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专题 9.4 随机变量分布
目录
题型一： 离散型随机变量的分布列性质......................................................................................3
题型二： 确定离散型随机变量的分布列......................................................................................4
题型三： 分布列的期望与方差.......................................................................................................8
题型四： 方案评价与决策问题....................................................................................................10
知识点总结
知识点一、离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我
们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
知识点二、离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，称X取每一个值x的概率P(X
1 2 n i
＝x)＝p，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
i i
知识点三、离散型随机变量的分布列的性质
(1)p≥0(i＝1,2，…，n)；
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
知识点四、离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n(1)均值
称E(X)＝xp ＋ xp ＋…＋ xp＝p为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它
1 1 2 2 n n i i
反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝(x－E(X))2p为随机变量X的方差，
1 1 2 2 n n i i
并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程
度．
知识点五、均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数)．
【常用结论与知识拓展】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2
例题精讲
题型一：离散型随机变量的分布列性质
【要点讲解】(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．(2)进行
相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：p≥0，i＝1,2，…，n和 ＝1，
i i
随时验证计算的准确性．(3)随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要
的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈.
【例1】某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则
8 9 10
0.36 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【变式训练1】已知随机变量 的分布列如表：
1 2 3 4
0.15 0.35 0.25
则实数
A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35
【变式训练2】已知随机变量 的分布列满足： ，2，3， ，其中 为
常数，则
A． B． C． D．
【变式训练3】已 知 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 ， 则
A．1 B． C． D．
【例2】某市卫生部门随机抽取该市的 16所大学，对其食堂进行“进货渠道合格性”和
“食品安全”量化评估，所有大学的食堂评分均在 分范围内，以下表格记录了它们
的评分情况：评分
， ，
大学所数 4 8 4
（1）现从16所大学中随机抽取3所，求至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率；
（2）以这16所大学的食堂评分数据估计全市大学的食堂评分，若从全市的大学中任选 3
所，记食堂评分不低于9分的大学有 所，求 的分布列．
题型二：确定离散型随机变量的分布列
【要点讲解】离散型随机变量的分布列问题的解题策略：(1)先确定离散型随机变量的所有
可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；
(3)列出分布列．
【例3】在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任
取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数 的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
【变式训练1】某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定
至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率．
【变式训练2】某校高二年级某班的数学课外活动小组有 6名男生，4名女生，从中选出4
人参加数学竞赛考试，用 表示其中男生的人数，
（1）请列出 的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
【变式训练3】某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为
．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数 的概率分布列与期望．【变式训练4】生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产
品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该
批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为 ；乙用一枚硬币掷
2次，记下国徽面朝上的次数为 ．
（ 1 ） 算 国 徽 面 朝 上 不 同 次 数 的 概 率 并 填 入 下 表 ：
（2）现规定：若 ，则甲胜；若 ，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
【变式训练5】福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作
工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除
了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的
概率分别为 ， ， ，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为 ，求 概率分布列及期望；【变式训练6】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每隔 等可能地向
左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率．
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置．
题型三：分布列的期望与方差
【要点讲解】计算均值与方差的基本方法：①已知随机变量的概率分布求它的均值、方差
和标准差，可直接用定义或公式求；②已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y
＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求.
【例4】若随机变量 的分布列为 ， ，若 ，则 的
最小值等于
A．0 B．1 C．4 D．2
【变式训练1】已知离散型随机变量 的分布例如下表所示．
0.4 0.2 0.4
则A． B． C．0.4 D．0.8
【变式训练2】已知随机变量 的分布列如表（其中 为常数），则下列计算结果正确的
是
0 1 2 3
0.2 0.3 0.4
A． B． C． D．
【变式训练3】某人在 次射击中击中目标的次数为 ， ，其中 ，
，击中奇数次为事件 ，则
A．若 ， ，则 取最大值时
B．当 时， 取得最小值
C．当 时， （A）随着 的增大而增大
D．当 时， （A）随着 的增大而减小
【例5】某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯
关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元．奖金可累加，若某关闯关成功，
选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失
败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手小刘参加闯关游戏，已知他第一
二，三关闯关成功的概率分别为 ， ， ．第一关闯关成功选择继续闯关的概率为 ，
第二关闯关成功选择继续闯关的概率为 ，且每关闯关成功与否互不影响．
（1）求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）设小刘所得奖金为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．【变式训练1】第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动
会大量使用了高科技．为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；
初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3
分才能参加复试，复试每人都回答 ， ， 三道题，每一题答对得2分，答错得0分．
已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率
都是 ，乙每题能答对的概率都是 ．
（1）求甲、乙至少一人通过初试的概率；
（2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大．
题型四：方案评价与决策问题
【要点讲解】随机变量的数字特征是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，所以应该
从整体和全局上作出科学合理解释，以此对方案选择、评价和决策作出有效判断．一般先
比较均值，若均值相同(或相近)，再用方差来决定．【例6】如图，李先生家住 小区，他工作在 科技园区，从家开车到公司上班路上有 、
两条路线， 路线上有 、 、 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ； 路线
上有 、 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 ， ．
（1）若走 路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走 路线，求遇到红灯次数 的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条
最好的上班路线，并说明理由．
【变式训练1】惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙
两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这 6个
问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为 ．甲、
乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？【变式训练2】甲乙两人参加一个摸球中奖游戏，一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个
小球，其中有3个红球和2个白球，从中依次随机摸出3个球，每次摸出1个球，规定至
少有2个红球则中奖．
（1）若甲采用有放回的方式摸球，求甲中奖的概率；
（2）若乙采用不放回的方式摸球，求乙中奖的概率．
