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考点巩固卷 03 函数的概念及其表示（十一大考
点）
考点01：函数的判断
1．下列关系不是函数关系的是________（填序号）．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
【答案】②③
【分析】利用函数的定义即可判断.
【详解】对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；
而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．
故答案为：②③
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学科网（北京）股份有限公司2．（多选）设集合 ，则下列图象能表示集合 到集合
的函数关系的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义，明确图象中的函数关系以及定义域和值域，逐一判别，可得答
案.
【详解】对于A选项，其定义域是 ，不是 ，故A错误；
对于B选项，其定义域是 ，值域 ，故B正确；
对于C选项，其与函数定义相矛盾，故C错误；
对于D选项，其定义域是 ，显然值域包含于集合 ，故D正确；
故选：BD.
3．已知 ，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函
数关系的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据函数的定义求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对A：可得定义域为 ，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对B：可得定义域为 ，值域为 ，
且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系；
对C：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对D：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
故选：B.
4．已知 是定义在有限实数集A上的函数，且 ，若函数 的图象绕原点逆时
针旋转 后与原图象重合，则 的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】问题相当于圆上由 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点
会重合，根据定义就是要求一个 只能对应一个 可得答案.
【详解】由题意得到，问题相当于圆上由 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位
后与下一个点会重合，
我们可以通过代入和赋值的方法，
当 时，此时得到的圆心角为 ，然而此时 或者 时，都有
个 与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个 只能对应一个 ，
因此只有当 时旋转 ，此时满足一个 只会对应一个 .
故选.：C.
考点02：相同函数的判断
5．下列各函数中，与函数 表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据函数的定义域以及解析式结合选项逐一判断.
【详解】 ，故 的定义域为 ,
对于A， 的定义域为 ，且解析式与 相同，故为同一个函数，
对于B, ，故不是同一个函数，
对于C, 的定义域为 ，而 对定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数，
对于D, 的定义域为 ，而 对定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数，
故选:A
6．（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【答案】ABD
【分析】从定义域和对应法则两方面来判断是否是同一函数.
【详解】对于A， 的定义域是 ， 的定义域是R，定义域不同，故
不是同一函数，A错；
对于B， 与 的对应关系不同，故不是同一函数，B错；
对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；
对于D， 的定义域是 ， 的定义域是 ，定义域不同，故不
是同一函数，D错.
故选：ABD
7．写出一个与函数 的定义域与值域均相同的不同函数______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用函数的定义域和值域的定义即可求解.
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ,值域为 ，
由函数 的定义域为 ,值域为 ,
所以 与函数 的定义域与值域均相同.
故答案为： （答案不唯一）.
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学科网（北京）股份有限公司8．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据同一函数的概念，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，由函数 和函数 的对应法则不同，所以不是同
一函数；
对于C中，函数 与 的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数 和 的定义域与对应法
则都相同，所以是同一函数.
故选：D.
考点03：已知解析式求定义域
9．下列函数中，定义域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据具体函数的定义域逐项分析即可.
【详解】选项A： 的定义域为 ，故不正确；
选项B： 的定义域为 ，故不正确；
选项C： 的定义域为 ，故正确；
选项D： 的定义域为 ，故不正确；
故选：C.
10．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可.
【详解】由题意知， 且 ，
故函数 的定义域为 .
故选：B.
11．函数 的定义域是______.
【答案】
【分析】满足被开方数大于等于0的自变量的范围构成的集合即为定义域.
【详解】要使函数有意义，需满足 即
得
当 时，解得 ；当 时，解得 .
综上，函数 的定义域为 .
故答案为：
12．（ 2023·上海徐汇·统考三模）函数 的定义域为__________.
【答案】
【分析】利用对数函数的定义列出不等式，求解不等式作答.
【详解】函数 中， ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
13．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合 与集合 ，再根据交集的定义即可求解.
【详解】令 ，即 ，解得 ，所以 .
令 ，解得 ，所以 .
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
14．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 且 ，
故 的定义域为 .
故选：D.
考点04：求抽象函数的定义域
15．已知函数 的定义域为 ， 则函数 的定义域为_____
【答案】
【分析】令 进行换元，根据已知函数的定义求u的范围即可.
【详解】令 ，由 得： ，
所以 ，即 ，
所以，函数 的定义域为 .
故答案为：
16．已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 的定义域求出 的定义域，从而可求解.
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以 ，所以 ,即 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，即 的定义域是 .
