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单元提升卷 08 数列
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．数列 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据递推关系式可证得数列 是以 为周期的周期数列，由 可求得结果.
【详解】由 ， ， 知： ；
由 得： ， ，即 ，
，即数列 是以 为周期的周期数列， .
故选：B.
2．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．17 B．34 C．48 D．51
【答案】D
【分析】设公差为 ，则由已知条件可得 ，然后求解 ，再代入 中化简可得答案.
【详解】设公差为 ，则 ， ，
， ，
则 .
故选：D.
3．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A．210 B．110 C．50 D．55
【答案】A
【分析】写出 时， ，与已知式相减得数列 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为
2，再由 求得 ，然后再利用等差数列的求和公式即可求得本题答案.
【详解】因为 ，所以当 时， ，两式相减得 ，
由 ，可得 ，进而 ，
所以数列 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，
又 ，而 ，所以 ，
故选：A
4．已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件求出 的通项公式，再运用裂项相消法求和.
【详解】设等差数列 的公差为d，因为 ，所以 …①，
又 ，即 ， ，代入①，解得 ， ，
则 ，
所以
；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2故选：A.
5．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”
等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利 ，但由于竞争激烈，
每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过（
）年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？
（参考数据： ， ， ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】首先根据条件找到关于果园资金 的递推公式，再根据递推公式求通项公式，再根据 ，
结合对数不等式，即可求解.
【详解】设经过 年之后，该果园的资金为 万元，
由题意知 ， ，
又 ， ，
可知 ， 数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，
，
即 ，
令 ，可得 ， ，
，
.
故选：D.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36．已如公比不为1的等比数列 中，存在 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等比数列的通项公式可得 ，从而可知 ，所求式子即可变形为
，结合基本不等式即可求出最小值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，且 ，
由 ，
因为 ，所以 ， ，则 ，得到 ，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为 ，
故选：B.
7．已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 与 的关系求出数列 的通项公式，推导出数列 为等比数列，确定其首项和公比，
结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为 ，所以 ， ，
，
又 是等比数列，所以 ，即 ，解得 ，所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4当 时， ，又 满足 ，
所以， ，故数列 是公比为 ，首项为 的等比数列，
所以 ．
故选：A.
8．已知 ， ， ， ．设 ， 为数列 的前 项和，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在等式 两边同时除以 得 ，推导出 ， ，结合放
缩法可判断B选项；利用 的值可判断AD选项；利用 的值可判断C选项.
【详解】由 以及 ， 可知， ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
在等式 两边同除 得 ，即 ，则 ，
因为 ，则 ，
所以当 时， ， ，所以 ，B对，
因为 以及 ， ，则 ，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5，所以， ， ， ，
所以， 不满足AD选项， ，
不满足C选项，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知等差数列 的公差为d，前 项和为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．当 或2时， 取得最小值
【答案】ABD
【分析】对于A：根据题意列式求解可得 ，即可得结果；对于B：根据等差数列的通项公式分析判断；
对于C：根据通项公式运算求解；对于D：先根据等差数列的求和公式求出 ，再结合二次函数的对称性
分析判断.
【详解】由题意可得 ，解得 ，故A正确；
所以 ，故B正确；
所以 ，故C错误；
所以 ．
因为 ，所以当 或 时， 取得最小值，故D正确．
故选：ABD．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 610．已知数列 为等比数列， 为数列 的前n项和，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为等比数列
C． 为等比数列 D． 不为等比数列
【答案】BCD
【分析】根据等比数列的定义，验证各选项中的数列是否正确.
【详解】设等比数列 的公比为q，
当 时， ， 不是等比数列，故A错误；
因为 ，故 是公比为 的等比数列，故B正确；
，故 是公比为 的等比数列，故C正确；
若 为等比数列，则有 ，即 ，化简得 ，不合题意，所以
不为等比数列，故D正确.
