文档内容
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
1987年真题参考答案
（试卷I)
一、填空题 3
（3）
(1)x -y + z= 0 . (2)
1 - 2 (4) -18'IT.
(5)(1,1, -1).
ln 2·
二、a=4,b=l.
. ／5 2 2\.
+ ( － -
门 4
三 四 、 _ )l y ＋y 、｀ 丿 g , . （ f/ - yf1 2 ) s2 a ) x
2 2a
3 －
3
2 9
五 ＿题 (C ＼ s－ j丿xa
x
门 择 + +
y y * c +e玉 co ＋ c .n ） + 其中ccc为任意常数
、 =
1
4
2
C.
3 1 2 ， 1 ， 2， 3
选 .
、 (
C
）
2、 丿 in （ 3 )B （ 、 ｀ 丿
=- X E [ -
' 2 ,0) LJ (0 ,2) ,
t'"2 x
六、收敛域为[ - 2,2) ,S(x) = {
＇ X
=0 .
了
七、341T.
f
八、证CD明略（可考虑函数F(X)
一
= (X) -X'对F(x)使用零点定理）
九、 当a�I时，方程组有唯 解；＠当a=I 时，(i)当b�-I时，方程组无解；(ii)当b=- I时，
l 2 3 4
方程组有无穷多解，通解为(x ,X ,X ,X 尸＝化(I,-2,1,0? 十伈(I,-2,0,I? + (-1,1,0,0?,
l 2
其中k ,k 为任意常数．
十、填空题 ;½-
n; n n-1. 53 20
(1)1 -(1 -p) o ( , l -p) + np(1 -p) o , (2) 120'53 · (3) 1
z:;;;;
＋－、儿 1
(z) <; — (1 -e-z) , 0 < z:;;;; 2,
= 2
2
1 一 z > 2.
— (e -1) e z'
2
（试卷II)
一 l l
-、【同试卷2r I 第 题
r
二、r(1)2 -6e气 (2)【同试卷I 第二题
1 1
三、刀' . xe +刀霾＋八'·l e 十九' xe +片;. 四、【同试卷I 第四题】．
五、【同试卷l 第五题l 六、【同试卷l 第六题】．
七、【同试卷I 第七题l 八、【同试卷I 第八题】．
九、【同试卷l 第九题 十、证明略（反证法．）
72参 考 答 案
1988年真题参考答案
（试卷I)
宇
-、
(1)[0,6). (2)cp(x)= 而厂，X�0. (3)
二
( 1
、
)
填
( 1
空
+
题
2 t ) e 气
卢.
(2) t·(3) (4)40.
三 、 选 择 题
(l)B. (2)A. (3)C. (4)B. (5)D.
四 、 0 . 五 、 y = ( I - 2 x ) 记 六 、
w
= k
勹 －
—
1
．
』
七、A=[ � � �} A'=A
6 - 1 - 1
八、(l)x=0,y=l;(2)P=[� �
0 1
九、证明略
十、填空题
l
＼
一丿
．
O
l
1 17
( I ) — ( 2 ) — ( 或 0 . 6 8 ) . ( 3 ) 0 . 9 8 7 6 . .
3 25
2
+-、八 3(1 -y)
(y)=
6
叫1 + (I -y) ]"
－
三
、
、
【
【
同
同
试
试
卷
卷
I
I
第
第
一
三
题
题
】
】
．
．
（试卷II)
l
四、(1)【同试卷1 第四题
l
五、【同试卷I 第五题
l
七、【同试卷I 第七题
l
九、【同试卷I 第九题
二 、 【 同 试 卷 1 第 二 题 】 ．
(2)�(2 +'lT) . (3)X + 2z= 7和X + 4y + 6z= 21.
'lT
六、【同试卷1 第六题】．
八、【同试卷1 第八题】．历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
1989年真题参考答案
（试卷I)
一 、 填 空 题
l
l
(1) -1. (2)x -1. (3) (4)2.
冗 _
2
O
f:
\ 、
O O＼
（5） l
_ O ．
2
0 l
二 、 选 择 题
(l)A. (2)C.
和
三、(1) =-�厂 +x忒+xy忒+g:.
祁丙
n
—'lT 十 00 (-l)
四、 4 二 2n +1 X2n+l , (- 1�X < l) .
n=O
1 .
X
五 —sm x + —cos x.
、 2 2
六、证明略（可利用零点定理）
七、入= 1时，方程组有解；解为 X=k(-1,2,1 ?+(1,- 1,0?,其 中k为任意常数
八、证明略（根据特征值与特征向量的定义．）
4
九
、
— a .
