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考点巩固卷 26 分布列及三大分布
考点01 分布列均值和方差的性质
1．（多选）已知离散型随机变量 的分布列为
若离散型随机变量 满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 0 C． D．
【答案】AB
【分析】先求得 ，然后根据概率、期望、方差的知识求得正确答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由 ，
所以 ，所以A选项正确.
，
所以 ，对应概率为0，所以D选项错误.
，
所以 ，所以B选项正确.
，C选项错误.
故选：AB
2．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中 ， ， 分别为随机变量X的均值与
方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解.
【详解】由题意可知： ，
随机变量X的分布列为
X 0 1
P
由两点分布可知： ，故A正确，D错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，故B正确，C错误；
故选：AB.
3．（多选）已知随机变量 的分布列为
若随机变量 ， ， ，则下列选项正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】先利用分布列的性质求出 ，再利用均值和方差的性质求解即可.
【详解】依题意，由分布列可得 ，解得 ，A正确；
，
，
因为 ，
所以 ， ，
解得 ， ，B错误，C正确；
所以随机变量 的分布列为：
由分布列可知D正确；
故选：ACD
4．（多选）若随机变量 ，下列说法中正确的是（ ）
A． B．期望
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．期望 D．方差
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望与方差公式即可求解.
【详解】随机变量 ，
则 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
因为 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
5．已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2
P m
若 ，且 ，则 ．
【答案】15
【分析】利用分布列的性质可求得 ，继而可求 ，再利用期望的性质可求 .
【详解】由分布列的概率之和为1可得： ，解得 ，
．
故答案为：15.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．已知随机变量 的分布列为
0 1 2
(1)求 的值；
(2)求 ；
(3)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分布列的性质即可得解；
（2）利用随机变量的期望公式可得答案；
（3）法一：利用 即可得解；法二：利用随机变量的期望公式可得答案.
【详解】（1）依题意，由分布列得 ，解得 ，
所以 的值为 .
（2）由（1）得 .
（3）法一：因为 ，
所以 .
法二：因为 ，所以 的分布列如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
考点02 独立事件的乘法公式
7．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球，5个红球，乙箱中有8个红球，2个白球.掷
一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1，2，3，4，从乙箱子
中随机摸出1个球.则在摸到红球的条件下，红球来自甲箱子的概率为 .
【答案】
【分析】根据概率乘法公式先分别求出从甲、乙箱中摸到红球的概率，然后可得摸到红球的概率，根据比
值即可的所求概率.
【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为 ，再从甲箱中摸到红球的概率为 ，故从
甲箱中摸到红球的概率为 ；
从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为 ，再从乙箱中摸到红球的概率为 ，故从乙
箱中摸到红球的概率为 ；
因此，摸到红球的概率为 ，
∴红球来自甲箱子的概率 .
故答案为：
8．某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇
到红灯的概率分别为 ， ， .
(1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率；
(2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校
打卡时间比规定时间晚 秒，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)分布列见解析，52
【分析】（1）利用概率的乘法和加法公式即可求解；
（2）根据已知条件求出随机变量的取值，再利用概率的乘法和加法公式求出随机变量对应的概率，进而
得出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解.
【详解】（1）记A={该同学在上学路上恰好遇到一个红灯},
.
（2） 的可能取值为 ，
,
,
,
X的分布列为：
X 0 48 96 144
P
.
9．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者
下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得
最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，
甲、乙比赛甲胜概率为 ，乙、丙比赛乙胜概率为 ，丙、甲比赛丙胜概率为 ，每局比赛相互独立且每
局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可.
【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局的概率即为甲、乙、丙各胜1局的概率.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件 ， ， ，则 ， ， 相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各胜1局为事件 ，则 ，
则 ，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为 .
（2）设甲、乙、丙第 局比赛获胜分别为事件 ， ， ， ，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件 ，则
，
，
，
，
，
，
所以 .
所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 .
10．手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的
织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】序A，工序 ，工序 .经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为 ， ， .现某单位推出一项手
工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴
趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技
术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有
接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，分别讨论小李完成工序的情况并
计算各类情况的概率最后求和即可；
（2）设小李最终收益为X，列出其所有取值，并计算概率求期望值即可.
【详解】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，
当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
故小李成功完成三道工序的概率为 ；
（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，
有如下几种情况：
两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时 ，
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时 ，
；
只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时 ，
;
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时 ， ；
故 .
11．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为 个过程，第 个过程，将产品交给 位质检员分别进行检验，
若 位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第 个过程，可以出厂；若 位质检员检验结果均为不
合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有 位或 位质检员检验结果为合格，则需要进行第 个
过程，第 个过程，将产品交给第 位和第 位质检员检验，若这 位质检员检验结果均为合格，则可以出
厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为 ，且每位质检员的检
验结果相互独立．
(1)求产品需要进行第 个过程的概率；
(2)求产品不可以出厂的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得产品在进行第 个过程时有 位或 位质检员检验结果为合格，可得概率；
（2）当第 个过程中 位质检员检验结果均为不合格，或第 个过程中， 位质检员检验结果不全为合格，
不可以出厂.
【详解】（1）由已知可得产品在进行第 个过程时有 位或 位质检员检验结果为合格，
所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）第 个过程中 位质检员检验结果均为不合格，概率为 ，
第 个过程中， 位质检员检验结果不全为合格，概率为 ，
所以不可以出厂的概率 .
12．挑选空间飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、
政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率
分别是 ， ， ，能通过文考关的概率分别是 ， ， ，由于他们平时表现较好，都能通过
政审关，若后三关之间通过与否没有影响．
(1)求甲被录取成为空军飞行员的概率；
(2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）设甲乙丙三位同学分别通过复检为事件 ，甲乙丙同学通过文考为事件 ，
可得 ，
由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率为：
（2）由题意，甲乙丙三位同学分别通过复检，即为事件 ，
利用独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为：
.