故选:C.
17．已知函数 定义域为 ，则函数 的定义域为______.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据抽象函数定义域先求解函数 ，再解对数式不等式，可得函数
的定义域.
【详解】因为函数 定义域为 ，由 得
定义域为
则函数 的定义域满足 ，解得
定义域为 .
故答案为： .
18．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是__________.
【答案】
【分析】根据抽象函数定义的求法，得到 ，即可求得函数 的定义域.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，即 且 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
19．已知函数 的定义域为A，函数 的定义域为B，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，而 的定义域满足 且 ，得到集合B，
验证各选项即可.
【详解】因为 ，则集合 ，
而 的定义域满足 且 ，即 且 ，
且 ，即 且 ，那么 ，
故选：D.
考点05：已知函数定义域求参数
20．已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由 ，可知 ，解不等式即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，可知 ，
解得 ，
故答案为： .
21．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可得 且 ，结合其定义域为 ，即可确定 的取
值范围，即得答案.
【详解】由 可知 且 ，又 的定义域为 ，
故 ，否则 ，则 ，不合题意，
故选：A.
22．已知函数 的定义域为 ,求实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】要使函数 的定义域为 ，偶次方根被开方数需大于等于零
恒成立，分类讨论即可得出 的取值范围.
【详解】由题意函数 的定义域为 ，
则当 时，函数 ，其定义域为 ；
当 时，需满足 对一切实数 都成立，
即 ， ，
综上可知： .
故选：D.
23．若函数 的定义域为 ，则 的值为_________．
【答案】
【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意 的解是 ，
所以 ，解得 ， ，所以 ．
故答案为： ．
24．函数 的定义域为 ，则实数 的值为______．
【答案】
【分析】函数定义域满足 ，根据解集结合根与系数的关系解得答案.
【详解】 的定义域满足： ，解集为 ，
故 且 ，解得 .
故答案为：
25．已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据函数的定义域可得 ， ， ，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】解：∵ 的解集为 ，
∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，
∴ ，
又因函数的值域为 ，
∴ ，∴ .
故选：A.
考点06：待定系数法求解析式
26．已知定义在 上的函数 对任意实数 ， ，恒有 ，并且函数
在 上单调递减，请写出一个符合条件的函数解析式___________．（需注明定义
域）
【答案】 （不唯一）
【分析】根据题意找出一个满足题意的函数解析式即可
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意例如
且在 上单调递减
故答案为： （不唯一）
27．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为_________
【答案】 或
【分析】设出一次函数解析式，化简 ，结合函数相等可得答案.
【详解】设 ，则
于是有 解得 或 所以 或
.
故答案为： 或 .
28．如果一次函数 的图象过点（1，0）及点（0，1），则 ＝________.
【答案】
【分析】首先设出一次函数的解析式，再代入点求解.
【详解】设一次函数的解析式为 ，因为其图象过点（1，0），（0，1），
所以
解得： ，所以 ，
所以 .
故答案为：
29．一次函数 满足： ，则 ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据 是一次函数可设 ，再根据 求出k、
b即可求出f(x)的解析式，代入x＝1即可求得答案．
【详解】设 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ，∴ ，∴ ．
故选：C．
30．已知二次函数 满足 ，且 的最大值是8，则此二次函
数的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为 ，代入条件求解即可.
【详解】根据题意,由 得: 的对称轴为 ，
设二次函数为 ，
因 的最大值是8,所以 ,当 时, ，
即二次函数 ，
由 得: ,解得： ，
则二次函数 ，
故选：A.
考点07：换元法求解析式
31．已知 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】设 ， ，则 ，
， ，
所以函数 的解析式为 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
32．已知 ，则 的值等于__．
【答案】320
【分析】由题意 可得 ，进而求得
即可
【详解】∵ ，
∴ ，则
∴
故答案为：320．
33．（多选）已知 ，则（ ）
A．函数 为增函数 B．函数 的图象关于y轴对称
C． D．
【答案】BCD
【分析】确定函数定义域为 ，计算 ，再根据函数的单调性和
奇偶性定义判断A错误，B正确，代入数据计算得到CD正确，得到答案.
【详解】当 时， ， 时等号成立，
当 时， ， 时等号成立，
， ， ，A错误.
，故 为偶函数，B正确. ，
C正确.
，则 ，D正确.
故选：BCD
34．已知函数 ，且 ，则 （ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入 即可求解.
【详解】 ,
.
