文档内容
考点巩固卷 11 解三角形（九大考点）
考点01 解三角形
1．（ 2023·重庆·高二统考学业考试）在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】根据余弦定理求得 ，再根据正弦定理即可求解.
【详解】由题意可得 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得 ，即 ，
又 ，可得 ，
利用正弦定理可知 ,
所以 .
故选：A.
2．在 中， 分别是角 所对的边.若 ， 的面积为 ，则 的值为______
【答案】
【分析】先根据三角形的面积公式求出边 ，再利用余弦定理即可得解.
【详解】由 ， 的面积为 ，
得 ，所以 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
3．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出 ，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】在 中， ， ， ，由余弦定理得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2
学科网（北京）股份有限公司即 ，整理得 ，
所以 .
故选：B
4．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 ______．
【答案】 /
【分析】根据同角三角函数的平方关系由 得出 ，再由 得出 ，最后根据正弦定理
即可求出 ．
【详解】因为 ，
所以 ，
则 ，
由正弦定理可得 ，则 ，
故答案为： ．
5．在 中，已知 ， ， ，则角 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理计算得 的值，然后根据边 ，从而得角 的范围，结合特殊角三角函数值可
得答案.
【详解】由题知 ， ， ，
在 中，由正弦定理可得： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 .
故选：C．
6．在 中，内角 所对的边分别为 .若 ，则 ______.
【答案】 /
【分析】利用大边对大角结合正弦定理可求得 ，再利用同角三角函数基本关系直接求解即可.
【详解】在 中，由正弦定理 可得 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 为锐角，所以 .
故答案为：
考点02 判断三角形解的个数
7．根据下列条件，判断 有没有解？若有解，判断解的个数.
(1) ， ， ；
(2) ， ， ；
(3) ， ， ；
(4) ， ， ；
(5) ， ， .
【答案】(1)一解
(2)一解
(3)一解
(4)两解
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4
学科网（北京）股份有限公司(5)无解
【分析】根据三角形中的边和角，结合三角形中大边对大角的关系以及利用正弦定理求出角的正弦值，即
可判断三角形解的情况.
【详解】（1）因为 ， ， ，
则由正弦定理可得 ，
又 ，则 ，即B只能是锐角，
则 只有一解，故 有一解；
（2）因为 ， ， ，
则由正弦定理可得 ，
又 ，则 ，即B只能是锐角，
则 只有一解，故 有一解；
（3）因为 ， ， ，
则由正弦定理可得 ，
由于 ，故 ，故 有一解；
（4）因为 ， ， ，
则由正弦定理可得 ，
因为 ，故 ，而 ，则 或 ，
故 有两解；
（5） ， ， ，
则由正弦定理可得 ，
故 无解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5
学科网（北京）股份有限公司8．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ， ， ，若满足条件的三角形有
两个，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件根据正弦定理用 表示出 ，然后由 和正弦函数的性质求出 的范围，
从而可求出x的取值范围
【详解】在 中， ， ， ，
由正弦定理得 ，得 ，
解得 ，
因为满足条件的三角形有两个，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
即x的取值范围为 ，
故选：B
9．已知 分别为 三个内角 的对边，若 ，则满足此条件的三角形个数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】B
【分析】根据条件，利用正弦定理求出 ， ，从而得出结果.
【详解】因为 ，由正弦定理 ，得到 ，所以 ，
又因为 ，故 ， .
故选：B.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6
学科网（北京）股份有限公司10． 中， ，时，则下列叙述错误的是（ ）
A． 的外接圆的直径为4
B．若 ，则满足条件的 有且只有1个
C．若满足条件的 有且只有 个，则
D．若满足条件的 有两个，则
【答案】C
【分析】利用正弦定理逐项判断.
