大湾区数学参考答案与评分细则(1)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考_2023届广州大湾区普通高中毕业班第一次联合模拟考试数学

2023 届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B A B C A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 12 答案 AC AD BC AC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 1 13． 1 14．5 15．  16．2 3 2 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分） 解答：(1) 由题可得a 3,a 7,a 11， ……2分 1 2 3 故a 34(n1)4n1(nN*) . ……4分 n 16 (2) b  且a 4n1， n (a 1)(a 5) n n n1 16 1 故b   ……5分 n 4n(4n415) n(n2) 11 1     . ……7分 2n n2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   T  1          ……8分 n 2 3 2 4 3 5 n1 n1 n n2 3 1 1 1  3       . ……10分 4 2n1 n2 4 高一数学参考答案 第 1 页 （共 9 页）18.（12分） 解：（１）由条件及正弦定理可得 (sinBsinC)cosAsinAcosBsinAcosC 0 ……1分 即sinBcosAcosBsinAsinCcosAcosCsinA0 故 sin(B A)sin(C A)0 则有 sin(B A)sin(AC) ……3分 又BA(,),CA(,) 故有B A AC ， 或(B A)(AC) π（舍去）， 或(B A)(AC)π（舍去）. ……5分 则BC  2A，又ABC  π 所以A . ……6分 3 （２） 设ACB, 在△ABD和△ACD中,由正弦定理可得 BD AD CD AD  ,  ……8分   2  sin( ) sin(  ) sin( ) sin 3 4 3 4 2 BDsin( ) 3 CDsin()   ……9分    sin(  ) sin 3 4 4  3sin sin() 4   ……10分   2 sin(  ) sin( ) 3 4 3 3 sin   ……11分 31 3 1 cos sin 2 2 2  tan96 3 ……12分 19．（12分） 高一数学参考答案 第 2 页 （共 9 页）解：（１）连接AB,AB交于点O, 连接OD ……2分 1 1  ABCABC 为三棱柱 1 1 1  ABB A 为平行四边形, 点O为AB 的中点 1 1 1 又 D为BC 的中点 1 1  AC OD ……4分 1 又 OD平面ABD, AC 平面ABD 1 1 1  AC 平面ABD. ……6分 1 1 （2）解法1 ：  CA AB CA AA AB AA  A 1 1  CA面 ABB A 1 1  AB 面ABB A 1 1 1  CA AB ， 1    AB  CB2  AC2  2 2 2 22 2 1 1 AB 2,AB 2,BB 2 2 1 1  AB2  AB2  BB2 即 AB  AB ……7分 1 1 1 以A为坐标原点，AB,AB ,AC分别为x,y,z建立空间直角坐标系， 1 A(0,0,0),A(2,2,0),B(2,0,0),B (0,2,0),C (2,2,2),D(1,2,1) 1 1 1      AA  2,2,0 AD 1,0,1 ……8分 1 1 AB  AB AB  AC AB  AC  A 1 1  AB 面ABC 即平面ABC的一个法向量为n   1,0,0  ……9分 1 1 1 高一数学参考答案 第 3 页 （共 9 页）   AA n 0 2x2y0 设平面AA 1 D的法向量为n 2   x,y,z  ，则    A  D  1  n  2  0 即 xz 0 1 2 令x1，y 1,z 1n (1,1,1) ……10分 2 设平面ABC与平面AAD所成夹角为， 1 1   n n 11010(1) 1 3 1 2 cos      ……11分 n  n 1 111 2 3 3 1 2 3 平面ABC与平面AAD所成夹角的余弦值是 . ……12分 1 1 3 解法2： 设点E为BC的中点, 点F 为AC的中点, 连接DE交BC于点Q, 连接AE,AQ,EF, 1 F 设点P为AQ的中点, 连接EP,FP. Q E P  点E为BC的中点, 点D为BC 的中点 1 1 1  EQ BB且EQ  BB= 2,点Q为BC的中点 1 2 1 1  ACC A 为矩形，  AC  AA 1 1 1 又 AC  AB, ABAA  A， AC 平面ABB A ……7分 1 1 1  AC  AB 1  在△ACB 中, AC  AB ,AC  2,BC  2 2, 可得AB 2 1 1 1 1  △ABC为等腰直角三角形, 其中AC  AB 2, BC 2 2 1 1 1 而点Q为BC的中点， AQ BC且AQ  2 ……8分 1 1  点P为AQ的中点, 点F 为AC的中点 高一数学参考答案 第 4 页 （共 9 页）1 1 2  FP BC且FP CQ BC  1 2 4 1 2  FP AQ ……9分 又 在Rt△ABC中, AB  AC 2, 点E为BC的中点  AE  2  在△AEQ中, AE  EQ AQ 2，且点P为AQ的中点 6  EP AQ且EP 2  EPF即为平面ABC与平面AAD所成的夹角 ……10分 1 1 1 2 6  在△EFP中, EF  AB 1, FP  , EP  ……11分 2 2 2 EP2 FP2 EF2 3  cosEPF   ……12分 2EPFP 3 20．