,解得 ．
故选：A.
35．设 是定义域为R的单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】换元，利用函数的单调性及函数值即可求出函数解析式，然后求函数值.
【详解】令 ，则 ，
因为 是定义域为R的单调函数，
所以t为常数，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故 .
故选：B
考点08：方程组法求解析式
36．若函数 满足方程 且 ，则：
（1） ___________；（2） ___________．
【答案】
【分析】令 可得 ；用 替换 ，再解方程组可得答案.
【详解】令 可得： ，所以 ；
由 ①得， ②，
联立①②可得： .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：① ；② .
37．已知函数 满足 ，则函数 的解析式为______.
【答案】
【分析】将已知函数方程中的 换成 得到另一个函数方程，然后两个方程联立消去
可得 .
【详解】 中将 换成 ，
①
得 ，
②
由 联立消去 得 ，
①②
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：本题考查了函数解析式的求解，主要有：待定系数法、换元法、配凑
法、方程组法等等．
38．（多选）已知偶函数 和奇函数 的定义域均为 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． 的最小值为2 D． 是减函数
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性构造方程求出函数解析式，据此判断AB，再由均值不等式及
单调性判断CD.
【详解】由 ，
得 ，两式相加得 ，
则 ，
所以 ， ，A错误，B正确．
因为 ，所以 （当且仅当 时，等号
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学科网（北京）股份有限公司成立），
因为 均是 上的增函数， 是 上的增函数，C正确，D错误．
故选：BC
39．已知定义域为R的函数 满足 ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
同除以2得 ，
两式相加可得 ，即 .
故答案为： .
【点睛】求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等
式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
考点09：求函数值域
40．求下列函数的最值与值域：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)无最值，值域
(2)最小值 ，无最大值，值域
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学科网（北京）股份有限公司(3)最大值为 ，无最小值，值域
(4)无最值，值域
(5)无最值，值域
(6)最小值 ，无最大值，值域
【分析】（1）求得定义域，变换为 即可得出值域；
（2）求得定义域，方法一：换元法，设 ，即可求得值域；方法二：
根的判别式法，将函数转化为关于 的方程，即可得出值域；
（3）求得定义域，设 ，将函数转化为关于 的二次函数，即可得出值域；
（4）求得定义域，设 ，将函数转化为 ，根据基本不
等式即可求得值域；
（5）求得定义域，根据基本不等式及奇函数的性质，即可求得值域；
（6）求得定义域，将函数转化为点 到点 和 距离和的范围，即可得出值域．
【详解】（1）定义域： ，
，
因为 ，
所以 ，
故值域为 ．
（2）分母 ，所以定义域为 ，
方法一：设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，
故值域为 ；
方法二： ，整理得 ，
当 时，方程为 ，不成立，
当 时， ，即 ，解得 ，
所以 ．
（3）因为 ，所以 ，解得 ，
故定义域为 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以值域为 ．
（4）由 ，得 ，所以定义域为 ，
设 ，
则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，即 ，
综上所述，值域为 ．
（5）定义域为 ，
令 ，由 ，所以 为奇函数，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
所以当 时， ，
故值域为 ．
（6）因为 ，
所以 表示点 到点 和 距离和的范围，
所以 ，
故值域为 ．
41．下列函数中，值域是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据函数解析式可直接判断 的值域，判断A;利用函数的单调性可
判断B;利用不等式性质可判断C;根据函数解析式 可判断函数值域，判断D.
【详解】对于A， ，由于 ，故 ，A正确；
对于B, ,
令 ，则 ，当 时， 递增，
故 的最小值为 ，即 值域为 ，B错误；
对于C, 需满足 ，即 ， ，
故 ，当 时取等号，C正确；
对于D， ，即函数值域为 ，D错误，
故选：AC.
42．下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】A
【分析】逐项判断各项的值域，即可得解
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，则该函数的值域为
，故正确；
对于B，因为 ，所以 ，则该函数的值域为 ，故错误；
对于C， ，
所以当 时， ，当 时， ，则该函数的值域为
，故错误；
对于D， ，所以该函数的值域不为 ，故D错误，
故选：A
43．已知函数 则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求得函数 的定义域，换元后利用配方法求函数的值域．
【详解】 ，
由 ，解得 .
.
令 ，
函数 .
当 时， ；
当 时， ，
函数 的值域为 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法与配方法求函数的值
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学科网（北京）股份有限公司域，是中档题．
44．函数 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】令 ，则 ，可得最大值.
