3)【同试卷I 第四题】
五、（本题满分8分）【同试卷I 第五题】
六、（本题满分7分）【同试卷I 第六题】
七、（本题满分8分）【同试卷I 第七题】
八、（本题满分6分）【同试卷I 第八题】
九、（本题满分8分）【同试卷I 第九题】
15历年考研数学真题解析及复习思路 数学一）
1992年全国硕士研究生招生考试试题
（
（试卷I)
－、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
e
x+y
cos
(I)设函数y= y(x)由方程 + (xy) = 0确定，则-1'.=
dx
2 2
(2) 函数u= ln(x 十 y +l) 在点M(I,2, -2)处的梯度grad u I
M
=
-1' -1r O)( ）
(A)发散 （ (B)条件收敛．
(C)绝对收敛 (D)收敛性 a 关
( 3、在曲线 x＝t
,
y＝- t 2
，
z=t 3的所 有 切线中
，
与平面 x 心 y2 ＝ 4平 1 4寸甘勺切线（ ）
（ 4 丿 ） （ （ 设 A A f ) 、
｀ 丿
（ 0 x 只 ． ) 有 ＝ l 3x
l
条 3 . + x2 x | ， ( ? （ h B B l使 ) ） l f 只 ． 5 有 、 丿 （ 2 0 ） 条． 存 在 的最 （ （ 高 C R C ) 微 豆 至 n 少 为 有 （ 3 条 ． ） （ D （ ） D 3
·
）不存在
( ／
0＼
） ＼
— 线
（ 5 要使tl O 仁 2 ＝ l | 都 是 性方程组 Ax ＿ o的 存 笥只要系数矩阵A为（ ）
＝ 2， 1丿 ＿
\ ) \
位 l
（B）
5
0 与－
）
(A)(-2,1,1). 1 l ·
2)
（ ）
m
-1 0 D 口 -: 勹有
(C)( .
厂
2
0 1 -1 W
161992年真题
三、（本题共3小题，每小题5分， 满分15分）
e -sm x -l
(1)求lim ．
x---->O
1
-尸
X 一
(2)设z = f(e sm• y ,x + y 2)'其中J具有 阶连续偏导数，求
帜
y·
{1 2
X , X 0,
(3)设八x) = 一� � 求fJ(x - 2)dx
e X > 0 I
四、（本题满分6分）
3
求微分方程y"+ 2y'-3y = e - x的通解
五、（本题满分8分）
3 3 2 3 2 2
计算曲面积分』(x + al)dydz + (y + ax )dzdx + (z + ay )dxdy, 其中 为上半球面z =
五2 _ x 2 _ y 2 的上侧
六、（本题满分7分）
设f"(X) < Q , f (0) = 0, 证明对任何X1 > 0 ,x 2 > 0, 有J丘+ X2) < f丘） + f(x立
七、（本题满分8分）
2 2 2
气=
在变力F= yz i + zx j + xy k的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 a 飞 + L b2 + C 1上第一卦
g
限的点M(t,TJ,?),问 ,TJ,? 取何值时，力F所作的功W最大？并求出W的最大值
八、（本题满分7分）
设向量组a1,a2 ,a3 线性相关， 向量组a2,a3 ,a4 线性无关问， ：
(1厄能否由a2,a3 线性表出？证明你的结论
(2)a 4 能否由a1,a2 ,a3 线性表出？证明你的结论
九、（本题满分7分）
f,
设3阶矩阵A的特征值为入' = I,入 ' = 2,入 ' = 3, 对应的特征向量依次为 = [:』女 = [!』
[J
t,
勹， 又 向 p =
械
P f ,f ,f
(1)将 用 1 2 3 线性表出；
n
(2)求A /J(n为自然数）．
17历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
十、填空题（本题满分6分，每小题3分）
1 1
— —
(1)已知P(A)=P (B)= P (C)= , P(AB)= 0 , P(AC)= P (BC)= 则事件A,B,C全不发
4 16'
生的概率为
2
(2)设随机变最X服从参数为l的指数分布，则数学期祖E( X+ e- x)=
一
十 、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(µ,矿），Y服从[-'IT,叫上的均匀分布，求Z=X+Y的
J
-f
l
概率密度（计算结果用标准正态分布函数中表示，其中中(X)= 芦 e dt).
-00
（试卷II)
一 一
、（本题满分15分）【同试卷I 第 题】
二、（本题满分15分）【同试卷I 第二题】
三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
(1)【同试卷I 第三、(1)题】
(2)【同试卷I 第三、(2)题】
� �
(3)设A,B 为3阶矩阵，E 为3阶单位阵，满足AB +E=A'+B,又知A=[一； }求矩阵B.
1
四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分）
(1)【同试卷I 第四题】
。 2
(2)求止厂(x -t)(J t)d t, 其中f(t)为已知的连续函数
dx
厂 厂
(3)计算tdy e?dx + f;dy e?dx
五、（本题满分8分）【同试卷I 第五题】
六、（本题满分7分）【同试卷I 第六题】
七、（本题满分8分）【同试卷I 第七题】
八、（本题满分7分）【同试卷I 第八题】
九、（本题满分7分）【同试卷I 第九题】
181993年真题
1993年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷I)
－、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
f 』
1
(1)函数F(x)= (2 - dt (x > 0)的单调减少区间为
1
2 2
3x + 2y = 12
(2)由曲线｛ ＇绕y轴旋转 一 周得到的旋转面在点(O,豆立）处的指向外侧的单位法
z =0
向最为
。
a
LOO
2
(3)设函数/(X)= 'TTX + X (-'TT Q, f(Q) < Q, 证明： f(x)在(0,+oo)
一
内有且仅有 个零点
b 气
(2)设b > a >
e
, 证明a >b
七、（本题满分8分）
已知二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 2xi + 3式+3式+2ax 2 x 3 (a > 0)通过正交变换化成标准形f= Yi +2 y;
+5计，求参数a及所用的正交变换矩阵．
八、（本题满分6分）
设A是n x m矩阵，B是m x n矩阵，其中n < m,E是n阶单位矩阵若A B=E, 证明B的列向址
组线性无关
九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动．物体B从点(-1,0)与A同时出
发，其速度大小为2v,方向始终指向A. 试建立物休B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条
件
201993年真题
十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）
一 一
(1) 批产品共有10个正品和2个次品 ，任意抽取两 次，每次抽 个，抽出后不再放回，则第二次抽
出的是次品的概率为 z
(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y = x 在(O,4)内的概率密度八(y) =
－
＋ 、（本题满分6分）
f
-oo 0'且级数三正收敛，则级数I<-1) < )
n=l n=l «+A
(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛 (D)收敛性与入有关
atan x + b(I - cos x) 2 2
(4) l
x
i
---->()
m
cln (I - 2x) + d (I - e一
x2
)
= 2, 其中a + c =ft O, 则必有（
(A) b = 4d. (B) b =- 4d.
= = -
(C)a 4c. (D)a 4c.
）
(5)已知向量组ll'1 年也立线性无关，则向量组（
(A)a1 十生立+ll'3 , ll'3 十也立+ll'1线性无关．
(B)ll' 1 一生,ll'2 -ll'3 , ll'3 一也立-ll'1线性尤关
(C厄+ll'2 , ll'2 十四也+ll'4 , ll'4 一 ll'1 线性尤关．
(D)ll' 1 十也立＋也立 － 也立-a1线性无关
221994年真题
三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
, r >)<�'�;
( I )设 :: : :::s�::� _ I cos u d u 在t = Jf 的值
五
2
1
1 1 + X l
(2)将函数f(x)= —ln + —arctan x - x 展开成 x的幕级数
4 1 - X 2
dx
(3)求I .
sin 2x+ 2sin x
四、（本题满分6分）
2
计算曲面积分 s 』 xd X 网 d + z + y 2 z + d x l d y ， 其中S是巾曲面 x 2 + y 2 = R 2 及两平面z= R,z =- R(R > O)所
围成立体表面的外侧
五、（本题满分9分）
2
设八x)具有二阶连续导数，f(0)= 0, f'(0) = 1 ,且 [xy(x+ y)- f(x)y ]dx+ [J'(x)+ x y ]dy = 0
一
为 全微分方程，求八x)及此全微分方程的通解．
六、（本题满分8分）
设瓜）在点X = 0的某 一 邻域内具有二阶连续导数，且杻} J< :) = 0'证明级数 1:i1 片）绝对收敛．
七、（本题满分6分）
s,
一
已知点A与点B的直角坐标分别为(1 ,0,0)与(0,1 ,1 ),线段AB绕z轴旋转 周所成的旋转曲面为
求由S及两平面 z= 0 ,z = l所围成的立体体积
八、（本题满分8分）
X + X = 0
设四元齐次线性方程组(I)为{ 1 ＇又已知某齐次线性方程组(II)的通解为kl (0,1 ,1 ,0)+
X2 - x4 = 0.
k2 (- 1 '2'2'1 ).
(1 )求线性方程组(I)的基础解系；
(2)问线性方程组(I)和( II )是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说
明理由．
九、（本题满分6分）
T T
设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A 是A的转置矩阵，当A*= A 时，证明IAI¥= 0.