考点03 超几何分布
13．（多选）某单位推出了 道有关二十大的测试题供学习者学习和测试，乙能答对其中的 道题，规定
每次测试都是从这 道题中随机抽出 道，答对一题加 分，答错一题或不答减 分，最终得分最低为
分，则下列说法正确的是（ ）
A．乙得 分的概率是 B．乙得 分的概率是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．乙得 分的概率是 D．乙得 分的概率是
【答案】ABC
【分析】根据古典概型概率公式结合组合数计算即可.
【详解】设乙的得分为 ，则由题意 的所有可能取值为0，10，25，40，
所以 ， ， ， ，
故选：ABC
14．某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，
10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个
红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率．
【答案】得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
【分析】由题意，用X表示抽到的红球数，则 ，根据超几何分布的概率公式得解.
【详解】解：从18个小球中抽取3个时，有 种等可能的结果，用X表示抽到的红球数，
则 ，则
P（得一等奖） ．
P（得二等奖） ．
P（得三等奖） ．
因此，得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
15．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球
(1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
(2)若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及 .
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)分布列见解析，2
【分析】（1）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，进而求得.（2）不
放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，计算出各自对应的概率，求得X的分
布列，从而利用公式求得．
【详解】（1）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以所求概率 ；
（2）不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，
则 ； ； .
则X的分布列为：
故 .
16．某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，
其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在
600分以上的为优秀，其余为合格．
(1)请完成下列 列联表．根据小概率值 的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．
经常锻
不经常锻炼 合计
炼
合格 25
优秀 10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】合计 100
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽
到5人中优秀的人数为X，求X的分布列．
附： ，其中 ．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析；成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据题意，得到 列联表，求得 的值，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，求得抽取的10人中合格有 人，优秀的为 人，得到 服从超几何分布，得出 的可能
值，求得相应的概率，列出分布列.
【详解】（1）解：根据题意，得到 列联表
经常锻
不经常锻炼 合计
炼
合格 25 45 70
优秀 20 10 30
合计 45 55 100
零假设 ：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关，
可得 ．
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
所以 的把握认为成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联.
（2）解：根据频率分布直方图，可得大于600分的频率为 ，
小于600分的频率为 ，
所以由分层抽样知，抽取的10人中合格有 人，优秀的为 人，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则从这10人中随机抽取5人，优秀人数 服从超几何分布，
由题意 的可能值为0，1，2，3
可得 ， ， ，
所以随机变量 分布列为
X 0 1 2 3
P
17．某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能
的评价指标，按 分成8组，得到如图所示
的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在 和 内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中
随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在 内的学员人数为 ，求 的分布列与
数学期望．
【答案】(1) ，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为 求出 ，再由频率直方图中位数的计算方法求解即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）求出 的可能取值，及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可得出答案.
【详解】（1）由直方图可知 ，
解得 ．
因为 ，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在 内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为 ，则 ，
解得 ．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在 内的有4名，在 内的有8名．
由题意可知 的所有可能取值为 ．
， ，
， ，
，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
18．某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9
箱进行检测，其中有5箱为一等品.
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记 表示抽到一等品的箱数，求 的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）有古典概型概率计算公式以及组合数的计算即可求解.（2）利用超几何分布的知识求得分布
列以及期望.
【详解】（1）设从这9箱产品中随机抽取的3箱产品中至少有2箱是一等品的事件为 ，则
，
因此从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率为 .
（2）由题意可知 的所有可能取值为 ，由超几何分布概率公式得
， ， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
考点04 二项分布
19．近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校
2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：（单位：人）
喜欢跳舞 不喜欢跳舞
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】女
25 35
性
男
5 25
性
(1)根据表中数据并依据小概率值 的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？
(2)用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取
的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望 .
附： ， .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】(1)认为喜欢跳舞与性别有关联
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）计算出 的值，对照卡方表完成检验；
（2）分别计算出样本中喜欢跳舞和不喜欢跳舞的概率，根据二项分布即可求出随机变量的分布列和数学
期望.
【详解】（1）零假设： ：喜欢跳舞与性别无关联，
由题意， ，
依据小概率值 的独立性检验，可推断 不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.
（2）由题知，考生喜欢跳舞的概率 ，不喜欢跳舞的概率为
X的可能取值为0，1，2，3
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以X的分布列如下：
0 1 2 3
由 ，数学期望 .
20．某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A
学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，
两门学科均良好的有40人．
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A
学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好
A学科不够良好
合计
(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良
好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.15
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2.072
【答案】(1)填表见解析，有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得出A学科良好的人数，进而即可得出2×2列联表.根据公式计
算得出 的值，比较即可根据独立性检验得出答案；
（2）根据（1）得出AB学科均良好的概率 ，可知 .然后计算得出 取不同值的概率，列
出分布列，根据期望公式即可得出答案.
【详解】（1）由直方图可得A学科良好的人数为 ，
所以2×2列联表如下：
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
假设 ：A学科良好与B学科良好无关，
，
所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．
（2）AB学科均良好的概率 ，
X的可能取值为0，1，2，3，且 ．
所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为 ，所以 ．
21．某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中
放入的奖品个数 满足 ，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：
当箱子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的
同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．
(1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；
(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为 ，求 的概率分布与数学期望；
(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为 ，求 的数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）先求得 ，然后求得 的概率分布，进而求得甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率.
（2）根据二项分布的知识求得 的概率分布，进而求得数学期望.
（3）根据二项分布的期望计算公式求得正确答案.
【详解】（1）因为每个箱子中放入的奖品个数 满足 ，
所以 ，则 ，所以 的概率分布为：
1 2 3 4 5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】P
设事件 为甲能从1号箱子中取走一个奖品，
则 ，
所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为 .
