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微专题23 痛点问题之概率统计经典解答题
【秒杀总结】
★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：
一是统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断．
收集数据 整理数据 分析数据 统计推断
三种抽样方法： 五种统计图表： 两种数字特征： 三种统计推断：
简单随机抽样 频率分布表， 集中趋势(众数、中 用样本估计总体
（抽签法、随机 频率分布直方图， 位数、平均数)， （估计思想），
法）， 茎叶图，散点图， 离散程度（极差、 回归分析（拟合思想），
系统抽样， 列联表． 方差、标准差）． 独立性检验（检验思
分层抽样． 想）．
二是随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型．
随机事件 事件概率 基本概型
八种常见事件： 三种常见求法： 七种概率模型：
随机事件，基本事件， 用频率估计概率， 古典概型，几何概型，
等可能事件，并事件，交事 利用基本概型的概率公 互斥事件概率，对立事件概
件， 式， 率，
互斥事件，对立事件，相互独 转化为简单事件的概率. 条件概率，相互独立事件概
立事件． 率，
独立重复试验概率．
三是随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布模型→分布列及数字特征．
随机变量 概率分布模型 分布列及数字特征
两类随机变量： 四种分布模型： 三个问题：
离散型随机变量， 两点分布，超几何分布， 概率分布列，数学期望，方
连续型随机变量． 二项分布，正态分布． 差．
【典型例题】
例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求a的值；
(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为 ， ，将一年看作365天．
（ⅰ）求 的表达式；
（ⅱ）估计 的近似值（精确到0.01）．
参考数值： ， ， ， ．
【解析】（1）由题意得，当 时， 的定义域为 ；当 时， 的定义域为 ，又 ，且 ，所以 是 的极小值点，故 ．
而 ，于是 ，解得 ．
下面证明当 时， ．
当 时， ， ， ，
所以当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，
所以 ，即 符合题意．
综上， ．
（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为 ，
故n人生日至少有两人相同的概率为 ．
（ⅱ）由（1）可得当 时， ，即 ，当且仅当 时取等号，
由（ⅰ）得
．
记 ，
则
，
即 ，由参考数值得 ，
于是 ，故 ．
例2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡
塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将
也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 的可能性扑
不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停
地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知 ．
①试证明： 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p 与q 的大小．
10 10
【解析】（1）方法一： 的所有可能取值为 ，
在一次扑球中，扑到点球的概率 ，
所以 ，
，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为 ，
门将在前三次扑到点球的个数 可能的取值为 ，易知 ，
所以 ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的期望 ．
（2）①第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，
则 ，
即 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列．
②由①可知 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
例3．（2023·山西·统考一模）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子
里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，
求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【解析】（1）依题意，记事件 表示第 次从第一个盒子里取出红球，记事件 表示两次取球中有红球，
则 ，
.
（2）记事件 表示从第一个盒子里取出红球，记事件 表示从第一个盒子里取出白球，记事件 表示从
第二个盒子里取出红球，
则 .
例4．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是
非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，
若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；
(3)取了 ，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．
【解析】（1）设取出的是第一次是一次性筷子为事件A，取出的是第二次非一次性筷子为事件B，
则 ， ，
所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率 ；
（2）对于 ，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的， ；
对于 ，表示三次中有一次筷子，对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，；
对于 ，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分，
；
X 0 1 2
P
数学期望 ；
（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子,则前 次中有一次取得一次性筷子，
所以
例5．（2023·全国·高三专题练习）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广
告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢
失，但可以确定横轴是从0开始计数的.(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入 （单位：万元） 1 2 3 4 5
销售收益 （单位：万
2 3 2 7
元）
表中的数据显示， 与 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算 关于 的回归方
程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
【解析】（1）设各小长方形的宽度为 ，
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知 ，
解得 .
所以图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是 ，
各小组的中点分别为 ，对应的频率分别为 ，
所以可估计销售收益的平均值为 .
（3）由（2）可知空白栏中填5，
由题意可知 ，
， ，
根据公式，可求得 ，则 ，
所以所求的回归直线方程为 .
例6．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中
编号为 的方框表示第 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第 场比赛的胜者称为“胜者 ”，负者称为“负者 ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙､丙､丁相互
之间胜负的可能性相同.
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【解析】（1）根据题意，乙获连负两场，所以1、4均负，
所以乙获连负两场的概率为 .
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
所以甲获得冠军的概率为 .
（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为： ，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：
，
若乙的决赛对手是丁，则其概率与乙的决赛对手是丙相同，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 .
例7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将
采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社
会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略
新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数
据，用最小二乘法得到电动汽车销量 （单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程为 ，
且销量 的方差为 ，年份 的方差为 .
(1)求 与 的相关系数 ，并据此判断电动汽车销量 与年份 的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买电动汽
性别 购买非电动汽车 总计
车
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，
男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
①参考数据： ；
②参考公式：（i）线性回归方程： ，其中 ；
（ii）相关系数： ，若 ，则可判断 与 线性相关较强.
（iii） ，其中 .附表：【解析】（1）（1）相关系数为
故 与 线性相关较强.
（2）零假设为 ：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于 .
（3）抽样比 ，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则 的可能取值为 故
, ,
故 的分布列为：
0 1 2
例8．（2023·全国·高三专题练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置
了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统
计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 表示活动推出的天数， 表示每天使用扫码支付
的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：
1 2 3 4 5 6 7
2
6 11 34 66 101 196
1
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：
62.14 1.54 2535 50.12 3.47
其中 ， .
参考公式：
对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， .
(1)根据散点图判断，在推广期内， 与 （ 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支
付的人次 关于活动推出天数 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求 关于 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的
人次；
【解析】（1）由于表中点的走势不在任何一条直线附近，因此应该是非线性的，故可判断 适宜作
为扫码支付的人数 关于活动推出天数 的回归方程类型;
（2） ，两边同时取常用对数得: ;
设
，
，
把样本中心点 代入 ，得: ，
，
关于 的回归方程式: .
把 代入上式: ,
故活动推出第8天使用扫码支付的人次为 .
例9．（2023·全国·高三专题练习）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行
了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差 的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 近似地服从正态分布 （用样本平均数 和标准差 分别作为 的近似值），现任取
一辆汽车，求它的单次最大续航里程 的概率；
（参考数据：若随机变量 ，则 ，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛
掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车
最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”
（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是 ，遥控车开始在第0格，客户每掷
一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 到 ；若掷出反面，遥控车
向前移动两格（从 到 ），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车
移到第 格的概率为 ，试证明 是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全
额的期望值（精确到 万元）.
【解析】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵ ，
∴ .
（3）由题可知 ，
遥控车移到第 格有两种可能：
①遥控车先到第 格，又掷出反面，其概率为 ；
②遥控车先到第 格，又掷出正面，其概率为 ，
∴ ，∴ 时， ，又∵ ，
∴当 时，数列 首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，
以上各式相加，得 ，
∴ 时， ，
∴到达“胜利大本营”的概率 ，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为 万元，则 或0，
∴ 的期望 ，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为 万元
【过关测试】
1．（2023·高三课时练习）设两名象棋手约定谁先赢 局，谁便赢得全部奖金a元.已知每局甲
赢的概率为p(00.6
设 分位数为 ，
，解得 287.5
∴产品的质量指标值的 分位数为287.5
（2） ，所以样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为
5个，故 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
， ，
，
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
所以期望 .
（3）设每箱零件中A级零件有 个，每箱零件的利润为 元，则 级零件有 个，由题意知： ，由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为
，A级零件的概率为1-0.1=0.9
所以 ， 所以 ，
所以 (元).
所以每箱零件的利润是4750元