23历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）
(1)已知A,B两个事件满足条件P(AB) = P(A B), 且P(A) = p, 则P(B) =
(2) 设相互独立的两个随机变最X,Y具有同一分布律，且X的分布律为
X 0 l
1 l
p -
2
则随机变量 Z = maxjX,Yf的分布律为
十一、（本题满分6分）
2 2
已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，并且X和Y分别服从正态分布N(l,3 )和N(0,4 ),X与
l z X Y
Y的相关系数p = - ，设 = — + —'
XY 了 3 2
(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z);
(2)求X与Z的相关系数P ;
xz
(3)问X与Z是否相互独立？为什么？
（试卷II)
一、（本题满分15分）【同试卷I 第一题】
二、（本题满分15分）【同试卷I 第二题】
三、（本题满分15分）【同试卷I 第三题】
四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
(1)在椭圆x 2 + 4y 2 = 4上求一点，使其到直线2x + 3y -6 = 0的距离最短
(2)【同试卷I 第四题】
五、（本题满分9分）【同试卷1 第五题】
六、（本题满分8分）【同试卷l 第六题】
七、（本题满分6分）【同试卷I 第七题】
八、（本题共2小题，满分14分）
(1) (本题满分6分） 设 A是n阶方阵，2,4,…，2n是A的 n个特征值，E是n阶单位阵，计算行列
IA I
式 -3 E 的值
(2)(本题满分8分）【同试卷1 第八题】
九、（本题满分6分）【同试卷1 第九题】
241995年真题
1995年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷I)
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
( 1 ) l i m ( 1 + 3 x ) 百 ;;-;: =
x刊
( 2 ) � r x c o s ( t
2
) d t = .
dx x2
(3)设(axb)· c=2,则[(a +b)x ( b +c)]·(c +a)= .
n
2n-l
(4)幕级数三 n f x 的收敛半径R=
n=l 2 +( -3
1
0 0
3
I o I,
(5)设 3阶方阵A,B满足关系式A-i BA =6 A +B A , 其中A= 0 上 则B= .
4
—1
0 0
7
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
X + 3y +2 z +1 = 0
(1)设有直线L:{ '及平面 1T:4x -2y +z -2 = 0, 则直线L( )
2x -y -l Oz + 3= 0
(A)平行于 1T. (B)在1T上．
(C)垂直于 1T. (D)与 1T 斜交．
(2)设在[ 0, 1]上 f"(x) >0 , 则f'(O), J'(l),八1)-f(O)或f(O)-f(l) 的大小顺序是（ ）
(A) f'(l) > f'(0) >f ( 1) -f (0)·
(B)f'(l) >J(l) -f(O) >f'(O).
(C)f ( 1) -f( 0) >f '(1) > f'(0).
、
(D)f'(l) >f(O) -f(l) >J'(O).
(3)设八x)可导，F(x)= f( x)( 1 + I sin x I) , 则f(O)= 0是F(x)在X= 0处可导的（ ）
(A)充分必要条件．
( B ) 充 分 条 件 但 非 必 要 条 件
(C)必要条件但非充分条件
(D)既非充分条件又非必要条件
( 4 ) 设 U n = ( - 1 )
n
l n ( 1 + ±), 则级数（ ）
I
(A) Un与三沁都收敛. (B)三Un与二式都发散．
n = 1 n=l n=l n = 1
0 (n= I , 2 , …） ，且�a n 收敛，常数入 E 则级数�(- 1) n (ntan�)azn ( )
(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性与入有关
无
2 万(
(4)设瓜）有连续导数，f(O)= 0, /'(O)¥= O, F(x)= f (x - t t)dt'且当X----+Q时，F'(x) 与
k
x 是同阶无穷小，则k等于（）
(8)2.
(A)1. (C)3. (D)4.
29历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
a1 0 0 b1
0 a2 b2 0 ）
(5)四阶行列式 的值等于（
0 b3 a3 0
b4 0 0 a4
(A) a1 a2a3a4 - b1 b2b3b4. (B)a1a2a3a4 + b1b2b3b4.
(C)(a1a2 -b1b2)(a3a4 -b3b4). (D)( a2a3 -b2从）(a1a 4 -b1伈）．
三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
(1)求心形线r = a(1 + cos 0)的全长，其中a > 0是常数
jl 一
(2)设x1 = 10, xn+l = 言飞(n = 1,2, …），试证数列飞｝极限存在，并求此极限
四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
2 2
(1)计算曲面积分』(2x+ z) dydz+ zdxdy, 其中S为有向曲面z = x 十 y (0 ::::;; z :::;; 1)' 其法向掀与
z轴正向的夹角为锐角．
U = X - 2y —沁 沁 沁 沁
(2)设变换{ ＇可把方程6 2 + axa - —了 =0简化为a = 0'求常数a. (这里应假设
V = X + ay 如 Y By 砬v
z有二阶连续偏导数．）
五、（本题满分7分）
求级数二 1
2 n 的和
n=2 (n -1)2
六、（本题满分7分）
设对任意 X > 0,曲 线 y =f (x)上 点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于 上 ff(t)dt,求 f(x)的
X 0
一般表达式
七、（本题满分8分）
设八x)在[0, 1]上具有二阶导数，且满足条件订(x)I ::::;a , I/ "( x) I ::::;b , 其中a,b都是非负常数，
e是(0,1)内任意一点
(1)写出f(x)在点 X = C处带拉格朗日型余项的 一 阶泰勒公式；
b
(2)证明IJ'(x)l::::;2a+ — .
2
八、（本题满分6分）
g 、 g
l
设A=E-ttr, 其中E是n阶单位矩阵， 是n维非零列向量，t 是 的转置．证明：
g
2
(l)A =A的充要条件是 飞=1;
301996年真题
(2)当§飞=1时，A是不可逆矩阵．
九、（本题满分8分）
已知二次型/(x,x,x) = 5对+5式+ex; -2xx + 6xx -6xx 的秩为2 .
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；
(2)指出方程f(x,X ,X ) = 1表示何种二次曲面
l 2 3
十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）
(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%'现从巾A厂和B厂的产品分别占60%
和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是 ．
N(o,( ))
1 2
(2)设t''T/ 是两个相互独立且均服从正态分布
-:g
的随机变量，则随机变量It
-
TJ I的数
g
学期望 E(I -'T/ I) =
＋－、（本题满分6分）
设 t''T/ 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 g 的分布律为Plt=if = — 1 ' i = l, 2 ,3,
3
又设X = max飞，7/f , Y = min l g, 矿．
(1)写出二维随机变量(X,Y)的分布律；
2 3
1
2
3
(2)求随机变量X 的数学期望E(X).
（试卷II)
－、（本题满分15分）【同试卷 I 第一题】
二、（本题满分15分）【同试卷 I 第二题】
三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
(1)计算积分』五 了 勹了dxdy,其中D = j (x, y) I O�y�x, x 2 +y 2 �2x f .
(2)【同试卷 I 第三、(1)题】
31历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(3)【同试卷I 第三、(2)题】
四、（本题满分12分）【同试卷I 第四题】
五、（本题满分7分）【同试卷I 第五题】
六、（本题满分7分）【同试卷I 第六题】
七、（本题满分8分）【同试卷I 第七题】
八、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
: :: : :: : ::
F
(I)求齐次线性方程组 的基础解系．
+ + 0
x3 X4 x5 =
(2)【同试卷I 第八题】
九、（本题满分9分）【同试卷I 第九题】
32199年7 真题
1997年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题本（ 题共每小5 小题题， 3分满分， 15分）
2 — 1
si3n x+ x cos
X
() 1lim =
x---->O( +1 COS X) (ln +I X)
n
(2)设幕级数Ln矿a的收敛半径为,则3 幕级三数 nn(a -X l I)+ 的收敛区间为
n=O n
l
=
。 于
()对3 螺数 线= pe 在点(p,= 0)(e 弓处一） 的切线的直角坐标方程为
1 2 - 2
(4)设= A[4 ;�t �:l,3 为B 3阶非零矩且阵， A=B ,0 则= l
()袋5 中:个有5 中20个是0个黄球3 是， 白球今有两人依次随机地从袋中各取一球，取
后不放回，则第二人取得黄球的概率是
二、选择题本（ 题共每小5 小题题， 3分满分， 15分）
( ) 二 I 元 函 J数( , x ) = y / / :
r ' '
0,
( ) 连 A 续 偏 ， 导 存数 在
(不C)连续，偏存导数在
( , x ) y (=/c ,O )O
＇在点(,O O)处）（
(,x =y)( ,O O)
(
(
)
)
连
不
B
D 连
续 偏
续 偏
， 导
，
不数
导 不
存
数 存
在
在
(设2) 在区间[,a b]上J()x >0 ,J'( )x <0 ,f"( )x >0 . 令= 1 S f a J(d,xx)= 2 S J((b) - b a),
1
= 3 S
—
[ (J + ) a( f ( )b] - b , )a 贝 U C
2
( ) A 1 S < 2 S < . 3 S
、
丿
( 5 )C 3 <5 1 <5 . 2
(
(
)
)
5
5
B
D
2
2
<5
<5
1
3
<5
<5
.