（2） ，因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为 ，所以 ，
所以 ， ，X的概率分布为：
0 1 2 3 4
所以X的数学期望为 ．
或 ．
（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为
，所以 ，所以Y的数学期望为 ．
22．一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独
立的，并且概率都是 .
(1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布；
(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）写出随机变量X的所有可能取值，利用二项分布求出对应的概率即可列出对应的分布列；
（2）利用对立事件求出学生在途中没有遇到一次红灯的概率为 ，即可求得结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）根据题意可知，途中遇到红灯的次数服从二项分布，
易知X的所有可能取值为 ，
可知 ，
,
,
,
,
,
；
所以X的分布为
0 1 2 3 4 5 6
（2）由（1）可知，这名学生在途中没有遇到一次红灯的概率为 ，
所以途中至少遇到一次红灯的概率为 .
23．某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测
试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为 ，该
应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为 ， ，m，其中 ，技能测试是否通过相
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】互独立．
(1)若 ，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
(2)若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数
的数学期望为决策依据，该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据二项分布和独立事件乘法公式计算求解即可；
（2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，再进行比较求解即可．
【详解】（1）若 ，此时该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为 ， ， ，
则该应聘者应聘甲公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为 ,
该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为 .
（2）设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为 ，应聘乙公司通过的项目数为 ，
根据题意可知， ，则 ，
，
，
，
，
则随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以m的取值范围为 .
24．卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”引发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮”.某公司被授权销
售以“拉伊卜”为设计主题的精制书签.该精制书签的生产成本为50元/个，为了确定书签的销售价格，该
公司对有购买精制书签意向的球迷进行了调查，共收集了200位球迷的心理价格来估计全部球迷的心理价
格分布.这200位球迷的心理价格对应人数比例分布如下图：
若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签.公司采用常见的饥饿营销
的方法刺激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签.设每位球迷是否购买该精制书签相
互独立，精制书签的销售价格为 元/个( ).
(1)若 ，已知某时段有3名球迷有购买意向而咨询公司，设 为这3名球迷中购买精制书签的人数，
求 的分布列和期望；
(2)假设共有 名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70元和80元时，哪种售价
对应的总利润的期望最大?
【答案】(1)分布列见解析，
(2)当精制书签的销售价格定为70元时，对应的总利润的期望最大
【分析】（1）先确定购买该精制书签的概率，根据二项分布的概率得分布列与数学期望；
（2）根据随机变量之间的关系确定当 ， 时的 与 的关系，即可判断得结论.
【详解】（1）当 时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为 .
因每位球迷是否购买该精制书签相互独立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，X的可能取值为 .
；
其分布列为：
0 1 2 3
其期望为 .
（2）设该公司销售该精制书签所得总利润为 元，
当 时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为 ，
此时 ；
当 时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为 .
此时 ；
∵ ，所以当精制书签的销售价格定为70元时，对应的总利润的期望最大.
考点05 二项分布的概率最大问题
25．已知随机变量 ，则概率 最大时， 的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的 ．
【详解】依题意 ，
由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，解得 或 .
故选：C.
26．（多选）已知数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次受力质点原地停留或向右移动一个
单位，质点原地停留的概率为 ，向右移动的概率为 ，且每次是否移动互不影响．若该质点共受力7
次，到达位置的数字记为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的概率计算即可判断ACD，根据二项分布的期望公式即可判断B.
【详解】设质点向右移动的次数为 ,则 ，
由于 ，所以 , ,故A正确，
,故B错误，
由于 ,所以 ,故C正确，
，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
,
,
因此 最大，故 ，故D错误，
故选：AC
27．在高三的一个班中，有 的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学
生人数 ，则 取最大值时 .
【答案】
【分析】根据题意得到 ，得到 且 ，进而求得 的值.
【详解】由数学成绩合格的学生人数 ，可得 ，
则满足 且 ，
解得 且 ，所以 ，
所以 取最大值时，实数 的值为 .
故答案为： .
28．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为 ，则
；函数 取最大值时， .
【答案】
【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得 ，之后对其求导，利用导数在
相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点.
【详解】10次的结果恰有2次是正面的概率为 .
因此 .
令 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取最大值.
故答案为： ； .
29．一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，
质点向上运动的概率为 .质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为 ，质点运动
2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为 .
【答案】
【分析】根据二项分布的概率公式，以及组合数的对称性质，可得答案.
【详解】由运动 次后，所在位置对应坐标为 ，则运动中有 次向右， 次向上，由题意可得：其概
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】率 ；
设质点运动 次，所在位置对应的坐标为 ，则其概率
，令 ，
，解得 ，
故当 时， 取得最大值，此时质点所在位置对应的坐标为 .
故答案为： ； .
30．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改
变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从
不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市 社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该
社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买
不喜欢网上买菜 合计
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)是否有99.9%的把握认为 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
(2) 社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从 ， 两个买菜平台随机选择其中一个下单买
菜.如果周一选择 平台买菜，那么周二选择 平台买菜的概率为 ；如果周一选择 平台买菜，那么周二
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选择 平台买菜的概率为 ，求李华周二选择平台 买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从 社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为 ，事件
“ ”的概率为 ，求使 取得最大值时的 的值.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.0 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)有99.9%的把握认为 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
(2)
(3)12
【分析】（1）根据题意，计算出 的值即可求解；
（2）根据概率的乘法公式求解；
（3）利用二项分布求出 ，然后计算，可得结果.
【详解】（1）零假设 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，
由题可得，
，
所以零假设不成立，
所以有99.9%的把握认为 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）周二选择 平台买菜的情况有：
①周一选择 平台买菜，周二选择 平台买菜，概率为 ,
②周一选择 平台买菜，周二选择 平台买菜，概率为 ,
所以李华周二选择平台 买菜的概率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由表知，喜欢网上买菜的频率为 ，则 ,
所以
设 ，
令 ，解得 ， ；
，解得 ，
所以当 时， 最大，
所以使 取得最大值时的 的值为12.