(3)D. (4)B. (5)C .
1
（2） - (3) —.
2 8
3
十、填空题
4
(3) —.
5
＋ － 、 儿 ( z ) =
(1)0. 7. (2)0. 75.
2
1 (z-5)
e 18 ， -oo 0.
（试卷II)
( 3 ) 【 同 试 卷
二
I
六
八
、
、
、
【
【
【
同
同
同
试
试
试
卷
卷
卷
I
I
l
l 第二题
第 四 题
l
第
第
六
八
题
题
ll
76参 考 答 案
1992年真题参考答案
（试卷I)
一 、 填 空 题
y sin(xy)- e
x +r
片
f,
-扒
(1) x+r (2)
e -x sin(xy)·
(4) (x +C ) cos x, 其中C为任意常数 (5)1 .
二、选择题 (l)D. (2)C. (3)B. ( 4 ) C . ( 5 ) A .
2
（3）T
_ 2．
和 f"
= 2x •
三、(1)1. (2)
如
ay 1 1 e s m y c o s y + 2 e
x x
(ysin y +x cos y)J;; +4 xyJ�; +e cos Y.八 ．
—7 - —1 .
(3)
3 e
= x 3x - —1
四、y C1e +C 2e- xe
4
- 3
x
, 其 中 C 1 , C 2 为 任 意 常 数
五、2—9 5
'l'Ta •
20
六、证明略（可考虑函数F(X) = (X +X 2)- J(X) , 计算F'(x),并利用F(x)的单调性）
f
b ff
a
七、[ = ff
— ,
T/
= — ( = 气
W m 邸
＝ —
a b c . ' ff ff 9
八、(1)a1 能由妇a3 线性表示，证明略. (2)a 4 不能巾叫归a3 线性表示，证明略．
九 、 ( l ) p
=
Z t 1 - '2(; 2 + t , . ( 2 ) A " P
=
[ � = � : : : :
: : .
1
.
3 J
2
-
2"' +3
填空
题 (t)¾- (2)f.
七
+: Ji-』
－ - - = 寻
＋ 、儿( ) =卢［叫z 一叶叫z : µ)],其中中(x) e dt
z oo
－
、 【 同 试 卷
I
第
一
题 】 ．
（试卷II)
二 、 【 同 试 卷
I
第 二 题 】 ．
2 0 1
1 I
三、(I)【同试卷 第三、(I)题】. (2)【同试卷 第三、(2)题】. (3)[ o 3 oJ-
-1 0 2
四
五
、
、
(
【
1
同
) 【
试
同
卷
试
1
卷 1
第 五
第
题
四
l
题 】 ．
l
七、【同试卷l 第七题
I
九、【同试卷 第九题】．
( 2 ) 2 x
r
。 f2 ( t ) d t . ( 3 ) l_8 e
- 三
2
l
六、【同试卷1 第六题
l
八、【同试卷l 第八题历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
1993年真题参考答案
（试卷I)
一、填空题
(I) ( o, -¼-)- (2) \o JJ) (3) — 2 3 1T. (4) X 2 + y 1 2 + z2· (5)k(I, I, …, l) T , 其中k为任意常数．
二、选择题
(1) B. (2) A. (3) C. (4) B. (5) C.
三、(1) e 2 . (2) 2x .../4了二1-4汃了二1+ 4arctan N 二1+C , 其中C为任意常数
2x
(3)y =
2·
1 + x
22
四、 'lT 五、 —
2· 27·
六、(1)证明略（可利用零点定理）
(2)证明略．（可考虑函数J(x) = xln a -aln x, 计算f'(x),并利用f(x)的单调性．）
0 1 0
1 1
—O —
七、a = 2; 正交矩阵p = 且 迈
1 1
—0—
立 迈
八、证明略（可证明r(B) = n.)
½F
臼『=
九、X
臼十 o,
初始条件为
r(-
1) =
o, r'(-
1) = 1.
十、填空题
1 1
(1) —. (2)
6 4fi.
