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§10.6 二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态
曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
1．二项分布
(1)n重伯努利试验
一般地，在相同条件下______做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的
______，称这样的n次____________试验为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为
p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝________________________．
若一个随机变量 X 的分布列如上所述，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为
____________．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则EX＝____，DX＝____________．
②若X～B(n，p)，则EX＝______，DX＝____________．
2．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出
的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝____________，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}(其中k为非负整数)．
其中，n≤N，M≤N，n，M，N∈N .
＋
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从N，M，n的超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为 φ (x)＝
μ，σ
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布
密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称____________，对应的图象为正态分布密度曲线，
简称为____________．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线______对称；②曲线在______处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则EX＝______，DX＝______.
常用结论
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问
题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值EX＝，方差DX＝.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．( )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取 3次，则取到红球的个数X
服从超几何分布．( )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( )
2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不
发芽的概率是( )
A. B. C. D.
3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 N(80,102)，则理论上在80分到
90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
4．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则 P(X＝1)＝
________.
题型一 二项分布
例1 (2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，
工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、
丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；
方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器．
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与均值EX；
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(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判
断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
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跟踪训练1 (2023·太原模拟)第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、
乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知
甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从
第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前
一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为.
(1)设甲3次点球的总得分为X，求X的分布列和均值；
(2)求乙总得分为100分的概率．
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题型二 超几何分布
例2 (2023·宿州质检)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集
群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计
智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，
若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和均值．
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思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超
几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
跟踪训练2 (2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味
乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，
随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
民宿点 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛
普通型民宿 16 8 12 14 13 18 9 20
品质型民宿 6 16 4 10 11 10 9 12
(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下
求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，
求X的分布列和均值．
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题型三 正态分布
例3 (1)(2023·烟台模拟)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备
受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100
km)情况，随机调查得到了1 200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，
若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有( )
A．180辆 B．360辆
C．600辆 D．840辆
(2)(2023·长沙市明德中学模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐
公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时 X和骑自行车用
时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选
择骑自行车( )
A．有26 min可用 B．有30 min可用
C．有34 min可用 D．有38 min可用跟踪训练3 (1)(2024·佛山模拟)佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖
享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，
现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X<801的瓷砖片数，则EY＝________.
(2)(2023·唐山模拟)某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400,16)，随机抽取10 000袋，则
袋装质量在区间(396,408]的约有________袋．(质量单位：g)
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ
＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