考点06 二项分布与超几何分布的综合
31．为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集
合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的 名旅行者进行满意度调
查，将其分成以下 组： ，整理得到如图所示的频率分布
直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)若将频率视为概率，从得分在 分及以上的旅行者中随机抽取 人，用 表示这 人中得分在
中的人数，求随机变量 的分布列及数学期望；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若将频率视为概率，从得分在 分及以上的旅行者中按比例抽取 人，再从这 人中一次性抽取 人，
用 表示这 人中得分在 中的人数，求随机变量 的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析；数学期望
(3)分布列见解析；数学期望
【分析】（1）根据频率和为 可构造方程求得 的值；
（2）易知 ，根据二项分布概率公式可得 每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项
分布期望公式可求得期望值；
（3）根据比例可得 人的分数分布情况，从而确定 的可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得 每
个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值.
【详解】（1）由题意得： ，解得： .
（2）由频率分布直方图知：从得分在 分及以上的旅行者中随机抽取 人，得分在 的概率为
，则 ，
所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】数学期望 .
（3）从得分在 分及以上的旅行者中按比例抽取 人，则 人中得分在 的人数为 人，得分
在 的人数为 人；
则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
的分布列为：
数学期望 .
32．某公司订购了一批树苗，为了研究其生长规律，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理后得到
如图①的频率分布直方图，其中最高的16株树苗高度的茎叶图如图②所示，以这100株树苗高度的频率估
计整批树苗高度的概率．
(1)求这批树苗的高度高于1.60的概率，并求图①中a，b，c的值；
(2)研究发现高度在1.65以上的树苗有特殊的生长规律，于是从抽测高度在1.65以上（不含 ）的树苗中
抽取3株做研究，设X为高度在 的树苗数量，求X的分布列和数学期望．
(3)为做进一步对比研究，需从这批订购的树苗中随机选取3株，记 为高度在 的树苗数量，求
的分布列和数学期望；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)这批树苗的高度高于1.60的概率为 ，
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）结合茎叶图以及古典概型的概率计算公式计算出所求概率.结合茎叶图以及频率之和为 求得
.
（2）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
（3）利用二项分布的分布列计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】（1）这批树苗的高度高于1.60的概率为 ，
，
.
（2） 以上（不含 ）的有 株，其中高度在 的树苗数量为 株，
,
,
所以 的分布列为：
.
（3）依题意 ，即 ，
,
,
,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
所以 的分布列为：
所以 .
33．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量
（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为 .由此得到样本的频率分
布直方图如图：
(1)求 的值；
(2)从该流水线上任取2袋食盐，设 为质量超过 的食盐数量，求随机变量 的分布列及数学期望；
(3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设 为质量超过 的食盐数量，求随机变量 的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，0.6
(3)分布列见解析
【分析】（1）利用诸小矩形面积之和为1可求 的值；
（2）利用二项分布可求 的分布列及数学期望；
（3）利用超几何分布可求 的分布列；
【详解】（1）由题意可得： ，
解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐，
该食盐的质量超过 的概率为 .
从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验，
质量超过 的袋数X的所有可能取值为 ，
且 服从二项分布 ，
.
，
，
，
随机变量 的分布列为：
0 1 2
0.49 0.42 0.09
.
（3）质量超过 的食盐数量为 袋，
随机变量 的所有可能取值为 ，且 服从超几何分布.
， ，
，
随机变量 的分布列为:
0 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】34．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它
们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本
的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【答案】(1)12（件）
(2)分布列见解析，
(3)分布列见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量；
（2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望；
（3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列.
【详解】（1）质量超过 克的产品的频率为 ，
质量超过 克的产品数量为 .
（2）质量超过 克的产品数量为 ，
则质量未超过 克的产品数量为 ， 服从超几何分布， 的取值为 ， ， .
， ，
.
的分布列为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解法一： 的均值为 .
解法二： 的均值为 .
（3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 克的概率为 .
从流水线上任取 件产品互不影响，
该问题可看二项分布，质量超过 克的件数 可能的取值为 ， ， ，且 .
， ， ， .
，
，
.
的分布列为
35．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月
用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数 的分布列与数学期望；
(2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到 户月用水
量为二阶的可能性最大，求 的值.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)6
【详解】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户.
第二阶段水量的户数 的可能取值为0，1，2，3，
， ， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
（2）设 为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得 ，
所以 ，其中 0，1，2，…，10.
设 ，
若 ，则 ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则 ， .
所以当 或 ， 可能最大， ，所以 的取值为 .
36．已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中
横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中
随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
【答案】分布列答案见解析，数学期望：
【分析】若选①，分别求出随机变量 的取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，计算期望；
若选②，则随机变量 服从二项分布，根据二项分布的概率公式列出分布列，计算期望.
【详解】若选①，由题意，随机变量 的可能值为0，1，2，3
，
，
，
；
所以 的分布列为
0 1 2 3
期望 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若选②，由题意，随机变量 的可能值为0，1，2，3，且 ，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
期望 .
考点07 决策问题
37．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均
温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断， 与 （其中 …为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产
卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中 ， ，
参考数据（ ）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，
对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降
20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发
出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝
产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是
10万；
方案3：不采取防虫害措施.
【答案】(1) 更适宜
(2)
(3)选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类
型；
（2）将 两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断， 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）将 两边同时取自然对数，可得 ，
由题中的数据可得， ， ，
所以 ，
则 ，
所以z关于x的线性回归方程为 ，
故y关于x的回归方程为 ；
（3）用 ， 和 分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 万，
如果发生，则收益为 万，即 ，
同样，采用第3种方案，有
所以， ，
，
.
显然， 最大，所以选择方案1最佳.
38．部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到
笔试优秀才能进入面试环节.已知 两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】互独立.若某考生报考 大学，每门科目达到优秀的概率均为 ，若该考生报考 大学，每门科目达到优秀
的概率依次为 ， ， ，其中 .
