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§10.6 离散型随机变量及其分布列、数字特征
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随
机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我
们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，称X取每一个值x 的概率P(X
1 2 n i
＝x)＝p，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
i i
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)p≥0，i＝1,2，…，n；
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＝p为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它
1 1 2 2 n n i i
反映了随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝(x－E(X))2p 为随机变量X的方差，
1 1 2 2 n n i i
并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2
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思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布．( × )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( √ )
教材改编题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的
得分，则{ξ＝3}表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案 D
解析 因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4 C．－1 D．1
答案 A
解析 E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
3．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的方差D(X)＝________.
答案
解析 由＋＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴X的分布列为
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X 0 1
P
∴E(X)＝0×＋1×＝，
则D(X)＝2×＋2×＝.
题型一 分布列的性质
例1 (1)若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X1；③P(ξ＝0)≤，正确的个数是(
)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.
①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；
②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确；
③P(ξ＝0)＝a＝≤，因此③正确．
(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二
局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为
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ξ，则D(ξ)＝________.
答案
解析 由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，
P(ξ＝5)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
则E(ξ)＝5×＋4×＋3×＋2×＝，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
题型三 均值与方差中的决策问题
例3 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．
每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则
该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与
否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的
每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正
确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
[切入点：X的取值情况]
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[关键点：均值大小比较]
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思维升华 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案
取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
跟踪训练3 某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个
学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否
则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定
点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，
直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项
目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格
的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
解 (1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，
P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列为
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：
由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值
E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，
若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，
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则Y的所有可能取值为0,6,10，
P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，
P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，
P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，
则Y的均值E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因为E(X)>E(Y)，
所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．
课时精练
1．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于( )
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A.0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
答案 D
解析 依分布列的性质可得0.2＋a＋0.5＝1，解得a＝0.3，
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3.
2．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则 a等于( )
A．－3 B．－2 C. D．3
答案 A
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，
解得a＝－3.
3．随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
由题意得，E(X)＝0×＋p＋2q＝1，且＋p＋q＝1，
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解得p＝，q＝，
所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
4．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比
赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得
分的均值为1，则ab的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意得，比赛一局得分的均值为3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1，
又a，b，c∈[0,1)，故3a＋b≥2，
解得ab≤，
当且仅当3a＝b，即a＝，b＝时，等号成立．
故ab的最大值为.
5．(2023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相
互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3
获得的奖金/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金
的均值最大( )
A．FDE B．FED C．DEF D．EDF
答案 C
解析 按照FDE的顺序获得的奖金的均值为
300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138(元)；
按照FED的顺序获得的奖金的均值为
300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132(元)；
按照DEF的顺序获得的奖金的均值为
100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196(元)；
按照EDF的顺序获得的奖金的均值为
200×0.5×0.2＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝176(元)，
综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大．
6．(多选)设010－
0.1，
∵lg 0.794≈－0.1，
∴1－p>10lg 0.794≈0.794，
∴00，当