.
3
1
+21r
sin1
()设3 (F )x= f e sin ,则td( Ft )x()
(
(
) 为
恒
A
为)C
正 数常
零
(
(
)
)
为
不
B
D 为
负 数常
数常
(设4) a=, [勹立 ＝ 勹［ ,a=， [::, 则 三条直线 1xa+ I +b y =c 1 0, 2x a+ 2 +b y =c 2 0,
x+,a +,b =c, y 0 ( 其中矿+ b'.�伤 丿=i ,,I )2 交3 于一点 的充要条件是（ ）
(
(
)
)
叫
叫
A
B
归
归
a
a
3
3
线
线
性
性
相
无
关
关
(C)秩r(a,1 也,a)3 =秩r(a, 1 a)2.
( ) ,aD 1 ,a 2 a 3 线 性 相 关 叫 ， a 2 线 性 无 关
3 3历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y的方差分别为4 和2,则随机变量3X-2Y的方差是（ ）
(A)8. (B) 16. (C)28. (D)44.
三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
fff 2
(1)计算I= (x 2 十 y 2 )dv, 其中0为平面曲线 {Xy = 2z' 绕z轴旋转 一 周形成的曲面与 平面z= 8
n = 0
所围成的区域
f
2 2
x + y = 1,
(2)计算曲线积分 (z -y) dx + (x- z) dy+ (x- y) dz, 其中 C是曲线 从z轴正向
{X - J+ Z = 2,
往z轴负向看，C的方向是顺时针的
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群的总人数为N,在t=O
时刻已掌握新技术的人数为x。，在任意时刻t巳掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微
o,
变量），其变化率与巳掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k > 求x(t).
四、（本题共2小题，第(1)小题6分，第(2)小题7分，满分13分）
x+y+b= 0,
2 2
(1)设直线l:{ 在平面T 上，而平面7T与曲面z= x + y 相切于点(1,-2, 5), 求
X +a y - Z - 3 = 0
a,b之值
a
x 矿z 五 2x
(2)设函数f(u)具有二阶连续导数，而z= f(e sin y)满足方程 彻2+ 矿= e z'求八u).
五、（本题满分6分）
(x) I
设瓜）连续，叭X)= r f (Xt) dt , 且lim/ =A (A 为常数）， 求{) X
连续性
六、（本题满分8分）
设a 1 = 2,a n+l = _!__ (a n + _!__ ) (n = I '2' … )'证明：
2 a n
(1) lim a n 存在；
n---+oo
00
级数口产- 1)
(2) 收敛．
七、（本题共2小题，第(1)小题5分，第(2)小题6分，满分11分）
(1)设B是秩为2的 5 x4矩阵立=(1, 1, 2 , 3) T , a =( -1 , 1 , 4 ,- 1) T 立=(5,-1,-8,9?
2
一
是齐次线性方程组Bx=0的解向最，求Bx=0的解空间的 个标准正交基
1
一
(2)已知[= [ I 是矩阵A= 5 a �3 l的 个特徘向量．
寺
(I)试确定J�a,b及特征��:, �:对 位 征值
341997年真题
(II)问A能否相似于对角阵？说明理由．
八、（本题满分5分）
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆；
(2)求AB主
九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并
2
且概率都是—．设X为途中遇到红灯的次数，求随机变最X的分布律、分布函数和数学期望．
5
十、（本题满分5分）
设总体X的概率密度为
0
(0 + I)x , 0 < x < I ,
J(x) = {
0, 其他，
一
其中0 > - I是未知参数，X 1,X 2 '…，xn 是来自总体X的 个容量为n的简单随机样本，分别用矩估
计法和极大似然估计法求0的估计最．
35历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
1998年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
J厂言＋汀二-2
(1) lim
2
x
x气,
I a分
(2)设z =—f (xy)+ y (x+ y),j冲具有二阶连续导数，则 =
x 中 y
瓣
f
(3)设l为椭圆产+ L =1 , 其周长记为a,则 (2xy + 3x2 + 4y 2 )ds =
4 3
(4)设A为n阶矩阵，I AI ¥= 0, A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值入，则
(A*尸+E必有特征值
1
(5)设平面区域D由曲线y =—及直线y =0 , x =I , x = e2 所围成，二维随机变量(X,Y)在区域
X
D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在 = 2处的值为 ．
X
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
X
(1)设八x) 连续，则叮 tf( x2 -t2 ) dt =( )
dx o
(A) xf (x2 ) . (B) - xf (x2 ). (C)2 xf( x2 ). (D) - 2xf (x2 ) .
(2)函数j(X) =( X 2 -X -2)压3 XI不可导点的个数是（ ）
-
(A) 3. (B)2 . (C)1 . (D)O.
心x
(3)已知函数y =y (x)在任意点 x处的增量 Lly = + a,且 当Llx-----*0时，a 是Llx的高阶无穷
1 + x2
小，y(O) ='IT, 则 y(I)等于（ ）
卫 卫
(A)2'IT. (B)'lT. (C)矿． (D)'IT矿．
(4)设矩阵 a1 bl Cl 是满秩的，则直线 X - a3 = y - /,3 = Z - c3 与直线 X - a1 = y - /,I
a2 b2 c,] 伈-
a1 - a2 b1 - b2 C1 - C2 a2 - a3 b3 -
a3 b3 C3
Z - C1 （ ）
C2 - C3
(A)相交于一点 (B)重合 (C) 平行但不重合 (D)异面．
(5)设A,B 是两个随机事件，且0 < P(A) < l,P(B) > O,P(B I A) = P(B I A),则 必有（ ）
(A)P(A I B) = P(AI B). (B)P(A I B)¥= P(A I B).
(C) P( AB) = P( A) P (B). (D) P (AB)¥= P( A) P (B).
三、（本题满分5分）
:x - 1 z - I
求直线l
1
＝ 工
1
=
- 1
在平面
'TT:
x -y + 2z -I =0 上的投影直线l。的方程，并求l。绕y轴
旋转一周所成曲面的方程
361998年真题
四 、 （ 本 题 满 分 6 分 ）
4 2 入 4 2 入
确定常数入，使在右半平面 X > 0上的向扯 A(x, y) = 2xy( x + y ) i-x气x + y ) j为某二元函数
u(x,y)的梯度，并求u(x,y).
五 、 （ 本 题 满 分 6 分 ）
从船上向海中沉放某种探测器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面 算 起）与下沉速度
v之间的函数关系设仪器在重力 作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻
力和浮力的作用设仪器的质量为m,体积为B,海水比 重为P, 仪器所受的阻力与下沉速度成正
比，比例系数为k(k > O). 试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y = y(v).
六 、 （ 本 题 满 分 7 分 ）
计 算 『axdydz + (z + a) 2 �xdy , 其 中 2 为下半球 面z = - J a 2 -x 2 -y 2 的上侧，a为大于零的常数
七 、 （
.r
本 题 满
(
分
x
2
+
6 分
y
2
）
+ z
2
)
百
Tl_n
＼
一丿
．
s.n
1
n
+
2
卫nl_2
＋ ． ． ． ＋
s.n
1
+
n
＋
卫
n
l
n
＋
sl.
n
f:
\
li
m
n一oo
求
八 、 （ 本 题 满 分 5 分 ）
oo oo
n
1 l)
设正项数列la几 ｝单调减少，且三(-1)飞发散，试问级数�( n 是否收敛讲说明理由
n = 1 a +
九、（本题满分6分）
设y = f(x)是区间[0, 1]上的任一非负连续函数
(1)试证存在x。 E (0,1),使 得在区间[O,x。]上以f(x。)为高的矩形面积，等于在区间[x。,1]上以
y = f ( x ) 为 曲 边 的 梯 形 面 积
2f x)
(2)又设八x)在区间 (O,1)内可导，且f'(x) > _ � , 证明(1)中的x。是唯一的．
十 、 （ 本 题 满 分 6 分 ）
2 2 2
已知二次曲面方程 x + ay + z + 2bxy + 2丿 xz + 2yz = 4可以经过正交变换
;J
厂
P
�
化 为 椭 圆 柱 面 方 程 矿 +
2
4t = 4'求 a,b的值和正交矩阵 .