(1)若 ，分别求出该考生报考 两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决
策，该考生更有希望进入 大学的面试环节，求 的范围.
【答案】(1)报考 大学恰好有一门笔试科目优秀概率为 ；报考 大学恰好有一门笔试科目优秀概率为
(2)
【分析】（1）根据二项分布概率公式和独立事件概率乘法公式依次求解即可；
（2）根据二项分布期望公式可求得 ；结合独立事件概率乘法公式可求得离散型随机变量 的分布列，
进而由数学期望公式求得 ；根据 可求得 的范围.
【详解】（1）设该考生报考 大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，
则 ；
该考生报考 大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，
则 .
（2）该考生报考 大学达到优秀科目的个数设为 ，则 ， ；
该考生报考 大学达到优秀科目的个数设为 ，则 所有可能的取值为 ，
；
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
；
随机变量 的分布列：
；
该考生更有希望进入 大学的面试环节， ，即 ，
解得： ， 的范围为 .
39．新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选
对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为
，有3个选项正确的概率为 ，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在
一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题
得5分的概率为 ，求 ；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A
不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2
个，共选3个. 若 ，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1)
(2)①
【分析】(1) 根据条件概率事件求解即可；
(2) 分别分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根据得分情况选择方案；
【详解】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件 ，“有3个选项正确”为事件 ，“小明该题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得5分”为事件B，
则 ，求得 .
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则 ，
且 ，
，
，
所以， ，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则 ，且
，
，
所以， ,
因为 ，所以小明应选择方案①.
40．甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从 道备选题中一次性随机抽取 道题，按照
答对题目的个数为标准进行筛选．已知 道备选题中应聘者甲有 道题能正确完成， 道题不能完成；应聘
者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲､乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)答案见解析；
(2)甲通过面试的概率较大．
【分析】（1）根据题意得 服从超几何分布， 服从二项分布，分别求解概率及分布列即可.
（2）由（1）分别求出期望和方差比较即可.
【详解】（1）设 为甲正确完成面试题的数量，
为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得 的可能取值为： ，
所以 ，
，
所以 的分布列为
由题意随机变量 的可能值为 ，可得 ，
所以 ，
，
所以 的分布列为：
（2）由（1）可得，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
因为 ， ，
所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
41．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，这些球除了颜色之外完全相同.
(1)如果从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取1球，求从乙盒取出的球为红球的概率.
(2)某超市进行促销活动，顾客可以在A，B两个活动中任选其一参加（甲乙两盒如初始状态）.活动A：每
次有放回地从甲盒中随机取出一个球，重复三次，每取出一个红球得1张代金券；活动B：每次不放回地
从乙盒中随机取出一个球，直到取到白球为止，每取出一个红球得1张代金券.所有代金券的面额都是相同
的.从预期收益的角度看，哪个活动对顾客更有利？
【答案】(1)
(2) 活动
【分析】（1）根据题意，直接运用全概率公式进行求解即可；
（2）分别计算活动A和活动B的数学期望，比较两者大小即可判断出哪个活动对顾客更有利.
【详解】（1）记“从乙盒任取1球，求从乙盒取出的球为红球”为事件 ，
“从甲盒任取1球放入乙盒，该球为红球”为事件 ，
则 ：从甲盒任取1球放入乙盒，该球为白球；
所以 .
所以从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取1球，求从乙盒取出的球为红球的概率为 .
（2）记参加活动 获得 张代金券，由题意可知， ，则 （张）；
记参加活动 获得 张代金券， 的可能取值为0，1,2,3，
,
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
所以 （张）；
因为 ，
所以从预期收益的角度看， 活动对顾客更有利
42．2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、
早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一．某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社
区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸
检测结果成阳性的概率为 ，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立．
(1)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位用民分成若干
组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必
再检测：若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；
方案二：将55位居民分成5组，每组11人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
(2)假设该疾病患病的概率是 ，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为 ，已知这55位居民中有一位
的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
（参考数据： ）
【答案】(1)方案二的工作量更少
(2)
【分析】（1）设方案一和方案二中每组的检测次数为 ， ，分别求出两种方案检测次数的分布列，进
而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论.
（2）设事件 为 “核酸检测呈阳性”，事件 为“患疾病”，利用条件概率公式求解即可；
【详解】（1）设方案一中每组的检测次数为 ，则 的取值为 ， ，
，
所以 的分布列为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即方案一检测的总次数的期望为 ；
设方案二中每组的检测次数为 ，则 的取值为 ， ，
，
所以 的分布列为
所以 ，
即方案二检测的总次数的期望为 ，
由 ，则方案二的工作量更少.
（2）设事件 为 “核酸检测呈阳性”，事件 为“患疾病”
由题意可得 ， ， ，
由条件概率公式 得 ，
即 ，
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为 .
考点08 正态分布常考小题
43．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】44．甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩 ，乙地学生的成绩
.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（若随机变量 ，则 ， ，
）
A．甲地数学的平均成绩比乙地的高 B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C． D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据正态曲线比较两地平均值可判断A；根据曲线的特征比较成绩的离散程度判断B；根据正态
曲线的对称性可判断C，根据特殊区间的概率值可判断D.
【详解】对于A，由正态曲线可知甲地数学平均分为90分，乙地数学平均分为100分，
故甲地数学的平均成绩比乙地的低，A错误；
对于B，由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中，
故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大，B错误；
对于C，由于 ，根据正态分布曲线的对称性可知 ，
C错误；
对于D， ， ，
，D正确，
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】45．已知随机变量 ，则 服从（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据期望和方差公式求 和 ，再根据正态分布参数的意义，即可判断选项.
【详解】 随机变量 ， ， ，
， ，
故选：D.
46．（多选）若随机变量 ， 的密度函数为 ，则（ ）
A． 的密度曲线与 轴只有一个交点
B． 的密度曲线关于 对称
C．
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的性质逐项判断作答即可.
