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2026 届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）
数学
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上。
将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上
要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的。请把正公确的选众项填号涂在：答题卡高相应考的位置试上。卷君
1. 已知集合 𝐴={𝑥∣𝑥2−𝑥−2⩾0}，𝐵 ={−2,−1,0,1,2}，则 𝐴 𝐵 =（ ）
A. {−2,1} B. {0,2} C. {−2,−1} D. {−2,−1,2}
2−i
2. 在复平面内，复数 （其中 i 为虚数单位）对应的点所在的象限为（ ）
1+i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若 𝒂,𝒃 为非零向量，则“𝒂 𝒃”是“|𝒂+𝒃|=|𝒂|+|𝒃|”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 充要条件
√
𝑥2 𝑦2 3
4. 已知椭圆 𝐶 ∶ + =1 的离心率为 ，则 𝑚=（ ）
2𝑚 𝑚−1 2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 函数 𝑦 =3𝑥−1 与 𝑦 =31−𝑥 的图象（ ）
A. 关于 𝑦 轴对称 B. 关于直线 𝑥=1 对称
C. 关于直线 𝑥=−1 对称 D. 关于直线 𝑥=2 对称
1 1
6. 已知 =log 𝑎，𝑏 =cos2，𝑐 =sin(−2)− ，则（ ）
5 1 sin2
2
A. 𝑏 >𝑎>𝑐 B. 𝑏 >𝑐 >𝑎 C. 𝑎>𝑏 >𝑐 D. 𝑎>𝑐 >𝑏
数学试题第1页（共4页）7. 点 𝑀 在圆 (𝑥−4)2+(𝑦−1)2 =4 上，点 𝐹 是抛物线 𝑦2 =4𝑥 的焦点，点 𝑃 是抛物线上的动
点，则 |𝑃𝐹|+|𝑃𝑀| 的最小值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8. 质点 𝑃 和 𝑄 在以坐标原点 𝑂 为圆心，半径为 1 的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动。𝑃
√ √ √
3 1 2 2
的起点坐标为 ( , )，角速度为 1rad/s；𝑄 的起点坐标为 ( , )，角速度为 2rad/s。则
2 2 2 2
质点 𝑄 与 𝑃 相遇点对应的坐标可能为（ ）
√ √ √ √ √
3 1 6− 2 6+ 2
A. (− ,− ) B. ( , )
2 2 4 4
√ √ √ √ √ √
2 2 6+ 2 6− 2
C. (− , ) D. ( , )
2 2 4 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
𝜋
9. 函数 𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔 >0,|𝜑|< ) 的部分图象如图所示，则（ ）
2
𝑦
公众号： 𝑂 高1 考4试卷 𝑥 君
3 3
1 5
A. 𝑓(𝑥+ ) 是奇函数 B. 𝑓(𝑥+ ) 是偶函数
3 6
𝜋 2026 2025
C. 𝑓(𝑥)=cos(𝜋𝑥− ) D. 𝑓( )>𝑓( )
6 5 7
10. 已知甲、乙两组样本各有 1000 个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，则（ ）
A. 若甲、乙两组数据的平均数都为 𝑎，则新数据的平均数等于 𝑎
B. 若甲、乙两组数据的极差都为 𝑏，则新数据的极差可能大于 𝑏
C. 若甲、乙两组数据的方差都为 𝑐，则新数据的方差可能小于 𝑐
D. 若甲、乙两组数据的中位数都为 𝑑，则新数据的中位数等于 𝑑
1
11. 在长方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 中，𝐴𝐵 =𝐵𝐶 = 𝐴𝐴 =1，点 𝐸 为 𝐶𝐶 的中点，点 𝑃 为平
1 1 1 1 2 1 1
面 𝐴𝐷𝐷 𝐴 内的一个动点（含边界），则（ ）
1 1
A. 𝐵 𝐸 平面 𝐴 𝐵𝐷
1 1
B. 四棱锥 𝐸−𝐵𝐵 𝐷 𝐷 的外接球的表面积为 8𝜋