十一、(1) E(X) =O ,D(X) = 2. (2) Cov(X, IX I) =O ,X和IXI不相关
(3) X和 汇不独立，证明略．
I
（试卷
II)
一、【同试卷I 第一题 l 二、【同试卷I 第二题】． 三、【同试卷I 第三题】．
az 和 和
四、(1)— = x 4 f;+ X切，— = x s 几+ 2x 3 几+ :\'i几， = 4x 3 J;+ 2:\'i片+ x 4 r.几 -yf心
句 矿 痐y
2 3 4
(2)【同试卷1 第四题】. (3)P = [ _o - 』．
1 。
I 0 一
五、【同试卷I 第五题 l 六、【同试卷1 第六题 l 七、【同试卷I 第七题】．
l l
八、【同试卷I 第八题 九、【同试卷I 第九题
78参考答案
1994年真题参考答案
（试卷I)
一、填空题
1 1
l
- -
2 3
l 2
（ l、
丿
_
6
． (2)2x + y -4 = 0. (3)(fr- (4) TI
4
R
(--;;
1 + Y11 ). (5) 3 n - l I 2 1 _
3
3
3 l
-
2
二、选择题
(1) D. (2) D. (3) C. (4) D. (5) C.
= dy fi 'lT , d 2 y ＝－ 1 00 x 4n+l
一 、(1) � t=行 = dx 2 t= 石 玉 (2) J(x) =L n=l 4n + 1 ( -l 0.
0, X�0,
(2)凡(x) = { -2n(x-0)
1 -e , X > 0.
(3)0的估计量不具有尤偏性
88参考答案
2004年真题参考答案
－、填空题
3
c1 c2
(1)y = X - l. (2)½(ln X) 2. (3)
2
'IT. (4) y =—
X
＋
下 X
，其中C1 ,C2 为任意常数
1 1
(5)可. (6)了
二、选择题
(7)B. (8) C. (9) B. (10) B. (11) D. (12) A. (13) C. (14) A.
三、解答题
2 4 I
(15)证明略（可考虑函数(f)(X) = ln X -了x,计算中 (X)'并利用叭x)的单调性．）
(16) 1. 05 km.
(17) -1T.
(1)
(18)证明略（证明式< — ，使用比较审敛法）
n
(19)点(9, 3)是函数z(x, y)的极小值点，极小值为3,点(-9,-3)是函数z(x, y)的极大值点，
极大值为-3.
n(n + 1)
(20)当a= 0或a=- 时，方程组有非零解
2
当a= 0时，方程组的通解为
k1 (1, -1,0,···,0? 十 k
2
(1 ,Q , -1, • • • ,Q )T +•• • + k
n
-l (1, 0, 0,• •• , -1)T ,
其中kl ,k 2 '…,k n-1 为任意常数．
n(n + I) T
当a=- 时，方程组的通解为k(l,2, 3,… ，n),其 中k 为任意常数
2
2 2
(21)当a=-2和a=-—
3
时，矩阵A有二重特征值，当a=-2时，A可相似对角化，当a=-—
3
时，A不可相似对角化
(22) (I)
。
1
。
2 1
3
12
1 1
1
6 12
平
(II) .
15
f3 X
(23) (I)/3的矩估计址为 =—
X -I
f3
n
(II)/3的最大似然估计址 = n
三
In X;
i = I
89历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2005年真题参考答案
－、填空题
-½)· ff
1 41 . 13
(1) y =了X - (2) y =宁(ln X (3)—. ( 4 ) ( 2 - Ii ) 1r 矿 ( 5 ) 2 . (6)
3
43·
二、选择题
(7) C. (8) A. (9) B. (10) D. (11) B. (12) C. (13) B. (14) D.
三、解答题
3
(15)—.
8
x
(16)收敛区间为(-1, 1); f(x ) = 2xarctan x -In( 1 + x ) + ' XE(-1,1).
2
1 + x
(17) 20.
(18)(1)证明略（考虑函数g(X) =J (X) + X -I'可利用介值定理）
(II)证明略（可利用拉格朗日中值定理）
(19)( I)证明略
2
(II)叭y) =- y .
(20) (I)O.
、
(II)J(X 1'X
2
'X
3
)=入计＋入
2
片＋入
3
计=2计+ 2y�.
o?,
(ill)x = k(-1, 1, 其中k为任意常数．
(21)当k -¥= 9时，X = k 1( I, 2 ,3 ? + k 2 ( 3, 6 , k ?,其 中k l'k 2 为任意常数当k = 9时，若A的秩为
T T
2,则 通解为 X =丸(1,2,3) ,其中k
l
为任意常数；若A的秩为 1,则通解为 X =丸(-b,a,O)
+ k 2 ( -C , 0, a) T ,其 中k l'k 2为任意常数．
2x, 0 < x < I,
(22)( I) f x( x) = {
0, 其他，
1 -宁， 0 < y < 2,
八(y) = \
0, 其他
l1 -
f,
0 < z < 2,
(II)儿(z) =
0, 其他
n 1
(23)( I) : ,( i = I, 2 , · · ·, n).