【详解】若 ，其密度函数 ，
因此 的密度曲线与 轴只有一个交点 ，故A正确；
的密度曲线关于直线 对称，故B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD
47．已知随机变量 ，则 等于 ．（参考数据：
）
【答案】0.15865
【分析】根据正态分布的对称性，以及已知区间的概率，即可求得答案.
【详解】由题意随机变量 ，
则 ，
故 ，
故答案为：0.15865
48．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 ，且 ，现从该生产线上随机
抽取10片瓷砖，记 表示 的瓷砖片数，则 ．
【答案】1
【分析】由正态分布性质可求 ，结合二项分布定义确定 的二项分布，根据
二项分布的均值公式求结论.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
由已知 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：1.
考点09 正态分布的实际应用
49．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分
笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市 年共有 名考生参加了中小学教师资
格考试的笔试,笔试成绩 ,只有笔试成绩高于 分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取 人,求这 人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙 名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为 ,设这 名学生中通过面试的
人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
参考数据:若 ,则 , ,
, , .
【答案】(1)
(2)随机变量 的分布列见解析；期望为
【分析】（1）由正态分布的对称性有 ,求各学生能进入面试的概率,再由独立
事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求 人中至少有一人进入面试的概率.
（2）求出 的可能取值为 的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件 ,由已知得: ,
所以 ,
则 ,
即这 人中至少有一人进入面试的概率为 .
（2） 的可能取值为 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
,
,
,
则随机变量 的分布列为：
, .
50．某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测
（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数;
(2)若所有学生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ．初试成
绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不
获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为 ，第三道题答对的概率为 ．若他
获得一等奖的概率为 ，设他获得二等奖的概率为 ，求 的最小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
【答案】(1)平均数： ； 分位数：
(2)182
(3) ．
【分析】（1）根据平均数和 分位数的求法求得正确答案.
（2）根据 原则以及正态分布的对称性求得正确答案.
（3）先求得 的表达式，然后利用导数求得 的最小值.
【详解】（1）设样本平均数的估计值为
则 ．
解得 ．所以样本平均数的估计值为62．
前三组的频率和为 ，
前四组的频率和为 ，
第四组的频率为 ，
所以 分位数为 .
（2）因为学生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 ．
所以 ．所以 ．
所以估计能参加复试的人数为 ．
（3）由该学生获一等奖的概率为 可知： ．
则 ．
令 ．
．
当 时， ;当 时， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．
所以 ．所以 的最小值为 ．
51．某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后方可参加复试．为了解考
生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩绘制成如图所示的样本频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计样本的平均数；
(2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ，试估计所
有考生中初试成绩不低于80分的人数；
(3)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0
分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中前两题每道题能答对的概率均
为 ，后两题每道题能答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为 ，
求 .
附：若随机变量 服从正态分布 ，则： ，
， .
【答案】(1)62
(2)182人
(3)
【分析】（1）根据分布直方图计算即得；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由学生初试成绩服从正态分布，可得 ， ，再由 计算即得；
（3）分别求出 ， 和 的概率，即得.
【详解】（1）由题意得，样本平均数的估计值为
.
（2）以为学生初试成绩 服从正态分布 ，其中 ， ，
则 ，
所以 ，
所以估计初试成绩不低于80分的人数为 人.
（3）由题意得， ，
，
所以 .
52．（ 2023·广西柳州·统考模拟预测）新高考改革后广西采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､
外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政
治､地理4门中选择2门.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数
外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布 .
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知
识分析上述宣传语的可信度.
附： ， ， .
【答案】(1) 种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)①4093人；②不可信
【分析】（1）结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可；
（2）①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数；②根据正态分布的
原则判断即可.
【详解】（1）甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有 种，在
生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则 ，即 种；
若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有 种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共 种方法；
（2）①设此次网络测试的成绩记为 ，则 ，
由题知 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；
②不可信. ，
则 ，
5000名学生中成绩大于430分的约有 人，
这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
53．零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，
质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘
米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布 ， ， 分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一
组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)分别求 ， 的值；
(2)试估计这批零件直径在 的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在 的个数.
参考数据： ；若随机变量 ，则 ，
， .
【答案】(1) ， ;
(2)0.8186;
(3)1637．
【分析】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.
（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.
（3）根据区间 上的概率计算即可.
【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
故 ， .
（2）设 表示零件直径，则 ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
由对称性得， ，即 .
同理， ，
，即 .
.
故这批零件直径在 的概率为0.8186.
（3）由（2）知， ，
所以在这2000个零件中，零件的直径在 的有 个.
54．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取 件，测量这些产品的一项质量指标值(记为 )，由测量
结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当 时，产品为正品；当 时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，
则盈利 元；若是次品，则亏损 元．若将样本频率视为概率，记 为生产一件这种产品的利润，求随机
变量 的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为， 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方
差 (同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求 ；
②某客户从该公司购买了 件这种产品，记 表示这 件产品中该项质量指标值位于区间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】内的产品件数，利用①的结果，求 ．
附： ；若 ，则 ， .
【答案】(1)分布列见解析；数学期望
(2)① ；②
【分析】（1）根据频率分布直方图可求得产品为正品和次品的概率，由此可得分布列；根据数学期望计
算公式可求得期望值；
（2）①根据频率分布直方图估计平均数和方差的方法可求得 ，由正态分布的 原则可求得结果；
②根据二项分布期望公式可求得结果.
【详解】（1）由频率估计概率，产品为正品的概率为 ，
产品为次品的概率为 ；
随机变量 的分布列为：
数学期望 .
（2）①抽取产品的该项质量指标值的样本平均数为
；
样本方差 .；
，则 ， ，
.
②由①知：一件产品中该项质量指标值位于区间 内的概率为 ，
， .
