文档内容
北师大版（2024）八年级数学上册第五章《二元一次方程组》回顾与思考教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 回顾与思考 课时 1
课标 帮助学生构建知识网络，深化思想方法、提示核心素养，具体表现在：1知识层面：了解二元
要求 一次方程（组）的概念，掌握代入消元法和加减消元法，能解简单的二元一次方程组，能根据
具体问题，列二元一次方程组解决简单的问题；2过程与方法：体验一元到多元的数学建模，
体会消元（化归）的思想是解多元方程的基本思想，在解决实际问题的过程中，学会分析问题
中的等量关系提示数学建模思想，通过比较不同的解法的优劣，培养学生的优化意识；3、核
心素养：从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的数学模型，在解方程组的过程中实现等价
变形和逻辑推理，确保解题过程的严谨性。
二元一次方程组》是北师大版教科书八年级（上）第五章内容．
本节内容为本章的回顾与反思，安排1个课时完成．本章学习二元一次方程组及其解法，
并利用二元一次方程组解决一些现实问题，体会方程（组）是刻画现实世界中等量关系的有效
教材 模型．本章所涉及数学思想方法主要包括：一是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符
分析 号化、模型化的思想；二是解方程组的过程中蕴涵的消元、化归思想，它在解方程组中具有指
导作用．本课要学生利用问题展开交流，引导学生进一步提炼，构建知识体系，在此基础上，
学生通过尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识
更深刻，对解决问题的策略把握的更灵活。
学生已经学习了二元一次方程（组）及其相关概念，掌握了用代入消元法、加减消元法来
解二元一次方程组以及三元一次方程组，具备了用二元一次方程组解决实际问题基本技能．在
学情 前面的学习过程中，学生从用方程（组）模型解决了一些实际问题的过程中，感受到方程
分析 （组）模型的重要性，获得用方程（组）解决实际问题必须得一些数学活动经验的基础，同时
在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习和回顾与思考的过程，具有一定的复习回顾
旧知的经验．
1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
核心 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；
素养 3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成。
目标
教学 1．二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、 图象法。
重点
2．列二元一次方程组解决实际生活问题。
3．二元一次方程和一次函数的关系。
教学 1．列二元一次方程组解决实际生活问题。
难点
2．几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识 展示课前布置 构建知识网络，
结构 的思维导入， 归纳了这一章的知
说明制作本图 识结构
的亮点二、知识 1、二元一次方程：含有二个未知数，并且所含未知数 学生在反思和 采用填空的形式引
梳理 的项数的次数都是一次的 一个方程 ． 交流的基础上 导学生对本章知识
2、二元一次方程的一个解：适合二元一次方程的一组 构建合理的知 点梳理，构建本章
未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解． 识体系 知识体系
3、二元一次方程的解集：由这个二元一次方程的公共
解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集．
4、二元一次方程组：一般的，由二个一 次方程组
成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程
组．
5三元一次方程组：一般的，由三个一 次方程组成，
并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组．
6、二元一次方程组的解：适合二元一次方程组里各个
方程的 一 对未知数的值叫做这个方程组里各个方程
的公共解，也叫做这个方程组的解．
7、解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的
过程叫做解方程组．
8、解一元二次方程组的基本方法是代入消元和 加减
消元。
9、 列二元一次方程组解应用题的步骤是．审题----设
未知数---列方程-----解方程-----检验---作答。
三、典例 例1 求方程2x+y=7的正整数解． 小组交流合作 通过典型例题探究
精析 解；2x+y=7的正整数解有： 完成5个例题 加深学生对主要思
的学习 想方法的理解，掌
x=1 x=2 x=3
y=5 y=3 y=1 握常用解题方法．
例2 如图，求直线 和直线 提高学生运用数学
的能力，促进良好
的交点坐标．
的学习方法和习惯
两直线的交点坐标是：
的养成。
x=2
y=3
例3 如果关于x，y的方程组
的解满足3x+y=5，求k的值．
解：两式相加得3x+y=15-k
把3x+y=5整体代入得15-k=5
求出k=10
例4：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相
连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回
工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运
价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千
米），且这两次运输共支出公路运输费 15000元，铁路运输费97200元．求该工厂从A地购买了多少吨原
料？制成运往B地的产品多少吨？
解：设该工厂从A地购买了x吨原料,制成运往B地的
产品y吨.得
10×1.5x+20×1.5y=15000
120×1.2x+110×1.2y=97200
整理得 x+2y=1000
12x+11y=8100
解得：
x=400
y=300
答;该工厂从A地购买了400吨原料,制成运往B地的产
品300吨
例5:为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明
文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已
知加密规则为：明文 a，b，c，对应密文，a+2b，
2b+c，a+c．当接收方收到密文14，9，7时，求解密
得到的明文是多少？
解；有题意得：
a+2b=14 ①
2b+c=9 ②
①-②得：a-c=5
a + c = 7 ③
④
③+④得：a=6,
把a=6代入①得b=4， 代入③得c=1
所以解密得到的明文是a=6,b=4,c=1
四、课堂 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
作业 1．下列方程中，哪个是二元一次方程？（ D ） 练习 堂练习的完成过程
中对要点知识加深
A． B． C． D．
巩固，有效应用。
2.已知 是方程mx+3y=6的一个解，则m的值为
(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知关于x，y的二元一次方程组 的
解为 ．则a-3b的值是( B )
A．-2 B．2 C．3 D．-34．某校学生去西湖坐船游览．若每船坐 7人，则有3
人不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少坐5
人，设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列
方程组( C )
A． B．
C． D．
5．已知 与 是同类项，则 的值为 A)
A．2 B．-2 C．1 D．-1
6.如果实数x，y满足方程组 ，那么
1
7．解下列方程组：
（1） （2）
解：（1） ，
把②代入①得， ，解得 ，
把 代入②得， ，
原方程组的解为 ；
（2） ，
① ②得， ，解得 ，
