文档内容
2024 届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）
数学
本卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写
在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． 或 C． D．
2．复数z满足 ，则z＝（ ）
A． B． C． D．
3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
4．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 为等差数列， 为其前n项和， ，则 （ ）
A．28 B．14 C．7 D．2
6．已知 为奇函数，则a＝（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知双曲线 的右焦点为 F，过点 F 作直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若满足
学科网（北京）股份有限公司的直线l有且仅有1条，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D． 或2
8．已知直三棱柱 的侧棱长为2， ， ．过AB， 的中点E，F作平
面α与平面 垂直，则平面α截该三棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列图象中，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．为了解居民对社区环保工作的满意度，居委会从社区全体居民中随机抽取若干居民进行评分调查（满分
为100分）．根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在 内的居民有180人．则（
）
A．
学科网（北京）股份有限公司B．调查的总人数为4000
C．从频率分布直方图中，可以估计本次评分的中位数大于平均数
D．根据以上抽样调查数据，可以认为该社区居民对社区环保工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超
过全体居民的20%”的规定
11．已知直线l： 与抛物线C： 相交于A，B两点，点 是抛物
线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则（ ）
A． B．
C． 的面积为 D．
12．已知函数 ，则（ ）
A．
B．当 时，
C．存在 ，当 时，
D．若直线 与 的图象有三个公共点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若角α的终边在第四象限，且 ，则 ______．
14．某圆锥的侧面展开图是面积为 ，圆心角为 的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为______．
15．已知数列 的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，令 ，则 取最小值时，
x＝______．
16．已知 为函数 图象上一动点，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知锐角 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ， ，
学科网（北京）股份有限公司．
（1）求 ；
（2）若 ，求AD的长．
18．（12分）已知数列 和 满足： ， ， （λ为常数，且 ）．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）若 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，求 ．
19．（12分）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按
照如下规则摸球：从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．
（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子？请做出你的判断，并说明理由；
（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求X
的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．
20．（12分）如图，平行六面体 的体积为6，截面 的面积为6．
（1）求点B到平面 的距离；
（2）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积
为定值？若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与
学科网（北京）股份有限公司函数 （ ， ，s为常数）密切相关，请解决下列问题：
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，
①证明 有唯一极值点；
②记 的唯一极值点为 ，讨论 的单调性，并证明你的结论．
2024 届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A B D B C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 CD ACD ABD ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．7 14． 15．6.75 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）解：（1）由 ， 得 ，
由余弦定理： ，
解得 或 （舍），
所以 ．
（2）法1：由（1） ，由 知， ．
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理：
所以 ．
法2：由 ，即 ，
得 ，
所以 ，
所以 ．
18．（12分）解：（1）因为 ，即 ，
所以 ，
而 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以 ．
因为当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，所以 ，
即 ，解得 ．
所以 ．
经检验，当 时， ，当 时， ，所以 先增后减，
在 和 时取得最大值，符合题意．
此时 ．
19．（12分）解：法1：（1）记摸球结果是一红一白为事件A，
学科网（北京）股份有限公司假如选择的是第一个盒子，则 ，
假如选择的是第二个盒子，则 ，
∵ ，所以，可以认为选择的是第一个盒子。
（2）（1）中判断结果：选择的盒子为1号盒子．
记“任选一个盒子，选到1号”为事件B；记“任选一个盒子，从盒中摸球，结果为一红一白为事件C”；
记“在摸球结果为一红一白的条件下，选到的盒子为1号”为D，
则 ，
X的数学期望 ．
法2：（1）记摸球结果是一红一白为事件A，记“任选一个盒子，选到1号”为事件B，记“任选一个盒子，
选到2号”为事件C，
，
，
∵ ，
所以，若摸球的结果是一红一白，则选择的是1号盒子的可能性更大．
（2）判断正确的次数为X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且满足
所以X的数学期望 ．
20．（12分）解：（1）在平行六面体 中， 是三棱柱，
学科网（北京）股份有限公司，
设点B到平面 的距离为d，则 ，所以 ，
即点B到平面 的距离为1．
（2）在 中， ， ，所以ABCD是菱形，连接BD交AC于O，则 ，
由（1）知点B到平面 的距离为1，所以 平面 ．
设点 在直线AC上射影为点H， ，
则 ，且 ， ，
所以O和H重合，即 ．
以O为坐标原点，OA，OB， 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
根据 ， ，则 ，
，设平面 的一法向量为 ，
则 取 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为α，则
，
学科网（北京）股份有限公司，
所以直线 与平面 所成角正弦值为 ，
21．（12分）解：（1）∵由题， ，又∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴椭圆C的方程为 ．
（2）设两定点为 ， ，其中 ，
当直线l的方程为 时，易知两定点到直线l的距离之积为3．
①当直线l不垂直于x轴时，直线l： ，
∵联立方程组 整理为 ，
其中 ，所以 ，
∵两定点到直线 的距离分别为 ， ，
∴ ，
即 ，或 ，
∴ 或 对任意 恒成立，
显然 对任意 不恒成立．
若 对任意 恒成立，则 所以
∴两定点为 ， ．
②当直线 轴时，∵l的方程为 或 ，
学科网（北京）股份有限公司也满足两定点为 ， 到l的距离之积为3，
综上所述，存在两定点为 ， ．
22．（12分）
解：（1）
，
令 ， ，
，当 时，
在区间 上单调递减，
又 ，
所以，当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减．
（2）①由（1）得： ，
令 ， ，
令 ，可得： ，依题意：
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ，所以 ，又因为
所以，存在唯一 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以， 存在唯一极大值点 ，且 ．
学科网（北京）股份有限公司②结论： 在 上单调递增．
证明：由①知：当 时， 存在唯一极大值点，
任意 ，且 ，依题意： 的极大值点为 ，记为 ；
的极大值点为 ，记为 ；
则 为 的 零 点 ， 为 的 零 点 ， 则
，
由①知： ，
由 得：
，
由于 ， ，所以 ．
根据①的分析可知， ， ，即 ，即
所以 在 上单调递增．
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