考点10 统计概率结合导数
55．今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．9月19日，中国
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出
现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南
（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存
在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是
要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种
过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结
束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗 30 60
接种天花疫苗 20 90
(1)是否有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切
接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家
与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检
测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈
阳性的概率均为 且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的
概率为 ．求当 为何值时， 最大？附：
0.1 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关
(2)
(3)当 时， 最大
【分析】（1）假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，根据题意求得 判断；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）易得该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，再利用独立重复实验求解；
（3）易得 ，再利用导数法求解.
【详解】（1）假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，
依题意有 ，
故假设不成立， 没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关.
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，设随机抽取的4人中至多有1人感
染病毒为事件 ，则 ，
（3）记事件 为：检测了2名成员确定为“感染高危家庭”；事件 为：检测了3名成员确定为“感染高
危家庭”；则
则， ，令 ，则 （舍去）
随着 的变化， 的变化如下表：
+ 0
递增 极大值 递减
综上，当 时， 最大．
56．今年 月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多． 月 日，中国
疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出
现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南
（ 年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期 天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一
是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察 天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接
种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家 个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察
结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗 30 60
接种天花疫苗 20 90
(1)根据小概率值 的独立性检验，判断密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗是否有关？
(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切
接触者中随机抽取 人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有 人感染猴痘病毒的概率：
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户 口之家
与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检
测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈
阳性的概率均为 且相互独立．记：该家庭至少检测了 名成员才能确定为“感染高危家庭”的
概率为 ．求当 为何值时， 最大？
附：
0.1 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)没有
(2)
(3)
【分析】（1）假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，根据题意求得 判断；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）易得该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，再利用独立重复实验求解；
（3）易得 ，再利用导数法求解.
【详解】（1）解：假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，
依题意有 故假设不成立，
∴ 没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，
设随机抽取的 人中至多有 人感染病毒为事件 ，
则 ；
（3） ，
则 ，令 ；则 （舍去），
随着 的变化， 的变化如下表：
p
+ 0 -
递增 极大值 递减
综上，当 时， 最大．
57．某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱
存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成 列联表，并
依据小概率值 的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
是否有不合格品 无不合格品 有不合格品 合计
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设备
新
旧
合计
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取
20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为
，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为 ，求
最大时 的值 ．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的 作为 的值．已知每个口罩的
检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检
验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
0.100 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附： ，其中 ．
【答案】(1)填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联
(2)
(3)应该对余下的480个口罩进行检验
【分析】（1）根据题中的条件可填写 列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判
断出关联性；
（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为 的表达式，利用求
导方法解出 的最大时的 ；
（3）先设 表示余下的480件产品中不合格品的数量， 符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与赔偿费用的和记为 ，找出 、 的等式关系，即可求出 ，进而判断结果.
【详解】（1）解： 单位：箱
是否有不合格品
无不合格品 有不合格品 合计
设备
新 90 10 100
旧 75 25 100
合计 165 35 200
零假设为 ：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知 的观测值
，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断
犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得 ，
则 ，
令 ，又 ，得 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 最大时 的值 ．
（3）由（2）知 ．
设 表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知 ，
所以 ．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为 （元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
58．在全国“质量月”活动之前，为引导企业弘扬工匠精神，落实主体责任，该地质检部门决定从中小企
业中抽取4家的负责人参加“提质”座谈会，已知该地中小企业中有6家是典型的“优质企业”，另外n
家是“普通企业”．记 为抽取的4家企业中“优质企业”的数量．
(1)当n＝4时，求 的分布列及期望；
(2)若从这n＋6家企业中任选2家企业的负责人发言，记这2人中恰好1人来自“优质企业”，另外1人来
自“普通企业”的概率为 ，则当n为何值时，P最大？
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)n＝5或n＝6
【分析】（1）由条件确定随机变量 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式
求期望；
（2）先求概率 ，再结合函数的单调性求其最大值.
【详解】（1） 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
， ，
故 的分布列为
0 1 2 3 4
P
故 的期望 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 内单调递减，
当 时， ，函数 在 内单调递增，
又 ，且当n＝5时， ；当n＝6时， ，
所以当 或 时， 取最大值，最大值为 .
59．某次射击比赛过关规定：每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，比
赛过关，得4分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得
3分；若未击中靶标，比赛未能过关，得2分．现有12人参加该射击比赛，假设每人两次射击击中靶标的
概率分别为m，0.5，每人过关的概率为p．
(1)求p（用m表示）；
(2)设这12人中恰有9人通过射击比赛过关的概率为 ，求 取最大时p和m的值；
(3)在（2）的结果下，求这12人通过射击比赛过关所得总分的平均数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用对立事件概率的计算公式，用相互独立事件概率的计算公式能求出每位大学生射击测试过
关的概率.(2)求出 ，通过求导可求得取到最大值时的 的值.(3)利用第二问
的结论，设一位大学生射击测试过关所得分数为随机变量 ， 的可能取值为 ，分别求出每一个随
机变量的概率，由此可求得12个人通过射击过关所得分数的平均分.
【详解】（1）每位大学生射击过关的概率为：
.
（2） ， ，令
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 或 ，因为 ，所以 .令 ，令
，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.所以当 时，
，此时 ，解得 .所以当 取最大时p和m的值分别为 ，
.
（3）设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量X，则 的可能取值为 ，则 ，
， ，所以每位大学生测试过关所得分数的
平均分为： .所以这12人通过射击过关测试所得分数的平均分为：
.
60．汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素，我国近几年着重强调可持续发展，加大在新
能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业快速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况
进行调查，得到下面的统计表：
201
年份 2017 2018 2020 2021
9
年份代码 1 2 3 4 5
销量 万辆 10 12 17 20 26
(1)统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该地区新能
源汽车的销量最早在哪一年能突破100万辆；
(2)为了了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了
该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有 名，购置新能源汽车
的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.