P
＋
－
、 （ 本 题 满 分 4 分 ）
k k
设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使 线性方程组A x = 0有解向量 a,且A -1a子0. 证明：向扯组
k
a,Aa, …, A -1a是线性无关的．
3 7历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
十二、（本题满分5分）
已知线性方程组
au X1 + a12X2 + ...+ al ,2nX2n = Q,
a21 X1 + a22X2 + ...+ a2,2nX2n = Q,
(I)
anl X1 + an2X2 +…+ an,2nx2n = 0
一
的 个基础解系为（如， b12,…, b l,2n尸， (h21, h22, …, b 2,2n尸，…， (bnl,bn2, …， bn,2n尸．试写出线性方程组
h11Y1 +h 12Y2 +···+h 1,2nY2n = 0,
h21Y1 +h 22Y2 +· · ·+h 2,2nY2n = 0,
(II)
bn1Y1 +b n2J2 +· · ·+ b n,2nY2n = Q
的通解，并说明理由．
十三、（本题满分6分）
1
设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为 0,方差为—的正态分布，求随机变鼠IX-们的
2
方差
十四、（本题满分4分）
2
从正态总体N(3.4,6 )中抽取容最为 n的样本，如果要求其样本 均值位于区间(1.4,5.4)内的概
率不小于0.95, 问样本容量n至少应取多大？
z I _;3:_
附裴标准正态分布表 叭z)= J e 2 dt
-00 芦
z 1.2 8 1. 645 1. 96 2.33
中(z) 0.900 0.950 0.975 0.990
十五、（本题满分4分）
设某次考试的考生 成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，
标准差为 15分．间在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全休考生的平均成绩为 70分？并
给出检验过程
Pl l
附表：t分布表 t(n)�t (n) = p
P
p
0.95 0. 975
35 1. 6896 2.0301
36 1.6883 2.0281
381999年真题
1999年全国硕士研究生招生考试试题
7 -
-、填叫空题（本题共5小题，每小题3分满， 分15分）
1
(1) =
� ta n ) ·
x x
(2)
d
X • —
Slll X - 2
o
I ( t) dt =
dx
( 3 ) y " - 4 y = 泸 的 通 解 为 y =
(4)设n阶矩阵A的元素全为1'则A的n个特征值是
—
1
(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：ABC =0 ,P(A) =P (B) =P (C)< ，且已知
2
9
P(A U BU C) =贝' UP(A) =
化
二、选择题（本题共5小题，每小题3分满， 分15分）
(1)设八x)是连续函数F， (x)是f(x)的原函数则， （ ）
(A)当八x)是奇函数时，F(x)必是偶函数
(B)当八x)是偶函数时，F(x)必是奇函数
(C)当八x)是周期函数时F， (x)必是周期函数
(D)当f(x)是单调增函数时F， (x)必是单调增函数
s X
-
X ;; ,
�r
(2)设j( )
( 3 ) 设
(
(
A
C
)
)
八
极
连
x )
续
限
=
不
但，
心
存t 在
不
(
可
x
．
导
) '
．
> 0
X
，
其中g(x)是有界函数，则f(x)在X =0 处（
X:::;;; 0,
2 -2x,
(
(
B
D
)
)
极
可
限
导
存 在 但， 不 连 续
。
1 ＝
a L00
O�x� —' 十 00
l 2 n
_ ＜x＜l ， S (x) 2 a cos n'lTX, -
2
n = l
、
＼丿
n时，必 有行列式IAB I -=ft 0.
(
(
(
B
C
D
)
)
)
当
当
当
m
n
n
>
>
>
n
m
m
时
时
时
必，
必，
必，
有
有
有
行
行
行
列
列
列
式
式
式
I
I
I
A
A
A
B
B
B
I
I
I
=
-=ft
=
. 0
. 0
. 0
． 3_4 （c、 ＼丿
、
丿
39历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从 正态分布N(O,1)和N(l,1),则（ ）
1 1
(A)PjX+Y::;;;;O\ =— . (B)P1X+Y:;;;;If =—·
2 2
1 1
(C)P1X-Y�Oi =— . (D)PjX-Y::s;If =— .
2 2
三、（本题满分5分）
设y = y(x),z = z(x)是由方程z = xf(x + y)和F(x,y,z)= 0 所确定的函数，其中J和F分别具
dz
有 一 阶连续导数和 一 阶连续偏导数，求— .
dx
四、（本题满分5分）
f [ x x
求I = e sin y -b( x + y)] d x + (e cos y -ax)d y, 其中a,b为正的常数，L为从点A(2a,O)沿曲
L
2
线y = ./2ax -x 到点0(0,0)的弧
五、（本题满分6分）
设函数y(x)(x;:: O)二阶可导且y'(x)> O,y(O) = 1 . 过曲线y = y(x)上任意 一 点P(x,y)作该
曲线的切线及x轴的垂线， 上述两直线与x轴所围成的三角形 的面积记为S'区间[O,x]上以
1
y =y (x)为曲边的曲边梯形面积记为S 2 ,并设25 1 -5 2 恒为1'求此曲线y = y(x)的方程
六、（本题满分6分）
试证：当 X > 0时，(x 2 -1)ln x ;:: (x -I) 2 .
七、（本题满分6分）
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底， 抓起污泥后提出井口．已知井深
30m, 抓斗自重400N,缆绳每米重50N, 抓斗抓起 的污泥重2000N, 提升速度为
3m/s, 在 提升过程中，污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的
抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？
（说明：(DIN X lm = 1J ;m,N, s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．＠抓斗的高度及
位于井口上方的缆绳长度忽略不计．）
八、（本题满分7分）
2 2
设S为椭球面王2 十 L 2 +z 2 =1 的上半部分，点P(x,y,z)E 5,7T为S在点P处的切平面，p(x,y,z)
z
为点0(0,0,0)到平面T 的距离，求』 dS.
5 p(x,y,z)
九、（本题满分7分）
于
n
设a =J tan xdx
n 0 '
401999年真题
00
求二 —
1 n n+2
(I) n = 1 (a + a )的值；
n
00
n
(2)试证：对任意的常数入> 0, 级数三n=l 气收敛．
l ; -/ ;
十、（本题满分8分）
一
设矩阵A= J其行列式IAI =- 1, 又A的伴随矩阵A'有 个特征值入，。 属于
1 -c O -a
一
0 0
入 的 个特征向最为a=(-1, -1,1?,求a,b,c和入 的值
一
十 、（本题满分6分）
T
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mxn实矩阵，扩为B的转置矩阵，试证：BAB为正定矩阵的
充分必要条件是B的秩r(B) = n.
十二、（本题满分8分）
设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的
边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空自处
' ,.
1 2
� Y Y Y3 PjX= x .! =p
1 1
X
8
1
X2
8
1
j
P 1 Y = y f = P "} 1
6
十三、（本题满分6分）
设总体X的概率密度为
孚
1
(0
-
x), 0f (b)g(x). (B)f(x)g(a) > f(a)g(x).
暹 暹
(C)/(x)g(x) >f(b)g(b). (D)J(x)g(x) >j (a)g(a).
2 2 2
(2)设S:x + y + z = a气z�O),S 1 为S在第一卦限中的部分，则有（ ）
『 『 『 『
(A) xdS= 4 xdS. (B) ydS= 4 xdS.
』 『 ff ff
(C) zdS= 4 xdS. (D) xyzdS= 4 xyzdS.
S S1 S S1
00
、
(3)设级数 LUn收敛，则必收敛的级数为（
｀丿
n = 1
00 00
巴
(A) L (- l) n n (B)I 吐
n = 1 n = l
L L
(C) (U2n-l - U2J• (D) (Un + Un+l)•
n=l n=l
(4)设n维列向最组a1'…，am(m< n)线性无关，则n维列向最组/J1'…，队线性无关的充分必要
条件为（ ）
(A)向量组a1,…, am 可由向量组/J1'…，Pm线性表示．
(B)向鼠组/J1'…,Pm 可由向鼠组a1'…,am线性表示．
(C)向量组a1'…，am 与向最组/J1'…,Pm等价．
(D)矩阵A= (a1, …，am)与矩阵B= (/31'…，凡）等价．
( 5)设二维随机变阰(X,Y)服从二维正态分布，则随机变最t=X+Y与TJ=X-Y不相关的充分
必要条件为（ ）
2 2 2 2
(A)E(X)= E(Y). (B)E(X )- [E(X) ] = E(Y )- [E(Y) ] .
2 2 2 2
(C)E (X )= E (y'勹． (D)E (X ) + [E (X) ] = E (Y2) + [E (Y) ] .
422000年真题
三
气
四
设
、
、
z
（
（
=
本
本
题
题
f
：
(
满
满
x
：
y
分
!
+
分
f
,
5
5
)+
分
S
分
勹I
）
）
g
）
7 ( ) ,
其 中 J 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， g 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 求
和
如时
五 、 （ 本 题 满 分 6 分 ）
xdy -ydx
计 算 曲 线 积 分 I =
f ,
其中L是以点(1,0)为中心，R为半径 的圆周(R > 1), 取逆时针方向．
L 4x 2 + y 2
六、（本题满分7分）
设对于半空间X > 0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
册 汃
x ) d y d z - x y f ( x ) d z d x - e
2 x
z d x d y = 0 ,
一
其中函数f(x)在(O,+oo)内具有连续的 阶导数，且limf(x) = 1. 求f(x).
x--->O +
七 、 （ 本 题 满 分 6 分 ）
oc l n
求幕级数三 立的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性．
n = 1 - i
n+
( - 2 ')
n
n
八、（本题满分7分）
设有 一 半径为R 的球休，P。是此球的表面上的 一 个定点，球体上任 一 点的密度与该点到P。距离的
平方成正比（比例常数k > O), 求球体的重心位置
九、（本题满分6分）
'lT 'lT
设函数瓜）在[0,'IT]上连续，且f J(x)dx = 0, f J(x) cos xdx = 0. 试证在： (0,TI)内至少存在两个
0 0
不同的点名，女，使f(名） = f(女） = 0.