把 代入①得， ，解得 ，
原方程组的解为 ．
能力提升：
8．如图，直线y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，
点C(0,-3)在Y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点 P 是直线 AB 上一点，若△BCP 的面积为
18，求点P的坐标；
（3）过点B作直线BE交x轴于点E(E点在点右侧），当∠ABE=45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
解：（1）∵y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，
当x=0时，则y=6；
当y=-3x+6=0时，解得x=2，
∴ A(2,0), B(0,6)
（2）设点P(a,-3a+6)，如图1，连接PC，
则 ，解得a=±4，
故点P(4,-6)或(-4,18)；
（3）当∠ABE=45°，如图，过点A作AD⊥AB交BE于
点D，过点D作DH⊥X轴于点H，
∵∠ABE=45°
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB=AD,∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，∠DAH+∠ADH=90°
∴∠BAO=∠ADH
在△AOB与△DAH中，△AOB≌△DAH（AAS）
∵OA=2,OB=6
∴OH=OA+AH=2+6=8 ,DH=2
∴D(8,2),B(0,6)
设直BE的表达式为y=kx+b，
则， 解得，
故直线BE的表达式为 ．
拓展迁移
9.某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为
4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利润为
3500元，求每台A型电脑和每台B型电脑的销售利
润．
解：设每台A型电脑的销售利润为x元，每台B型电
脑的销售利润y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电
脑的销售利润150元．
10.某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不
超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过
的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元
收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么
该用户5月份应交水费多少元？
解：设该用户5月份用水x吨，
则1.2×6+（x-6)×2=1.4x
7.2+2x-1.2=1.4x
0.6x+4.8
x=8
∴1.4×8=11.2（元）
答：该用户5月份应交水费11.2元．
五、提升 1．本节课哪些已遗忘的知识得到巩固？ 引导学生进行 引导学生从知识内
2．哪些知识有了新的认识？ 课堂小结 容、研究方法以及
3．本章主要蕴涵了哪些数学思想方法? 运用过程三个方面
总结自己的收获，
4．你还有哪些疑问?
让学生全面把握本节课的重点和难
点，并启发学生用
类比或迁移的方法
学习后续课程。
板书设计 二元一次方程组 利用简洁的文字、
1、二元一次方程及二元一次方的解 ． 符号、图表等呈现
2、二元一次方程组及二元一次方程组的解 本节课的新知，可
3、三元一次方程组及三元一次方程组的解 以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
4、解一元二次方程组的基本方法是代入消元和 加减消元。
的知识体系。
5、 列二元一次方程组解应用题的步骤是．审题----设未知数---列方
程-----解方程-----检验---作答。
作业设计 基础达标：
（课外练 1.下列属于二元一次方程组的是 A
习）
A． B． C． D．
2．如果两个一次函数 与 的图象交于X轴上一点，则 B
A． B． C． D．
3．观察方程组 的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取 B
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．以上说法都不对
4．在下列各组数中，是方程组 的解的是 D
A． B． C． D．
5．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是( B )
A．y＜0 B．y＜1 C．-2＜y＜0 D.
6．如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于一点，则二元一次方程组 的解是:
．
第 5 题第6题
7.解方程组
解，
①-②得：2x=4
把x=2代入①得y=7
∴方程组的解是
8.用图象法解方程
.解，如图，在同一坐标系中画出y=-x+4，y=2x+1的图象，
交点坐标为(1，3)，所以方程组的解为 x=1
y=3
能力提升：
9.如图，正方形ABOD的边长为2，OB在在x轴轴上上，，OD在y轴上，
且AD//OB，AB//OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴
于点F.
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）过点 C作 CE⊥DF且交 x轴于点 E，求证：
∠ADC=∠EDC；
（3）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值.
解，(1)∵四边形ABOD为正方形，
∴AB=BO=OD=AD=2，∴D(0，2)，
∵C为AB的中点，∴BC=1，∴C(-2，1)，
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，解得：
∴直线CD的函数关系式为 ；
(2)∵C是AB的中点，∴AC=BC，
∵四边形ABOD是正方形，∴∠A=∠CBF=90º，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF(ASA)
∴CF=CD，∴CE⊥DF，∴CE垂直平分DF，∴DE=FE，∴∠EDC=∠EFC，.
∵AD//BF，
∴∠EFC=∠ADC，.∴∠ADC=∠EDC；(3)如图，连接BD交直线CE于点P，
由(2)可知点D与点F关于直线CE对称，
∴PD=PF，∴PB+PF=PB+PD≥BD，
∵B(-2，0)，D(0，2)，∴BD= ，
∴PB+PF的最小值为 .
拓展迁移：
10.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元，按定价的八五折销售该商品8件与降
低35元销售该商品12件所获利润相等.该商品进价、定价是多少？
解:设该商品定价为x元/件，则进价为(x-45)元，
由题意可得，8[85%x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，
解这个方程得，x=200，
∴进价为，200-45=155，
答，这种商品的进价为155元，定价为200元.
11.威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售
出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商
品共34件.如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购
进多少件A种商品？
解，(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元.由题
意，得
解得：
答，每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元.
(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.由题意，得
200a+100(34-a)≥4000，
解得；a≥6
答，威丽商场至少需购进6件A种商品.
教学反思