①若 ，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方
程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为 ，若将样品中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随
机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为 ，求 取何值时， 最大.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】附：若 为样本点， 为回归直线，则
.
【答案】(1) ，2040年；
(2)①15.5万人；②
【分析】（1）定义法求线性回归方程，列不等式预测；
（2）①先求出购置新能源汽车人数的性别占比，即可结合回归方程得到预测值；
②先求出 ，由二项分布概率公式求得 ，结合导数法求 最值即可.
【详解】（1） ，
，
，
，令 ，
最早在 年能突破100万辆；
（2）①当 时，女性车主中有 名购置新能源汽车， 购置新能源汽车人中女性
占： .
而该地区2023年购置新能源汽车人数为： 万人，女性车主人数大约有 万人；
② ，
令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ， ， 单调递增； ， ， 单调递减；
在 时取最大值，即 时， 最大.
考点11 统计概率结合数列
61．甲､乙两个不透明的袋子中都有大小､形状､质地相同的 个红球和 个黑球.从两个袋中各任取一个球交
换，重复进行 次操作后，记甲袋中黑球个数为 ，甲袋中恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑
球的概率为 .
(1)求 的分布列；
(2)求 的通项公式；
(3)求 的数学期望 .
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意分析 的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；
（2）由全概率公式得到 ，判断出数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列
即可求解；
（3）利用全概率公式求出 求出 ，进而求出 .
【详解】（1）由题意可知， 的可能取值为 ，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由全概率公式可知：
，
所以 ，即 ，
可得 ，
又因为 ，可得 ，
则数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
（3）由全概率公式得：
，
所以 ，
又因为 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 .
62．甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任
取一个球交换放入另一个盒子中，重复 次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为 ，甲盒中
恰有2个黑球的概率为 ，恰有3个黑球的概率为 .
(1)求 ；
(2)设 ，证明： ；
(3)求 的数学期望 的值.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）交换后甲盒有 黑球，说明两个盒子相互交换 个白球或者交换 个黑球，若交换后甲盒有
黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球；
（2）根据全概率公式进行求解；
（3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可.
【详解】（1）由题可知： ，
（2） 次操作后，甲盒有一个黑球的概率 ，由全概率公式知：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即
（3） ，
又 ，
即
63．王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行．从即日起出行方式选择规则自
定如下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得
到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．设 表
示事件“第 天王先生选择骑自行车出行”的概率．
(1)用 表示 ；
(2)请问王先生骑自行车的概率和开车的概率哪个更大？并说明理由．
【答案】(1)
(2)王先生选择骑自行车出行的次数多于选择开车出行的次数是大概率事件，理由见解析
【分析】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为 ，则 ，计算 和
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，结合全概率公式即可求解；
（2）通过构造数列得到 ，再与 比较即可.
【详解】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为 ，则 ，
，则 .
用 表示事件“第 天王先生选择的是骑自行车出行”，
表示事件“第 天王先生选择的是骑自行车出行”，
由全概率公式知：
所以
（2）由（1）知， ， ，
因为 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 ，于是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 恒成立，
所以王先生每天选择骑自行车出行的概率始终大于选择开车出行的概率，
从长期来看，王先生选择骑自行车出行的次数多于选择开车出行的次数是大概率事件．
64．有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2
个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三
个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记 为从第 个箱子中取出黄球的
概率.
(1)求 ；
(2)求 .
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）分第一次取出黄球和绿球两种情况，再由互斥事件概率加法公式计算可得答案；
（2）由题意可得 ，可得答案.
【详解】（1）从第二个箱子取出黄球的概率 ，
从第三个箱子取出黄球的概率 ；
（2）由题意可知， ，
即 ，又 ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】65．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两
个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试
过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为
，并且规定若第 题正确选项为两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；第
题正确选项为三个，则第 题正确选项为三个的概率为 .
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证： .
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设事件 表示正确选项为 个，事件 表示正确选项为 个， 表示第 题正确选项为
个的概率， 表示第 题正确选项为 个的概率.由全概率公式可求出 ，继而 可求，再由
全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；
（2）根据（1）中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论
化简可得 ，可知 为等比数列,求通项可得
；
（3）根据（2）求出的 可得 ，在利用全概率公式即可求得 的分布列，计算出
,则结论可证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）设事件 表示正确选项为 个，事件 表示正确选项为 个，
表示第 题正确选项为 个的概率， 表示第 题正确选项为 个的概率.
设事件 表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量 表示第二题得分.
依题得， 可能取值为 .
因为 ， ，
所以
所以 的分布列为:
所以 .
（2）依题得， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
所以 ， .
（3）由（2）可知， ， .
依题得， 可能取值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
所以 .
【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，
然后用数列手段去处理求解.
66．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强
了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长
464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的
来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
(1)一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进
行了研究．请完成下列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏
好地铁有关？（精确到0.001）
单位：人
国际大都
出行方式 中小型城市 合计
市
偏好地铁 20 100
偏好其他 60
合计 60
(2)国际友人David来杭游玩，每日的行程分成 段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式
不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是
从地铁开始，记第 段行程上David坐地铁的概率为 ，易知 ，
①试证明 为等比数列；
②设第 次David选择共享单车的概率为 ，比较 与 的大小．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】附： ， ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格见解析，有关系
(2)①证明见解析；② ．
【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出 ，再对照临界值表即可得出结论；
（2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论；
②先求出 的表达式，进而可求出 ，即可得解.
【详解】（1）列联表如下：
国际大都
出行方式 中小型城市 合计
市
首选地铁 80 20 100
首选其他 60 40 100
合计 140 60 200
零假设为 ：城市规模与出行偏好地铁无关，
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；
（2）①证明：第 段行程上David坐地铁的概率为 ，
则当 时，第 段行程上David坐地铁的概率为 ，不坐地铁的概率为 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列；
②由①可知 ，
则 ，又 ，故 ．
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