故选：BCD
11．提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中
学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列 ：
，表示的是太阳系第 颗行星与太阳的平均距离（以天文单位 为单位）.
现将数列 的各项乘以10后再减4，得到数列 ，可以发现数列 从第3项起，每项是前一项的2
倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的通项公式为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7B．数列 的第20项为
C．数列 的前10项和为157.3
D．数列 的前 项和
【答案】CD
【分析】由题意先求出 ，即可判断选项A；由 和 的关系，求出 ，求出 ，即可判断选项B；由
的通项公式，由分组求和结合等差数列和等比数列的求和公式求解，从而判断选项C，利用错位相减法
求出 ，即可判断选项D．
【详解】数列 各项乘以10后再减4得到数列 ，
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以 ，故A错误；
从而 ，所以 ，故B错误；
数列 的前10项和为
，C正确；
因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
，
所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8，
所以 ，又当 时， 也满足上式，
所以 ，故D正确.
故选：CD.
12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 表示斐波那契数列的第 项，则数列 满
足： ， ，记 是数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用递推公式逐项计算可得 的值，可判断A；推导出 ，分别令 取偶数，奇数
和正整数，结合累加法求解，可判断BCD．
【详解】 ， ， ， ， ，故A正确；
对任意的 ， ，则 ，
当 取偶数时，得 ，
相加得
则 ，又 ，
则 ，故B正确；
对任意的 ， ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9当 取奇数时，得 ，
相加得
则 ，故C错误；
对任意的 ， ，则 ，
，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等比数列 满足 ， ，数列 满足 ， 时， ，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【分析】由题意列方程组可求得 ，继而可得 时， ，利用累加法以及等比
数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】根据题意得 ，解得 ，故 ，
故 时， ，
故
，
显然n=1时也满足上式.
故答案为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1014．已知公差不为零的等差数列 满足 ， 、 、 成等比数列， 为数列 的前 项和，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据条件可求出 ， ，从而得出 ，然后即可求出 的最小值．
【详解】设等差数列 的公差为 ， ， ， ， 成等比数列，
，解得 ， ，
，
或15时， 取最小值 ．
故答案为： ．
15．首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，现有下列4个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 中 最大；
④若 ，则使 的 的最大值为11．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】①由题意可以推出 ，不能推出 ，判断①错误；②由题意可得 ，判断出②正
确；③由题意可得 ，判断出③正确；④由题意可得 ，进而 ，判断出④正
确．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11【详解】若 ，则 ，不能推出 ，即不能推出 ，故①错误；
若 ，则 ，即 ，则 ，故②正确；
若 ，则 ，
所以 ，则 中 最大，故③正确；
若 ，则 ，
即 ，
因为首项为正数，则公差小于0，则 ，
则 ， ，
则使 的 的最大值为11，故④正确．
故答案为：②③④．
16．设数列 的前n项和为 ，若存在实数A，使得对于任意的 ，都有 ，则称数列 为
“T数列”．则以下 为“T数列”的是 ．
①数列 是等差数列，且 ，公差 ；
②数列 是等比数列，且公比q满足 ；
③ ；
④若 ， ．
【答案】②③
【分析】对于①②③④中的数列，分别求前 项和 ，判断是否存在实数 ，使得对任意的 ，都有
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12，即可判断该数列是否为“ 数列”，即可得正确答案.
【详解】对于①： 是等差数列，且 ，公差 ，由等差数列的前 项和公式可得：
，当 无限大时， 也无限大，所以数列 不是 “ 数列”，故
①不正确；
对于②：若 是等比数列，且公比 满足 ；所以
，满足“ 数列”的定义，故②正确；
对于③： ，
所以
，
则数列 是“ 数列”，故③正确；
对于④：在数列 中， ， ，
当 是奇数时， ，数列 中的奇数项构成常数列，且各项都是 ，
当 是偶数时， ，即任意两个连续偶数和为 ，
当 时， ，所以 不是“ 数列”，
综上所述为“ 数列”的是：②③，
故答案为：②③
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在等差数列 中，前n项和为Sn， ， .