1 1
C. 平面 𝐴𝐵𝐸 ⟂ 平面 𝐴 𝐵 𝐸
1 1
√
5
D. 若 𝑃𝐸 ⟂𝐴𝐶 ，则点 𝑃 的运动轨迹长度为
1 2
数学试题第2页（共4页）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知数列 {𝑎 } 是等差数列，𝑎 ,𝑎 是方程 𝑥2−6𝑥+8=0 的两实数根，则数列 {𝑎 } 的前 20
𝑛 4 17 𝑛
项和为 。
13. 已知 △𝐴𝐵𝐶 的顶点坐标分别为 𝐴(2,3)，𝐵(1,0)，𝐶(−4,1)，则 ∠𝐵𝐴𝐶 的角平分线所在的直
线方程为 。
14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任
何一人。若第一次由甲传出，共传 5 次结束，记 𝑋 表示球传回到甲手中的次数，则 𝑋 的数学
期望 𝐸(𝑋)= 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
√
在 △𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴,𝐵,𝐶 的对边分别为 𝑎,𝑏,𝑐，且 𝑎−𝑏 =4，𝑐 =2 5。
（1） 若 𝑎=6，求 △𝐴𝐵𝐶 的面积；
𝐴 1−sin𝐵
（2） 若 tan = ，求 𝑎。
2 cos𝐵
公众号：高考试卷君
16.（15 分）
投壶游戏起源于中国古代六艺中的“射”艺，是射礼的演变和延续。甲、乙两位同学为了参加
投壶游戏比赛，进行了大量的投壶训练。从这些训练数据中随机抽取甲乙各 100 次投壶数据，其中
甲投中目标的次数为 80 次，乙投中目标的次数为 85 次。假设每次投壶相互独立，用频率估计概率。
（1） 若现在让甲投壶 4 次，求甲投中目标的次数 𝑋 的分布列及期望；
（2） 通过分析甲、乙的训练数据发现：若甲发挥正常，投中目标的概率为 0.9，发挥不正常，投
中目标的概率为 0.5；若乙发挥正常，投中目标的概率为 0.95，发挥不正常，投中目标的
概率为 0.6。设甲、乙发挥正常的概率分别为 𝑝,𝑞，计算并比较 𝑃 与 𝑞 的大小。
数学试题第3页（共4页）17.（15 分）
已知函数 𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑚𝑥。
（1） 讨论 𝑓(𝑥) 的单调性；
（2） 若方程 𝑓(𝑥)=0 在 (0,+∞) 上有两个不等实根 𝑥 和 𝑥 ，
1 2
（a）求 𝑚 的取值范围；
（b）证明：𝑥 +𝑥 >2。
1 2
18.（17 分）
√
如图，已知三棱台 𝐴𝐵𝐶 −𝐴 𝐵 𝐶 ，𝐴𝐴 = 𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐵 = 2，𝐵 𝐶 = 2 3，点 𝑀 是 𝐴 𝐶
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
的中点，点 𝐷 是棱 𝐴𝐵 上靠近点 𝐵 的四等分点，𝐵 𝐷⟂𝐴𝐵，𝐵𝐶 ⟂ 平面 𝐴𝐵𝐵 𝐴 。
1 1 1
（1） 求证：𝐶𝐶 ⟂𝐴𝐵；
1
𝐴
1 𝐵
1
（2） 求二面角 𝑀 −𝐵𝐶 −𝐶 的正弦值；
1 𝑀
𝐶
（3） 平面 𝑀𝐶𝐷 将三棱台 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 分成两部分， 1
1 1 1
求体积较大部分与该棱台的体积之比。
𝐷
𝐴 𝐵
公众号：高考试卷君
𝐶
19.（17 分）
已知双曲线 𝐸 ∶𝑥2−3𝑦2 =1。
（1） 若直线𝑙与双曲线𝐸的左支及两条渐近线的交点从上到下依次为𝐴,𝐵,𝐶,𝐷，证明：|𝐴𝐵|=
|𝐶𝐷|；
（2） 记集合 𝑀 ={𝑃 (𝑥 ,𝑦 )∈𝐸 ∣𝑥 ∈ℕ∗,𝑥 <𝑥 <⋯<𝑥 ,𝑦 <𝑦 <⋯<𝑦 }。
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 1 2 𝑛 1 2 𝑛
（a）写出𝑃 ,𝑃 ,𝑃 的坐标。猜想数列{𝑥 },{𝑦 }的通项公式（说明猜想过程，不用证明），
1 2 3 𝑛 𝑛
并写出 𝑃 (𝑥 ,𝑦 ) 和 𝑃 (𝑥 ,𝑦 ) 的递推关系式；
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1
（b）试判断 △𝑂𝑃 𝑃 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。
𝑛 𝑛+1
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