【详解】令 ，则 ，
得 ，
则当 时，取得最大值 .
故选：C
45．已知 ，则 的值域为______.
【答案】
【分析】先求出 ，再结合二次函数的性质即可得出值域.
【详解】解：令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故 的解析式为 ，其值域为 .
故答案为： .
考点10：分段函数求自变量或函数值
46．（多选）函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 定义域为 B． 的值域是
C．方程 的解为 D．方程 的解为
【答案】AC
【分析】根据 的解析式可判断函数的定义域以及值域，判断A,B;讨论x为有理数或无
理数，从而确定方程 和 的解，判断C,D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由于函数 ， 定义域为 ，A对；
函数 的值域为 ，故B错；
当x为有理数时， ，故方程 即方程 ，则 ，
当x为无理数时， ，故方程 即方程 ，则 ，矛盾，
故方程 的解为 ，∴C对；
当x为有理数时， ，故方程 即 ，即 ，
则x为有理数，
当x为无理数时， ，故方程 即方程 ，即 ，
则x为有理数，矛盾，
故 的解为全体有理数，∴D错.
故选：AC.
47．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．e C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数，结合函数的定义域和性质，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，
所以 .
故选：D
48．已知函数 若 ，则实数 （ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由题知 ，再根据 时， 得 ，再解方程即可得答
案.
【详解】解：由题知 ，
所以 ，
因为 时， ，所以， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 .
故选：B
49．已知函数f（x）＝ 若f（a）＝4，则实数a的值是________；若
，则实数a的取值范围是________．
【答案】 －2或5
【分析】由分段函数函数值求解参数及分类讨论解不等式即可；
【详解】若f（a）＝4，则 或 解得 或 .
若 ，则 或 解得 或 ，
∴a的取值范围是 ．
故答案为：－2或5；
50．已知函数 是偶函数， ，则
_______．
【答案】
【分析】根据 是偶函数，解出 值，再根据分段函数解析式算出 结果.
【详解】解：已知函数 是偶函数，
所以 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
经检验， 满足题意，
因为 ，则 ，
则 ， ，
故答案为： .
考点11：分段函数及图象的应用
51．已知函数 ， .若 有 个零点，则实数 的最
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学科网（北京）股份有限公司小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 与函数 的图象，数形结合即可求解.
【详解】令 可得 ，
当 时， ，
当 时， 的图象与 关于 轴对称，
所以作出函数 与函数 的图象如下图所示：
由上图可知，当 时，函数 与函数 的图象有2个交点，
此时，函数 有2个零点.
因此，实数 的取值范围是 .即实数 的最小值为1.
故选：D
52．已知函数 若 的图象上至少有两对点关于 轴对称，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得当 时， 关于 轴对称的图象所对应的函数解析式为 ，
将问题转化为 与 至少有2个交点，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】解：当 时， ，则其关于 轴对称的图象所对应的函数解析式为
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学科网（北京）股份有限公司.
由题意知当 时， 与 的图象至少有两个公共点，
即方程 在区间 , 内至少有两个实根.
令 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出 与 的图象，如图：
由图可知，若直线 与曲线 至少有两个公共点，则 .
故实数 的取值范围是 .
故选：C.
53．若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论 或 三种情况，然后根据函数判断
【详解】①当 时， 则 只有一个零点0，不符合题意；
②当 时，作出函数 的大致图象，如图1， 在 和 上各有一个零
点，符合题意；
③当 时，作出函数 的大致图象，如图2， 在 上没有零点．
则 在 上有两个零点，此时必须满足 ，解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司综上，得 或 ．
故选：A
54．已知 ，函数 ，若方程 恰有2个实数解，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，分析各区间上的函数性质并画出函数图象，数形结合求参
数范围.
【详解】由 在R上有零点 ，且定义域上递增；
在R上有零点 、 ，开口向上，对称轴为 ；
的函数图象如下：
要使方程 恰有2个实数解，由图知： 或 .
故选：B
55．已知函数 的表达式为 ，若 且 ，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据分段函数图像结合已知得出 、 的范围，在根据 ，得出 、
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学科网（北京）股份有限公司的关系，即得出 ，再根据二次函数在区间上的值域得出答案.
【详解】作出函数 的图像如下：
若 且 ，
则当 ，得 ，
则 ， ，
且 ，即 ，
则 ，
令 ， ，
则 且 ，
即 ，
故答案为： .
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