（12分） 1 解：（1）由已知X  B(6, )， ……2分 2 所以P(X 2) P(X 0)P(X 1)P(X 2) 1 1 1 1 1 1 6 15 11 C0( )6 C1 ( )5C2( )2( )4     ； ……5分 6 2 6 2 2 6 2 2 64 64 64 32 1 （2）由已知X  B(n, )，所以E(X)0.5n，D(X)0.25n， ……7分 2 X 若0.4 0.6，则0.4n X 0.6n，即0.1n X 0.5n0.1n， n 高一数学参考答案 第 5 页 （共 9 页）即 X 0.5n 0.1n. ……8分 0.25n   由切比雪夫不等式P X 0.5n 0.1n 1 ， ……10分 (0.1n)2 0.25n 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1 0.98， (0.1n)2 解得n1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250. ……12分 21．（12分） 解：（1）令A(x ,y ), B(x ,y )， 1 1 2 2 1 1  y2 2x， y 2x ， y ， k  y PA y 1 1  l : y y  (x x ) ……2分 PA 1 y 1 1 又 P(1,2) 1 1  l :2 y  (1x ) y  (1x ) ……3分 PA 1 y 1 1 2 1 1  1 y  (1x )   1 2 1  y 2 6 ……4分 1  y2 2x 1 1 同理可得 y 2 6. ……5分 2  y  y 2 6, x x 2(y  y )4 6， 1 2 1 2 1 2  | AB| (x x )2 (y  y )2  (4 6)2 (2 6)2 2 30 . ……6分 1 2 1 2 （2） 令C(x ,y )，由条件知 y  y  y 0. ……7分 3 3 1 2 3 1 ABBCsinABC S AB BC AM CN  △ABC  2    (1 ) (1 )……8分 S 1 BM BN BM BN △BMN BM BNsinABC 2 高一数学参考答案 第 6 页 （共 9 页）y y y y y y (1 1)(1 3)1 1 3  1 3 y y y y 2 2 2 2 2 y y y (y  y ) y2  y y 2 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 y 2 y 2 y 2 2 2 2 2 2  y   y   y 1 9  1   1 2 1    ……10分  y   y   y 2 4 2 2 2 | AM | y 3  4| AM |3|BM |，  1  |BM | y 4 2 3 y    1  0 ……11分 4 y 2 y 1 S 9  当 1  时, △ABC 取得最大值 . ……12分 y 2 S 4 2 △BMN 22．（12分） ex1 解：（1）证明：（1） f(x) 的定义域为(,0)(0,) ………1分 x  x1  ex1 f(x) ，令 f(x)0，得：x1， ……… 2分 x2 当x变化时 f(x)，f(x)的关系如下表： x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) f(x)  \  0  f(x)    f(x)在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增. ………4分 （2）证明：要证ablnab2， 只需证：  alnb  blna 2 高一数学参考答案 第 7 页 （共 9 页）根据alnbblna，只需证：blna1 ………6分 不妨设ab，由alnbblna得：alnablnb； ea eb 两边取指数，ealna eblnb，化简得：  ………7分 a b ex eex1 令：g(x) ,则g(a) g(b)，g(x) ef(x),根据（1）得 x x g(x)在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（如下图所示）， 由于g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，要使g(a) g(b)且a b，则必 有0a1,b1，即0a1b 由0a1b得：b1,1lna1. ………8分 要证blna1，只需证：b1lna， 由于g(x)在(1,)上单调递增，要证：b1lna, 只需证：g(b) g(1lna)， …………9分 又g(a) g(b)，只需证：g(a) g(1lna)， …………10分 高一数学参考答案 第 8 页 （共 9 页）e 只需证：ea e1lna a ，   a 1lna 1lna 只需证：ea 1lna e， 1lna 1 只需证：  ， e ea 1lna 1 1lna 只需证：   0，即证 ea 0， e ea e 1lnx 1lna 令(x) ex,(0 x1)，(1)0，(a) ea e e 只需证：(x)0,(0 x1)， 1 1 1 ex ex (x) ex    ， ex ex ex exex 令h(x)ex ex, h(1)0,h(x)ex e0,(0 x1)，h(x)在(0,1)上单调递减， 所以h(x)h  1 0， ex ex 所以(x) 0 exex 所以(x)在(0,1)上单调递减，所以(x) 1 0 所以(a)0 所以：ablnab2. ……12分 高一数学参考答案 第 9 页 （共 9 页）