1
( II ) - — .
n
90参考答案
2006年真题参考答案
-、填空题
(1) 2. (2) y = Cxe一无，其中C为任意常数 (3) 2'IT. (4) ,Ji. (5) 2. (6)¼·
二、选择题
(7) A. (8) C. (9) D. (10) D. (11) A. (12) B. (13) C. (14) A.
三、解答题
(15)卫ln 2.
2
(16)(1)证明略（可利用数学归纳法证明lxJ单调下降且有界），
n
l
---+
im
oo
x
n
= 0.
气
(II)e
I I
(17)f(x) =已片- (- 1) n ]x n , X <1 .
(18) (I)证明略
(II)J (u) = ln u.
(19)证明略（可利用格林公式）
(20) (I)证明略（分别证明r(A)�2和r(A) 冬 2.)
(Il)a =2,b =-3, 通解为X=亿(-2 , 1 , 1, Q) T + k(4 , -5 , 0 , 1) T +( 2, -3 , 0, 0) T ,
2
其中k l 'k 2 为任意常数
(2I)(l)A的特征值为0,0,3, 对应于特征值0的全体特征向最为k
1
a
1
+k立
2
'其中kl 'k
2
为不全
为零的任意常数，对应于特征值3的全体特征向量为k
3
(1, 1 , 1) T , 其中k
3
为任意非零常数
1 1
1 - -
5
沁 5 。／ 、
1 ＼
2 0 A 。 Q为正交矩阵 講足QTAQ A
2YI
l :: �::
0 < z:::;;; 1,
(II)儿(z) = ·+ 4, 1 < z:::;;; 2,
其他
0,
- — ·
1
(24) (I) 0 = 2X
'
2
2
(II)4X 不是矿的无偏估计量．
922008年真题参考答案
－ 、 选 择 题
参考答案
(l)B. (2)A. (3)D. (4)B. (5)C. (6)B. (7)A. (8)D.
二、填空题
1 卢
(9) — X . (lO)y = x + 1. (11)(1,5]. (12)4'1T. (13)1. (14)
三、解答题
1
(15)— 6 .
- — 'IT
(16)
·
2
(17)曲线C上距离xOy面最远的点为(-5,
-5, 5), 最近的点为(1,1,1).
(18)证明略
(19)f(x) = 1 -
'IT
+Ic-1)
n-1
了
4
cos nx, 0 ::S; x ::S; TI ;
三oo (-
1 2 )
n-1
= —
矿
3 n=l n n=l n 12·
(20)证明略
(21)(I)证明略；
(Il)a¥=O,x =
1
(n + l)a;
(ill)a = O,x = c(l ,0, …，O) T + (0,1,0, …，O) T ,c为任意常数
1
(22)(I) P { Z ::::;; _!_ X = 0} = —·
'
2 2
主
1
-1 ,s;z <2,
(II)儿(z) =
o,
其他
(23)(I)证明略；
2
(II) D(T) =
n(n -I)"
93历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2009年真题参考答案
一 、 选 择 题
(1)A. (2)A.
二 、 填 空 题
(3)D. (4) C. (5)A. (6) B.
(9)xf'卢＋八+x计 ＇ 分 (10)- x x + X +2 . 13
e
( 1 1 ) — .
(7) C. (8) B.
—4 6 (12) 1T. (13)2.
15
三 、 解 答 题
( 1 4 ) - 1 .
1
( 1 5 ) 极 小 值
1 ( 0 ,
— = - — .
1
( 1 6 ) S 1 = ½ 心 = � l l n 2 .
e
2 2 立
(17)( I)椭球面S I 的方程为王 4 + y 3 = 1, 圆锥面s 2 的方程为y 2 +l =— 4 1 (x- 4)气
( II ) V = 'IT .
(18)证明略．
(19) / = 4'7T.
号叶
(20)( I)l 2 = (-½,½ ,0 y + c (½, -½, 1 y , 或l2 = (-½ -½c,cy,c为任意常数
t 3 = (分， 0,Qy+c 1 (-1,1,Q) T +c 2(0,0,l) T , 或女＝（－主 -C1,C1,C2) 厂 Cl,C2 为任商常数
( II ) 证 明 略
(21)(1)入 I = a,入 2 = a+I,入3= a -2 ; (II) a = 2.
( 2 2 ) ( I ) p X 1 = I I
z
= 0
f
= — ·
4
'
9
(II)二维随机变量(X,Y)的概率分布为
2
X 。
l
y
l l
1
O _
l
-
6
3-6
4
2 1
1 o
3 9_
-
1
。
-
9 o
2 2
(23)( I)入的矩估计量为入=-=-;(II)入的最大似然估计量为入＝二
X X
9 4