十 、 （ 本 题 满 分 6 分 ）
1 0 0 0
I,
10 1 0 0
设矩阵A的伴随矩阵A*=
l
且ABA-l = BA- l+ 3 E, 其中E为4阶单位矩阵，求
0 1 0
0 -3 0 8
矩 阵 B.
43历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
一
十 、（本题满分8分）
1
一
某试验性生产线每年 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将—熟练工支援其他生产部
6
2
门，其缺额巾招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有—成为熟练
5
）
一
工．设第n年 月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x
n
和Yn ,记成向量厂·
Yn
(;:::)= A(;J
(I)求 (;:::) 与 勹） 的关系式 并写 成 矩阵形式：
=勹）是
4
(2)验证'1/1 = ( 1)''1/2 A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
(
3
)当(;:厂
[!]时
，
气：：）
十二、（本题满分8分）
一
某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(O 0为未知参数又设X1 ,X2' …,x n 是X的 一 组样本观测值，求参数0的最大似然估计值
442001年真题
2001年全国硕士研究生招生考试试题
-、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
x
(1)设J = e (C 1 sin X+ C 2 COS x) (c l ,C 2 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，
则该方程 为
J 2 2 l ,
(2)设r = x + y + 则div(grad r) I o, 2,2) =
-
-
(3)交换二次积分的积分次序：J dy r yf(x, y) dx =
-1 2
2
(4)设矩阵A满足A + A -4E = 0, 其中E 为单位矩阵，则(A -E) -i =
f�
(5)设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计Pj IX - E(X) I�2
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(1)设函数f(x)在定义域内可导，y = f(x)的图形如右图所示，则导函
数y = f'(x)的图形为（ ）
X
y y y y
/ /
/ /
X X X X
(A) (B) (C) (D)
(2)设函数f(x,y)在点(O,O)附近有定义，且1:co,o) =3,J;co,o) =1,则 （ ）
(A)dz =3dx+dy.
(0,0)
(B)曲 面tz = f(x ,y)在点(0, 0, f (0, 0))的法向鼠为(3,1,1).
= f(x,y),
(C)曲线 在点(0,0 , f (0, 0))的切向最为(1,0,3).
ty =0
= f(x,y),
(D)曲线 在点(0,0 , f (0, 0))的切向量为(3,0,1).
y =0
(3)设f(O) =0 , 则八x)在点X = 0可导的充要条件为（ ）
1 1
— — h
(A) lim J(I - cos h)存在． (B) lim /(1 - e )存在
h---->() 矿 h---->{) h
1 1
(C) lim —J(h - sin h)存在． (D) lim —[J(2h) -J(h) ]存在．
h---->() 矿 h叫） h
45历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
l l l l
\ ／4 oo0
l l l
l 0
（ 4、设A ＝ — l l l l l l l＇ B ＝ oo 0 ， 则A 与B （ ）
� 0 0
)
l
0ooo0
cA) 同 且相 似 （ B)合同 但 不 相 似
CC ）不 合 合同但相 似 o （ D）不合同且 不 相 似
（ 5、将于 一 ( 枚 硬币重复掷 ． t 次 以x 利y 分jjI表示 正 面 向上 和 反
面
向 上 甘勺次数 贝”.x禾廿y的木甘关系数
丿等 ） , - ， “ J
（ l
c、
(A) -1. (B)O. _． (D)1 .
丿
2
三、（本题满分6分）
x
arctan e
求I 2x dx.
四、（本题满分6分）
— —
设函数z=J( x ,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)= 1 ，
如
听 =2 ,
a
听
y o,
=3 , 中 (x)=f(x,f(xx, )).
< 1, 1) 1)
求j矿(x) .
dx 冗=1
r :
五、（本题满分8分）
x 00
'arctan x, X =;i= 0 (-1)
设八x)= '试将八x)展开成x的幕级数，并求级数三 2 的和
n=l 1- 4n
1 ， X= 0,
六、（本题满分7分）
f
2 2 2
计算I= L ( y - l)d x+ (2l -x勹d y + (3x - y )山，其中L是平面x+ y +z=2与柱面
lxl +lrl=l的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向
七、（本题满分7分）
设y= f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且j"(X) #0 , 试证：
(1)对于(-1,1)内的任一x#O, 存在唯一的0(x) E ( 0,1), 使J(X)=f (Q)+ xf 1 (0( X)X )成立；
1
(2) lim0 (x)= —.
x---->O 2
八、（本题满分8分）
2
2(x
y
)
设有一高度为h(t)(t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z= h(t)- �; (设长
( )
度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数0. 9), 问高度为
462001年真题
130 (厘米）的雪堆全部融化需多少小时？
九、（本题满分6分）
一
设a 1,a2 ,… ,q为线性方程组Ax= 0的 个基础解系，/J1 = t1lr1 + t2a2 '/32 = t心+t2lr3 '…,
一
/J, = t1 a, +t 2a1 , 其中t1 'tz为实常数试问t1 'tz 满足什么关系时，/J1,/Jz,… ，/J, 也为Ax= 0的 个
基础解系．
十、（本题满分8分）
2
已知3阶矩阵A与3维向掀x,使得向量组x,Ax,A x 线性无关，且满足
3
A x= 3Ax -2A杠
2 飞
(I)记P= (x,Ax,A x), 求3阶矩阵B,使A=PBP
IA 1.
(2)计算行列式 +E
一
十 、（本题满分7分）
设某班车起点站上客人数 X服从参数为入（入>O)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为
p (OO), 从该总体中抽取简单随机样本X 1 ,X2 ,… , X2n (n ;:= 2),
—1 二2n
三
n
其样本均值为X= X;, 求统计量Y= (X;+ X n+i -2X尸的数学期望E(Y).
2n., = 1 i = 1
47历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2002年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
co
(1) r d�=
e xln X
r 2
(2)已知函数y= y(x)由方程e + 6xy + x - l = 0确定则， y"(O)=
2
(3)微分方程yy"+ (y') = 0满足初始条件 y = l ,y' = _!___的特解是 ．
X =0 2
(4)已知实二次型J(x1 ,x 2 ,x 3 ) = a(式+x; +忒）+4 x 1 x 2 +4 x 1 x 3 +4 x 2 x 3 经正交变换X=P y可化
成标准形f=6计则， a=
2
(5)设随机变量X服从正态分布N(µ.,'矿）(u > O)且, 二次方程y + 4y +X = 0无实根的概率为
1
—，则µ.,=
2
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(1)考虑二元函数f(x,y)的下面 4条性质：
心
f(x,y)在点(x。,y。)处 连续； (2)f (x, y)在点(x。,y。)处的两个偏导数连续；
@J(x,y)在点(x。,y。)处 可微； @J(x,y)在点(x。,y。)处的两个偏导数存在
若用"P==>Q"表示可由性质P推出性质Q,则有（ ）
(A)(2) ==>@==>CD . (B)@ ==>(2)==>CD . (C)®=>@=>CD. (D)®=>CD=>@.
(2)设Un "P O (n = l ,2 ,3 , …）且， lim 立 1则级数三( 1) n+l 1 ＋ 1 （ ）
n--+co U n=l (Un Un+l )
(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛. (D)收敛性根据所给条件不能判定．
(3)设函数y=f (x)在(O,+oo)内有界且可导，则（ ）
(A)当lim/(x)= 0时，必有lim/'(x)= 0.
x-> + co x--+ + co
(B)当lim/'(x)存在时，必有lim/'(x)= 0.
无->+co 无--++co
(C)当limf(x)= 0时，必有limf'(x)= 0.
x---+O + x---+O +
(D)当limf'(x)存在时，必有limf1 (X)= Q.
欠一-0+ x---+O +
(4)设有三张不同平面的方程a
i
lx+a i2y+a;
3
Z= b;,i =1 ,2,3, 它们所组成的线性方程组的系数矩
阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为（ ）
(A) (B) (D)
(C)
482002年真题
(5)设 X 1和X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量 ，它们的概率密度分别为f1(x)和儿(x)'分
布函数分别为 F1(x)和F2(x),则 （ ）
(A)f1(x) +儿(x)必为某 一 随机变量的概率密度
(B队(x)儿(x)必为某一随机变量的概率密度
(C)F1(x) +凡(x)必为某 一 随机变鼠的分布函数
一
(D)F1(x)凡(x)必为某 随机变量的分布函数
三、（本题满分6分）
一
设函数八x)在 = 0的某邻域内具有 阶连续导数，且f(0) =ft O, f (0) oft O,若 af(h)+b f(2h) -
X I
f(O)在 h----+ 0时是比h高阶的尤穷小，试确定a,b的值
四、（本题满分7分）
J a rctan x
已知两曲线 y= f(x)与y= 2 dt在点(O,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限
e-t
！吧 片）．
nf
五、（本题满分7分）
2
计算二重积分』 max压气r I dxdy,其 中D= j(x,y) IO::::;x::::;I,O:=::;y:=::;If.
e
六、（本题满分8分）
设函数八x)在(-oo,+oo)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y > O)内的有向分段光滑曲线，
其起点为(a,b),终点为(c,d). 记
I= f _!_[I+y 汀(xy)] dx +4 [ y汀(xy) -1] dy.
y y
L
(1)证明曲线积分I与路径L尤关；
(2)当ab= cd时，求I的值
七、（本题满分7分）
(1)验证函数 y(x)= 1 + 王3 十 王6 十 王9 ＋… ＋ x3 n + ··· (-oo < x<+oo)满足微分方程
3 ! 6! 9! (3n)'
y" + y'+ y = x
e ;
00 x3n
(2)利用(1)的结果求幕级数三 的和函数
(3n) !
n=O
八、（本题满分7分）
设有 一 小山 ，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D= i (x, y) Ix 2 +y 2 -xy
::::;7 5 f,小 山的高度 函数为 h(x,y)= 75 -x 2 -y 2 +xy.