(1)求d的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项之间的关系即可求公差d的值；
（2）利用等差数列的求和公式直接计算即可.
【详解】（1） 为等差数列，公差为
因为 ，
所以 .
解得
（2）
18．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ， 是公差为 的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，可求出 ，则可出公差 ，从而可求出 的通项公式；
（2）由（1）得 ，然后利用裂项相消求和法可求得结果.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14【详解】（1）因为 是公差为 的等差数列，所以 .
又因为 ，所以 .
设 的公差为d，则 .
故 .
（2）因为 ，
所以 .
19．已知数列 为正项等差数列，数列 为递增的正项等比数列， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前2n项的和.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，然后根据已知条件列方程组可求出
，从而可求出数列 ， 的通项公式；
（2）由（1）得 ，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
因为 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15所以得 ，解得 或 ，
因为数列 为正项数列， 为正项递增数列，
所以解得 ， ，
所以 ，
（2）由（1）得 ，
所以数列 的前2项和为
.
20．已知正项数列 满足 ，且 ， .
(1)已知 ，求 的通项公式；
(2)求数列 的前2023项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 可得 ，从而得到 ，进而得
到 是以 为首项，公比为 的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）由 可得 ，从而有 ，得到数列 偶
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16数项具有周期性，最后根据 分组求和即可.
【详解】（1） ， ，
， ，
即 ， ，即 ，
是以 为首项，公比为 的等比数列，
.
（2） ，
又 ，
， ，
，即 ，
，即数列 偶数项具有周期性，
，
所以 ·
21．已知数列 满足以下三个条件，从中任选一个.
条件①： 为数列 的前 项和， ，且 ；
条件②：数列 是首项为1的等比数列，且 成等差数列；数列 的各项均为正数， 为其
前 项和，且 ，数列 满足 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17条件③：数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）若选条件①，则由 ，得 ，两式相减化简可得数列 的奇数
项、偶数项分别是以1，2为首项，2为公差的等差数列，从而可求出 ，进而可求出 ，若选条件②，则
由已知条件列方程可求出公比 ，则可求出 ，再由 ，得 ，两式
相减化简可得 为等差数列，从而可求出 ，进而可求出 ，若选条件③，则可得
，令 ，再利用累加法可得 ，再利用累加法得 ，进而可
求出 ，
（2）由（1）得 ，利用错位相减法可求出 ，然后通过判断 的单调性可证得结论.
【详解】（1）若选条件①：因为 ，所以 ，
两式相减，得 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以数列 的奇数项、偶数项分别是以1，2为首项，2为公差的等差数列.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18当 时， ；当 时， .
综上所述， .所以 .
若选条件②：设数列 的公比为 ，
因为 是首项为1的等比数列，且满足 成等差数列，
所以 ，且 ，即 ，解得 ，所以 .
因为数列 的各项均为正数， 为其前 项和，且满足 ，
所以当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ，
两式相减得 ，即 .
因为 ，故 ，所以 .
所以数列 为等差数列，故 .
所以 .
若选条件③：由 ，得 .
令 ，则 .
当 时， ，
又 满足上式，所以 ，即 .
所以当 时， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19又 满足上式，所以 ，所以 .
（2）证明：由（1）知 ，
则 ①，
所以 ②.
①-②可得：
.
所以 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 是递增数列.
所以 ，故 .
22．设 是等差数列，其前 项和为 （ ）， 为等比数列，公比大于1．已知 ， ，
， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和；
(3)设 ，求证： ．
【答案】(1) ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，依题意得到方程组，求出 、
，即可得解；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法计算可得；
（3）由（1）可得 ，即可得到 ，利用放缩法及等边数列求和公式
计算可得.
【详解】（1）依题意设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ， ，
又 ， ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ， .
（2）由（1）可得 ，
设 的前 项和为 ，
所以
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21（3）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22