【详解】A. 因为 ，所以 的外接圆的直径为4，故正确；
B. 因为 ，所以 ，则 ，所以满足条件的 有且只有1个，故
正确；
C. 因为 ，当 时，AB=AC=2， 为等腰三角形，当 时，AC=4，
为直角三角形，此时满足条件的 有且只有 个，故错误；
D.若满足条件的 有两个，则 ，即 ，故正确；
故选：C
11．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A． ， ， ； B． ， ， ；
C． ， ， ； D． ， ， .
【答案】AD
【分析】由正弦定理解三角形后可得结论.
【详解】对于A，由正弦定理得： ，
， ，即 ， ，则三角形有唯一解，A正确；
对于B，由正弦定理得： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7
学科网（北京）股份有限公司， ，即 ， 或 ，则三角形有两解，B错误；
对于C，由正弦定理得： ， 无解，C错误；
对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.
故选：AD
考点03 三角形面积及其应用
12．在 中， ．
(1)如果 ，且 ，求 的值；
(2)如果锐角 的面积为 ，求 的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，求得 ，再由正弦定理得到 ，结合 ，即
可求得 的大小；
（2）利用 的面积公式求得 ，得到 ，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，且 ，
可得 ，解得 ，
又因为 ，由正弦定理得 ，可得 ，
又由 ，可得 ，所以 为锐角，所以 .
（2）解：因为 ，
所以 的面积为 ，解得 ，
又因为 为锐角三角形，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理得 .
13． ABC中， ， ， ABC的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的面积求出 ，利用余弦定理求出 ，然后求出 的值．
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，由余弦定理可知： ，
所以 ， ，
所以 ．
故选： ．
14．在 中， .
(1)求A；
(2)若点D在BC边上， ， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求出A；
（2）判断出D在BC中点， 结合向量 ，利用向量的模长公式得到一个关于边长的方程，
再结合余弦定理的方程，即可求出 ，从而求出面积.
【详解】（1） 由正弦定理得：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9
学科网（北京）股份有限公司， ，
结合余弦定理得： ，
且在三角形中， ， .
（2）
,所以 ,D是BC的中点，
，
即 ， ，
且 ,
两式相减得： ,
所以， .
15．在 中， ，则 边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求 ，再得 ，利用 的面积公式即可求 边上的高.
【详解】在 中，因为 ，
由余弦定理得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以
设 边上的高为 ，则 ，
所以 ，即 边上的高等于 .
故选：B.
16．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， 的面积为 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，再根据 可得 ，然后利用余弦定理 ，
可得 ，即可解出 ．
【详解】因为 ,因为 的面积为 ， ，
所以 ，即有 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
17．在 中， ， ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ；
(2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) ;
(2) .
【分析】（1）根据余弦定理列方程即可求解；
（2）根据正弦定理求出 ，由同角三角函数的基本关系求出 ，在 中求出 ，根据
及三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得 ,
化简可得 ,解得 或 （舍）.
（2）因为 ，所以 ,
在 中，由正弦定理可得 ,即 ,解得 .
易知 为锐角，所以 , ，
因为 ，所以在 中， .
根据三角形面积公式可得 ,
,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12
学科网（北京）股份有限公司所以 .
考点04 判断三角形的形状
18．在 中，角 对边为 ，且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】先根据二倍角公式化简 ，根据余弦定理化简得到 即可得到答案.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理： ，
代入得， ，即 ，
所以 .
所以 直角三角形.
故选：B
19．（多选） 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则如下命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 为锐角三角形，则
D．若 是直角三角形，则
【答案】ACD
【分析】由大角对大边及正弦定理判断A，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断B，利用诱导公
式及不等式的性质判断C，利用反证法证明D.
【详解】对于A：若 ，则 ，结合正弦定理得 ，故A正确；
对于B：若 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，故 或 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13
学科网（北京）股份有限公司即 或 ，故三角形 是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：若三角形 为锐角三角形，则 ，故 ，
同理可得 ， ，
三式相加得 ，故C正确；
对于D：若 是直角三角形，不妨设 为直角，则 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，则 ，
同理可证 或 为直角时 也成立，故D正确．
故选：ACD．
20．（多选） 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 是钝角三角形
C．若 ，则符合条件的 有两个
D．若 ，则 为等腰三角形
【答案】AB
【分析】利用正弦定理､余弦定理对各个选项逐一分析，由此确定正确选项即可.