一
(1)设M(x。,y。)为区域D上 点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方
向导数的最大值为g(x。,y。)，试写出g(x。,y。)的表达式
49历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．
2 2
也就是说，要在D的边界线x + y - xy = 75上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点试确定
攀登起点的位置．
九、（本题满分6分）
a1 a 4 a1 a a 3 a4 3 4
已知4阶方阵A= ( , 2 ,也 立 )' ' 2' ' 均为4维列向量，其中也立 ,lr 线性尤关，
a1 a2 一 3 a1 a2 十 3 十 4
= 2 U . 如果/J= + U U '求线性方程组Ax =/J的通解．
十、（本题满分8分）
设A,B为同阶方阵，
(1)如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等．
(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．
(3)当A,B均为实对称矩阵时，试证 (1)的逆命题成立．
一
十 、（本题满分7分）
设随机变量X的概率密度为
f ,
½cos 0 ,es; x ,es;'Ir ,
f(x) = 1
0, 其他，
z
对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大千卫的次数，求y 的数学期望．
3
十二、（本题满分7分）
设总体X的概率分布为
2
。
X O I 2 3
2
p 0 20(1 - 0) 1 - 20
其中 0(0<0< ½ )是未知参数，利甩总体X的如下样本值
3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3,
求0的矩估计值和最大似然估计值
502003年真题
2003年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) lim (cos x) ln(l+x2) = .
x---->()
2 2
(2) 曲面z = x + y 与平面 2x+4 y -z = 0平行的切平面的方程是 ．
=三
2
( 3) 设x a n cos nx(-'IT�x�'IT), 则a 2 = .
n=O
G),
2
(4)从R 的基a1 = (�)立 ＝ （＿＼）到基/J1 = 化 = (�)的 过渡矩阵 为
(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
6x , 0=:S; x =:S; y=:S; I ,
f(x ,y) = {
0, 其他，
则PjX+Y=:S;If =
(6)已知 一 批零件的长度 X(单位：cm) 服从正态分布N(µ,I),从中随机地抽取16个零件 ，得到长
度的平均值为40 (cm) ,则µ的置信度为0.95的置信区间是 ．
（注：标准正态分布函数值中(1.96) = 0.9 75,中 (1. 645
)
= 0. 95.
)
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
y
(1)设函数f(x) 在 (-oo,+oo)内连续，其导函数的图形如图所示，则
f(x) 有（ ）
一
(A) 个极小值点和两个极大值点
X
一
(B) 两个极小值点和 个极大值点
(C) 两个极小值点和两个极大值点
一
(D) 三个极小值点和 个极大值点
(2) 设1aJ, 1 bJ, 1 cJ均为非负数列，且 n l --+ im oo a n = 0, n l --+ im oo b n = I , n l --+ im oo e n = oo , 则必有（ ）
(A)a
n
< b
n
对任意n成立. (B)从< e
n
对任意n成立．
(C) 极限
n
l
---->
im
oo
a
n
c
n
不存在 (D) 极限
n
l
---->
im
oo
b
n
c
n
不存在
二飞!
( 3) 已知函数J(x,y)在点( O,O) 的某个邻域内连续，且lim
f(x
;
r)
= I, 则（ ）
芦 (x + y
(A) 点( O,O) 不是J(x,y) 的极值点
(B) 点( O,O) 是八x,y) 的极大值点
(C) 点( 0,0 ) 是 f(x,y) 的极小值点
(D) 根据所给条件无法判别点( O,O)是否为J(x,y) 的极值点
(4)设向單组I :a1 ,a2, …，q可由向侬组II :P1 ,P2, …, P, 线性表示，则（ ）
1I 1I
(A) 当r< s时，向阰组 必线性相关. (B) 当r > s时，向阰组 必线性相关．
(C) 呏r< s时，向阰组l必线性相关 (D)�r >s时，向阰组l必线性相关
(
5 )设有齐次线性方程组Ax= 0和Bx= 0, 其中A,B 均为m xn矩阵，现有4个命题：
心若Ax= 0的解均是Bx= 0的解，则秩( A ) ;::=秩( B ) ;
51历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
＠若秩(A)� 秩(B)'则Ax=0的解均是Bx=0的解；
＠若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B);
＠若秩(A)=秩(B)'则Ax=0与Bx=0同解．
以上命题中正确的是（ ）
(A)心(2). (B)心＠． (C)(2)@. (D)@@.
x21 '
(6)设随机变量X - t(n)(n > l),Y = 则（ ）
2 2
(A)Y -x (n). (B)Y -x (n -1). (C)Y - F(n,1). (D)Y - F(I,n).
三、（本题满分10分）
过坐标原点作 曲线y =I n x的切线，该切线与曲线y =I n x及x轴围成平面图形D.
(I)求D的面积A;
(2)求D绕直线X =e 旋转一周所得旋转体的体积V.
四、（本题满分12分）
00 n
1 -2x (-1)
将函数f(x) =a rctan 展开成x的幕级数，并求级数三 的和
1 + 2x =o 2n + I
n
五、（本题满分10分）
已知平面区域D = Hx,y) fIO ::::;x::::;1T,O::::;y::::;1Tf ,L为D的正向边界． 试证：
(1)f xesiny dy -ye-sinxdx = xe-sinyd y -yesinxdx;
L
(2)fxesinydy -ye-sinxdx;:: 2佥
L
六、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功
设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k > O),汽 锤第一次击打
将桩打进地下a(m). 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之
比为常数r(O < r < 1). 问
(1)汽锤击打桩3次后 ，可将桩打进地下多深？
(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
（注：m表示长度单位米）
七、（本题满分12分）
设函数y =y (x)在(-oo,+oo)内具有二阶导数，且y'=/= O,x =x (y) 是y =y (x)的反函数
( )
d坛 dx
(1)试将X=X ( y) 所满足的微分方程 dy2 +( y+ sm x) 面 3 =0 变换为 y=y (x)满足的微分方程 ；
3
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(O) =O ,y'(O) = — 的解．
2
522003年真题
八、（本题满分12分）
设函数f(x)连续且恒大于零，
ffJ 』
2 2 2 2 2
J(x 十 y+ z )dv f(x+ y )da
D(t)
n(tl
F(t) = 『 G(t) =
2 2
f(x+ /)du' {J(x )d x
-t
D(t)
l I 2 2 2 2 2 2
其中趴t)= (x, y, z) x 十 y+z :::;; t勹，D(t)= 1 (x, y) I x+ y ::;;; t f .
(1)讨论F(t)在区间(O,+oo)内的单调性．
2
(2)证明：当t > 0时，F(t) > — G(t).
'1T
九、（本题满分10分）
3 2 2 0 1 0
设矩阵A= [2 3 2}P= [1 O t}B =P-'A'P, 求B+2E的特征值与特征向量，其中A为
2 2 3 0 0 1
A的伴随矩阵， E 为3阶单位矩阵．
十、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
: ax+ 2by+ 3c = 0;
右：bx+ 2cy+ 3a = 0;
八：ex+ 2ay+ 3b = 0.
试证这三条直线交于 一 点的充分必要条件为a+ b+ C = 0.
一
十 、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格
品．从 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
(1)乙箱中次品件数X的数学期望；
(2)从乙箱中任取 一 件产品是次品的概率．
十二、（本题满分8分）
设总体X的概率密度为
-2(x-0)
2e , X > 0 ,
j(X) = {
0, x�0,
0
其中0 > 0是未知参数从总体X中抽取简单随机样本Xi,X 2, …，凡，记 = min j凡，X2, …，xn 上
(1)求总体X的分布函数F(x);
0
(2)求统计量 的分布函数凡(x);
0
(3)如果用 作为0的估计鼠，讨论它是否具有尤偏性．
53历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2004年全国硕士研究生招生考试试题
-、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) 曲线y= In x上与直线X+ y = l垂直的切线方程为 ．
x
(2)已知f'(e )=X 亡，且八1)= 0,则 f(x)=
2 2 一
(3)设L为正向圆周x + y = 2在第 象限中的部分，则曲线积分fxdy -2ydx的值为
2
(4)欧拉方程 x 2 d y + 4x d — y + 2y = O(x > O)的通解为
dx dx
2 1 0
(5)设矩阵A= [1 2 0 , 矩阵B满足ABA'=2BA'+ E, 其中A为A的伴随矩阵，E是单位
二二��
(6) 二为入的指数分布，则Pi X > v'D[xff =
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
f 厂
十 2 ,/3 3
(7)把 X ----+ 0 时的尤穷小量a= cos(t ) dt = {\an .ftdt,'}'= sin (t ) dt排列起来，使排在
一
后面的是前 个的高阶尤穷小量，则正确的排列次序是(
,/3, /3, /3 ,
(A) a y. (B)a , y ,{3. (C) a, y. (D) y ,a .
