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★启用前注意保密
2024 届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）
数学
本卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需
改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
4．已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 为等差数列， 为其前n项和， ，则 （ ）
A．28 B．14 C．7 D．2
6．已知 为奇函数，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知双曲线 的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点若满足
的直线l有且仅有1条，则双曲线C的离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C．2 D． 或2
8．已知直三棱柱 的侧棱长为2， ，过AB， 的中点E，F作平面
与平面 垂直，则平面 截该三棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列图象中，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．为了解居民对社区环保工作的满意度，居委会从社区全体居民中随机抽取若干居民进行评分调查（满分
为100分）．根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在 内的居民有180人．则（
）
学科网（北京）股份有限公司A．
B．调查的总人数为4000
C．从频率分布直方图中，可以估计本次评分的中位数大于平均数
D．根据以上抽样调查数据，可以认为该社区居民对社区环保工作的满意度符合“评分低于 65分的居民不超
过全体居民的20%”的规定
11．已知直线 与抛物线 相交于A，B两点，点 是抛物线
C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则（ ）
A． B． C． 的面积为 D．
12．已知函数 ，则（ ）
A．
B．当 时，
C．存在 ，当 时，
D．若直线 与 的图象有三个公共点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若角 的终边在第四象限，且 ，则 _________．
14．某圆锥的侧面展开图是面积为 ，圆心角为 的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为_________．
15．知数列 的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，令 ，则 取最小值时，
学科网（北京）股份有限公司__________．
16．已知 为函数 图象上一动点，则 的最大值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知锐角 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求AD的长．
18．（12分）
已知数列 和 满足： （ 为常数，且 ）．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）若 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，求 ．
19．（12分）
有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸
球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．
（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；
（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求X
的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．
20．（12分）
如图，平行六面体 的体积为6，截面 的面积为6．
（1）求点B到平面 的距离；
（2）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
学科网（北京）股份有限公司21．（12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积
为定值?若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数
（ ，s为常数）密切相关，请解决下列问题．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时；
①证明 有唯一极值点；
②记 的一极值点为 ，讨论 的单调性，并证明你的结论．
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