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§10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随
机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，
我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，称X取每一个值x 的概率P(X
1 2 n i
＝x)＝p，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
i i
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)p________0，i＝1,2，…，n；
i
(2)p＋p＋…＋p＝________.
1 2 n
4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝________________________＝p 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称
i i
期望．它反映了随机变量取值的____________．
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝_________________________为随
1 1 2 2 n n
机变量X的方差，并称为随机变量X的________，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值
与其均值的____________．
5．均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝____________.
(2)D(aX＋b)＝____________(a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与
之对应．( )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( )
2．(选择性必修第三册P66T1改编)已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4 C．－1 D．1
3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝
________，D(X)＝________.
4．(选择性必修第三册P67T3改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随
机变量X，Y，其分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
题型一 分布列的性质
例1 (1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P等于(
)
A. B. C. D.
思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的
概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1 (1)若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a c
则P(|X|＝1)等于( )
A. B. C. D.
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题点1 求离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经
统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50
甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的频率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、
乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则 X的均值和方差分别是(
)
A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36
B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36
C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34
D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34
(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表：
X －1 0 1 2
P a b c
若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)等于( )
A. B. C. D.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题
关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，
还经常从下列几个角度进行考查：
(1)均值、方差及概率的大小比较；
(2)均值、方差的增减性分析；
(3)均值、方差的最值；
(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．
典例 (1)设随机变量X的分布列如下(其中0