(8)设函数f(x) 连续，且f'(O) > 0,则 存在 8 > 0,使 得（ ）
(A)f(x)在(0,8)内单调增加
(B)f(x)在(-8, 0)内单调减少．
(C)对任意的 X E (0,8), 有f(x) > f(O).
(D)对任意的 X E (-8,0), 有八x) > f(O).
(9)设三a 为正项级数下列结论中 正确的是 （ ）
n
n =1
co
(A)若 n l --+ im co na n = 0,则 级数三a n 收敛
n=l
(B)若存在非零常数入，使得lim na =入，则级数L a 发散．
n---->oo n n
n = I
2
(C)若级数La n 收敛，则 n l --+ im oo n a n = 0.
n = I
(D)若级数
n
L
=l
a
n
发散，则存在非零常数入，使得
n
l
---+
im
oo
na
n
=入
(10)设f(x)为连续函数，F(t)= { u a! ＝ ＂ 若
,
(A)u军
2
(B)U 1-f· (C)u · (D)U 1_矿
宁
三
—1 x ,
(14)设随机变 X1 , X2 , …，X
n
(n>I)独立同分 ，且其方差为矿>0. 令Y=
n
i 则（ ）
i=l
2
一
＝ 。
(A)C ov(X
1
,Y )
n
． (B)Cov(X
1
,Y) =矿．
+
n 2 2 n + I 2
(C)D(X + Y) = u. (D)D(X - Y) = u.
1
n
布
三、解答题（本题共9小题，满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分量12分）
2 2 2
设e < a < b < e ,证 明ln b -ln a> �(b - a).
(16) (本题满分11分）
某种飞机 在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻
力，使飞机迅速减速并停下．
现有 一 质址为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机
所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6 . 0 X 10勹．问从着陆点算起，飞机滑行
的最长距离是多少？
（注：kg表示千克，km/h表示千米／小时．）
(17) (本题满分12分）
计算曲面积分
=『
3 3 2
I 2x dydz + 2y dzdx + 3 (z - I)d xdy,
2 2
其中 是曲面z= I - x - y气z;;::O)的上侧
55历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(18) (本题满分11分）
设有方程x n + nx - l = 0,其 中n 为正整数证明此方程存在唯一正实根x ,并证明当 > 1
n Q'.
时，级数二式收敛．
n = 1
(19) (本题满分12分）
设z = z(x,y)是由x 2 - 6xy + IOy 2 - 2yz - l + 18 = 0确定的函数，求z = z(x,y)的极值点
和极值
(20) (本题满分9分）
设有齐次线性方程组
(1 + a) X1 + X2 + … + x n = 0,
2x + (2 + a) x + … + 2x = 0,
1 2 n
(n�2),
nx + nx + … + (n + a) x = 0,
1 2 n
试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
(21) (本题满分9分）
2 - 3
: -/J
设矩阵A = [-\ 的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对
1
角化
(22) (本题满分9分）
设A,B 为随机事件，且P(A) = — 1 P(B I A) =— 1 P(A I B) = — 1
4' 3'
2
，令
= I ,A 发生， y= I ,B 发生，
X { {
O,A不发生； O,B不发生
求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；
(II)X与Y的相关系数Pxr
(23) (本题满分9分）
设总休X的分布函数为
7,
1 I - X > I ,
F( X ;/3) =
0, X::::,; 1,
其中未知参数/3 > 1 ,X ,X , …,x 为来自总体X的简单随机样本，求：
1 2 n
(I)/3的 矩估计量；
(II)/3的最大似然估计最
562005年真题
2005年全国硕士研究生招生考试试题
-、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
X
(1)曲线y= 的斜渐近线方程为
2x + 1
(2)微分方程xy'+2y= x ln x满足y(1)= -点的解为
1
(3)设函数 u (x y z)= 1+ —
6
+
1
L
2
十
1
三
8
' 单位向量n=
If
— ( 1,1,1 )'则
a
逆
n (1,2,3)
.
J; J 2 2 2 2
(4)设D是由锥面z= 了厂尸与半球面z= R -x -y 围成的空间区域， 是0的整个边界
ff
的外侧，则 xdydz+ ydzdx+ zdxdy= .
(5)设叮生，U3 均为3维列向量，记矩阵
A= (a1 , a 2, a 3 ), B= (a 1 + a 2 + a 3 , a 1 + 2a 2 + 4a 3 , a 1 + 3a 2 + 9a 3) .
I I= IB I=
如果 A 1, 那么
一 一
(6)从数1,2,3,4中任取 个数，记为X, 再从 1 '…，X中任取 个数，记为Y, 则PjY = 2\ =
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
!�
了
(7)设函数f(x)= 巴门了丁勹 ，则f(x)在(-oo,+oo)内（ ）
(A)处处可导 (B)恰有 一 个不可导 点．
(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点
一
(8)设F(x)是连续函数f(x)的 个原函数，"M¢=>N"表示"M的充分必要条件是N",则必有（ ）
(A)F(x)是偶函数¢=> f(x)是奇函数
(B)F(x)是奇函数台J(x)是偶函数
(C)F(x)是周期函数台f(x)是周期函数
(D)F(x)是单调函数¢=> J(x)是单调函数．
u
(9)设函数 u (x,y)= cp(x+ y)+ 中(x -y)+ 厂"'(t)dt '其中函数中具有二阶导数， 具有 一
X一y
阶导数，则必有（ ）
a2u a2u a2u a2u a2u a2u a2u a2u
(A) — 如2 =-— 矿 (B) — 矿 = — ay 2 · (C) 瓣y = — ay 2· (D) a讥 y = — 如2 ·
(10)设有三元方程xy-zln y+ e xz = l'根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的 一 个邻域，在此邻
域内该方程（ ）
一
(A)只能确定 个具有连续偏导数的隐函数z=z (x,y).
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z= z(x,y).
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z= z(x,y).
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y= y(x,z).
57历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(11)设入 1' 入 2 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1 ,a2'则a1 ,A (a1 +a 2 )线
性无关的充分必要条件是（ ）
(A)入
1
�0. (B)入
2
�0. (C)入
1
=0 . (D)入
2
=0 .
(12)设A为n(n�2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A* ,B*分别为A,B的伴
随矩阵，则（ ）
(A)交换A*的第1列与第2列得B*.
(B)交换A的第1行与第2行得B*.
(C)交换A的第1列与第2列得-B*.
(D)交换A*的第1行与第2行得-B*.
(13)设二维随机变鼠(X,Y)的概率分布为
。
l
。
O a
b 4
l 0. 1
已知随机事件 jX=O l与jX+ Y=ll相互独立，则（ ）
(A)a= 0 . 2,b =0 . 3. (B)a = 0 . 4 , b =0 . 1.
(C)a = 0 . 3 , b =0 . 2. (D)a = 0 . 1 , b =0 . 4.
2
(14)设X
1
,X 2'…，凡(n;:::2)为来自总体N(O,1)的简单随机样本， X为样本均值，5 为样本方差，
则（ ）
2 2
(A) nX -N (0 , 1). (B) nS -x (n) .
(n - I)X (n -1)对
(C) s -t(n-I). (D) x: -F( l,n-1).
i
,=2
三、解答题（本题共9小题，满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分11分）
设D=1 (x , y) I x 2 + y 2 �Ii, x�0 , y�0 i , [ 1 + x 2 + y勹表示不超过1+ x 2 + y 2 的最大整
2
数，计算二重积分§xy[1 + x + y勹dxdy.
(16) (本题满分12分）
l
求幕级数
�
(- l
t-1 [
1+ ]产的收敛区间与和函数f(x).
n(2n-1)
y
(17) (本题满分11分）
如图， 曲线C的方程为y=J( x)'点(3,2)是它的 一 个拐点，直线l
l
与
4
µ分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).
3
设函数J(x)具有三阶连续导数，计算定积分
2
。 2 111
r (X + X)j (X)d x.
X
01 I 2 3 4
582005年真题
(18) (本题满分12分）
巳知函数f(x) 在[0,1 ]上连续，在(O,1)内可导，且f(0) = 0, J(l) = 1. 证明：
g t;
(I)存在 E (0,1), 使得J传）= 1 -
(II)存在两个不同的点7/,? E (0,1), 使得f'(YJ)f'(?)=l.
