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§10.6 二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态
曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
1．二项分布
(1)n重伯努利试验
一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的
影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均
为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝ C p k (1 － p ) n － k ( k ＝ 0,1,2 ， … ， n ) ．
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为 X ～
B ( n ， p ) ．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则EX＝p，DX＝ p (1 － p ) ．
②若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝ np (1 － p ) ．
2．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取
出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}(其中k为非负整数)．
其中，n≤N，M≤N，n，M，N∈N .
＋
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从N，M，n的超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为 φ (x)＝
μ，σ
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分
布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，
简称为正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；②曲线在 x ＝ μ 处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σP(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)E(5X) D．P(X≥1)>0.9
答案 BD解析 由正态分布的对称性可知P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，
故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，故A错误；
X～B(3,0.6)，故EX＝3×0.6＝1.8，故B正确；
Eξ＝8，E(5X)＝5EX＝5×1.8＝9，
故Eξ0.9，故D正确．
8．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：
从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X ，均值和方差分别为EX ，DX ；试
1 1 1
验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X ，均值和方差分别为EX ，
2 2
DX，则( )
2
A．EX＝EX B．EX>EX
1 2 1 2
C．DX>DX D．DXDX．
1 2 1 2
三、填空题
9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7
道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．
答案
解析 设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为0,1,2，
可得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以最后抽取到的题为多选题的概率
P＝P(X＝0)×＋P(X＝1)×＋P(X＝2)×＝×＋×＋×＝.
10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该
产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，
可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个
季度的收益为正值的概率为________．
答案
解析 因为P(X>0)＝2P(X≤0)，
所以P(X>0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1，
所以P(X≤0)＝，P(X>0)＝，
则至少有3个季度的收益为正值的概率为C×3×＋C×4＝.
11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中
每次抽取1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为
________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．
答案 6
解析 令A为第i(i＝1,2,3)次取得一等品，
i
所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率为
P(A)＝××＝，
3
若抽取后再放回，则设X为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为，
则X～B，EX＝10×＝6，
所以平均取得一等品6次．
12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值大于 60就认为
身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值x(i＝1,2,3，…，100)，
i
经计算 ＝7 200，＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，
i
σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)
参考数据：若随机变量 X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ84)＝P(X>μ＋2σ)＝P(X<μ－2σ)
＝≈，
所以P(X>60)＝P(6084)≈0.954 4＋×(1－0.954 4)＝0.977 2≈97.7%.
四、解答题
13．某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，
抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有 10个形状与大小完全相同的
小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：
若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1
个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．
方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，
有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2 000元．
(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
解 (1)选择方案一，
若享受到7折优惠，
则需要摸出2个红球和1个黑球，
设顾客享受到7折优惠为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)若选择方案一，
设付款金额为X元，
则X可能的取值为5 000,7 000,9 000,10 000，
P(X＝5 000)＝＝，
P(X＝7 000)＝，
P(X＝9 000)＝＝，
P(X＝10 000)＝1－－－＝.
故X的分布列为
X 5 000 7 000 9 000 10 000P
所以EX＝5 000×＋7 000×＋9 000×＋10 000×＝≈9 608.3(元)．
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝10 000－2 000Y，
由已知可得Y～B，故EY＝3×＝，
所以EZ＝E(10 000－2 000Y)＝10 000－2 000E(Y)＝8 800(元)，
因为EX>EZ，
所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛
竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二
等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌
握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，
如图所示．
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的
估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(1)若该市共有10 000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79分的学生人数(结
果四舍五入到整数)；
(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10 000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛
成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
参考数据：若随机变量 X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ79)≈＝0.158 7，
故参赛学生中成绩超过79分的学生人数为0.158 7×10 000＝1 587.
(2)由μ＝64，得P(X>64)＝，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，
所以随机变量ξ～B，所以P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以期望为Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