(19) (本题满分12分）
设函数叭y)具有连续导数， 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
i
叭y)dx+2 xydy
的
值恒为同 一
常数．
2x + y
(I)证明：对右半平面 X > 0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有
i
叭y)dx +2 xydy
= 0 ;
2 4
C 2x + y
(II)求函数叭y)的表达式
(20) (本题满分9分）
已知二次型j(X1,X2 ,X3) = (1 - a)式+(1 - a)式+2式+2(1 + a)x1x2 的秩为2.
(I)求a的值；
(II)求正交变换 X= Qy, 把f(xl,X2 ,X3)化成标准形；
（川）求方程八X1,X2 ,x3) = 0的解
(21) (本题满分9分）
已知3阶矩阵A的第 一 行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B= [� ! !}k为常数） ，且
3 6 k
AB =0,求 线性方程组Ax=0的通解
(22) (本题满分9分）
1 , 0 < X < l , 0 < y < 2x ,
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x ,y ) = {
0, 其他
求：(I)( X,Y )的边缘概率密度八(x)'八(y);
(II)Z = 2X - Y的概率密度儿(z).
(23) (本题满分9分）
-x,
X
设X1,X2'…，凡(n > 2)为来自总体N(O,1)的简单随机样本， 为样本均值，记Y
i
= x
i
i = l ,2, ···,n.
求：(I)Y i 的方差D(YJ, i = l ,2, …，n;
(II)Y 1 与Y n 的协方差Cov(Y 1,YJ.
59历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2006年全国硕士研究生招生考试试题
-、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) l' 1 m
xln(l + x)
=
x---->() 1 -COS X
y (I -x)
(2) 微分方程y'= 的通解是
2
=五了
三芞
(3)设 是锥面z 0 :::;; z ::::;; 1)的下侧，则『xdydz + 2ydzdx + 3 (z -1) dxdy = .
(4)点(2,1,0)到平面3x + 4y + 5z = 0的距离d=
2 1
(5)设矩阵A = ( ),E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA = B + 2E,则 IB I =
-1 2
(6)设随机变量X 与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，由P1max1X,Yf ::S; 1 f =
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
(7)设函数y= f(x)具有二阶导数且， j'(X) > Q ,j " (X) > Q , dx为自变量x在点x。处的增量， dy
与dy分别为f(x)在点x。处对应的增量与微分，若dx > 0,则 （ ）
(A) 0 < dy < Lly. (B) 0 < Lly < dy.
(C) Lly < dy < 0. (D) dy < Lly < 0.
f
J于
(8)设八x,y)为连续函数则， d0 J(rcos 0, rsin 0) rdr等于（ ）
0 0
J
罕
J
五 了 J罕
叫
。
(A) dx f(x,y)dy. (B) f(x,y)dy.
。 。
( C J
l
。 卒 d y f
尸八
X ' y ) d x . ( D )
l
。 卒 d y f
勹(
x , y ) d x .
(9)若级数Ian收敛，则级数（ ）
n = 1
00 00
(A) L I an I收敛 (B) I(-1)飞收敛．
n = 1 n=l
00 00
三 an + a n+l
．
(C) anan+l收敛. (D) I 收敛
n=l n=l 2
(10)设f(x,y) 与叭x,y)均为可微函数且， 伐'.(x,y)¥,O. 已知(x。,y。)是f(x,y)在约束条件叭x,y)
= 0下的 一 个极值点，下列选项正确的是（ ）
(A)若J:(x。,y。) = 0'则八'.(x。,y。) = 0.
(B)若f:(x。,y。)= 0,则 J;(x。,y。)¥,0.
60
( C ) 若 八 '.( x 。 , y 。 ) ¥, 0 , 则 八 '. ( x 。 , y 。 ) = 0 .
(D)若J:(x。,y。)¥,0'则八'.(x。,y。)¥,0.2006年真题
(11)设妇a2'…，q均为n维列向量， A是mxn矩阵，下列选项正确的是（）
(A)若a1 ,a2'…，q线性相关，则Aa1 ,Aa2 , …,A a s线性相关．
(B)若a1 ,a2 ,…，q线性相关，则Aa1 ,Aa2 , …，Aa s 线性无关
(C)若a1 ,a2 ,…,q线性无关，则Aa 1 ,Aa2 , …，Aa s线性相关．
(D)若a1 ,a2 , …，＂，线性无关，则Aa 1 ,Aa 2 , …，Aa s 线性无关
(12)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B ,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,
记p�[� � �'则（）
!
;,�:l;:
一 。三：
为
10}�
(1 3) i?B 且P(B) > O ,P(A 有（）
(A)P(A U B) >P (A). (B)P(A U B) >P (B).
(C)P(A U B) = P(A). (D)P(A U B) = P(B).
(14)设随机变址X服从正态分布N(µ1 ,矿），Y服从正态分布N(µ2 ,吐），且
1 I I l 1 I I l'
p X- µI < 1 > p y- µ2 < 1
、
则必有（＼
丿
(A)u 1 <贮· (B) 0"1 >贮·
(C)µ1 <µ2 . (D)µ1 >µ2 .
三、解答题（本题共9小题，满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分10分）
=』
2 2 1 xy
设区域D=1 (x , y) I x +y ::::; 1 , x ;;:: 0 f 计, 算二重积分I l+ � x +y2 dxdy.
D
(16) (本题满分12分）
设数列1xJ满足0 O!内 ， 函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t>0 都有
61历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2
j(tx, ty) = t -j(X , y) .
i
证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 计(x,y)dx -xf(x,y)dy= 0 .
(20) (本题满分9分）
X 1 + X 2 + x 3 + X 4 =- 1 ,
已知非齐次线性方程组｛伍+ 3x, + 5x, -x, =- I ,有 3个线性尤关的解
ax + x + 3x + bx =l
1 2 3 4
(I)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
(II)求a,b的值及方程组的通解
(21) (本题满分9分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3.向阰a1=( -1 ,2, -1)T ,a2 =( 0, -1 , 1尸是
线性方程组 Ax=0的两个解
(I)求A的特征值与特征向最；
T
(II)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q AQ=A .
(22) (本题满分9分）
—1
-l0, 令U n = J(n) (n = l ,2, …)，则下列结论
正确的是（ ）
luJ
(A)若U1 >U 2 '则 必收敛. (B)若U1 >U 2 '则飞｝必发散．
(C)若U1 < U2 '则飞｝必收敛 ( D ) 若 U 1 < U 2 ' 则
l u J
必 发 散 ．
(6)设曲线 L: f (x, y) = 1 ( J(x , y)具有 一 阶连续偏导数）过第 II 象限内的点M和第 W 象限内的点
N,I'为L上从点M到点N的 一 段弧，则下列积分小于零的是（ ）
f f． ．．
(A) J(x , y) dx. (B) J(X ,y)d y.
f
(C) J(x ,y) ds. ( D )
』 八
( x , y ) d x +J;(x,y)dy.
(7)设向量组a 1,a 2 ,a 3 线性无关，则下列向量组线性相为的是（ ）
(A)a1 一也立-a 3,a 3 一a1 . (B)a1 十也立+a 3,a 3 +a 1 .
(C)a 1 -2也立-2a 3 ,a 3 -2a 1 . (D)a 1 +2也立+2a 3 ,a 3 +2a 1 .
0 0
=
(8)设矩阵A [ = : : � }则 A与 ( )
� B� ; � B
n
[�
63历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(A)合同，且相似 (B)合同，但不相似
(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(O2Yf;
(II)求Z=X+Y 的概率密度儿(z) .
(24) (本题满分11分）
设总体X 的概率密度为
1
' 0 0)内可导，且limf'(x) =A ,则 f�(O)存
无----;()+
在，且f�(O) =A.
(19)( 本题满分10分）
2
计算曲面积分 l =册 xdydz+ ydzdx +z �xdy ,其 中 是曲面2x 2 +2 y 2 +z 2 = 4的外侧
2 2
.I (x +y 五）了
(20) (本题满分11分）
设
A�[-l
:�j,t1�[J
2
(I)求满足At产 t1,A 女=t1 的所有向量t2,t辽
g
尸
(II)对(I)中的任意向量t2,女，证明 t2,t3 线性无关．
(21)(本题满分11分）
设二次型f(x1,x 2 ,x 3 ) = ax; + ax; +( a -l)式+2x1x3 -2X2 狂
(I)求二次型J的矩阵的所有特征值；
(II)若二次型J的规范形为Yi+式，求a的值
(22)( 本题满分11分）
袋中有1个红球、2个黑球与3个自球现有放回地从袋中取两次，每次取 一 个球以X,Y,Z
分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数
(I)求PjX=llZ=OI;
(II)求二维随机变量(X,Y)的概率分布．
(23)( 本题满分11分）
入
2
x
e一入x
x >0,
设总体 X的概率密度为八X ） = \ o, ' 其中 参数入（入>0)未知， XI,X2' …，xn 是来
其他，
自总体 X的简单随机样本．
(I)求参数入的矩估计量；
(II)求参数入的最大似然估计掀．
71