【详解】 选项，在三角形中大角对大边，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 选项正确；
选项，由正弦定理得 ，
所以 ，又 ，则C为钝角，所以B选项正确；
选项，由正弦定理可得 ，
又 ，则 ，故此三角形有唯一解， 错误；
D选项，因为 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
又 ，且 ，所以 或 ，
即 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，故 错误.
故选：
21．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，且 ，则 一定
是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理边角互化，化简可得角的关系，进而判断三角形形状即可.
【详解】由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，又 ，
所以 ，所以 为直角三角形．
故选：C.
22．若 ，且 ，那么 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可
推理作答.
【详解】由 ，得 ，
化简得 ，
所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15
学科网（北京）股份有限公司所以由正余弦定理角化边得 ，化简得 ，
所以 ，
所以 为等边三角形，
故选：B
23．（多选）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 为钝角三角形
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 的三条高分别为 ， ， ，则 为钝角三角形
D．若 ，则 为直角三角形
【答案】ACD
【分析】对于A，由 ，从而得到
，进而得到 ，即可判断；对于B，由
可得 或 ，从而可判断；对于C，设 的面积为 ，根据面积公式可
得 ，从而可得 ，即可判断；对于D，利
用正弦定理边化角可得 ，再结合基本不等式可得 ，即可判断.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 只有一个小于 0 ，
所以 是钝角三角形，选项A正确；
对于B，若 ，则 或 ，
所以 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，选项B错误；
对于C，设 的面积为 ，由面积公式知
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16
学科网（北京）股份有限公司，解得 ，
所以 为最大角，
所以
所以 为钝角， 为钝角三角形，选项C正确；
对于D，由 ，得 ，
而 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 为直角三角形，选项D正确.
故选：ACD.
考点05 求外接圆半径
24．如图，圆 的内接四边形 的顶点 关于 的对称点恰为 的内心 ， .则圆 的半
径为_______.
【答案】
【分析】先设 ，然后得出 ，再由 是 的内心，从而可得出 ，由 与
关于 对称，得 ，求出 ，再利用正弦定理求解即可.
【详解】连接 ，设 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17
学科网（北京）股份有限公司因为 是 的内心，所以 分别平分 ，
所以 ， ，
所以 ，
又因为 与 关于 对称，所以 ，
又因为四边形 是圆内接四边形，所以 ，
即 ，解得 ，即 ，
显然圆 是 的外接圆，
所以由正弦定理，得 ，即 .
故答案为： .
25．在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ，若 ，则 外接圆
的半径长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理结合题意可得出 ，再由正弦定理即可求出 外接圆的半径长.
【详解】由 可得 ，
再由余弦定理可得： ，
故 ，因为 ，所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18
学科网（北京）股份有限公司则 .
故选：B.
26．锐角 的外接圆圆心为О，半径为2， ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】现根据正弦定理求得 ，进而结合外心的性质求解即可.
【详解】由正弦定理得， ，
设 中点为 ，连接 ， ， ，
因为点 为锐角 的外接圆圆心，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
27．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的外接圆面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理及正弦定理求得结果.
【详解】已知 ，
由余弦定理可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19
学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，即 .
则 的外接圆面积 .
故选：A.
28．在锐角 中， ， ，若 在 上的投影长等于 的外接圆半径 ，则
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】由题知 ， ，进而得 ，即 ，再结合正弦定理求
解即可.
【详解】∵ 是锐角三角形， 在 上的投影长等于 的外接圆半径 ，
，
又 ， ， ，
，
两式相加得： ，即 ，
，即 ，
又 ， ， .
故选：B.
29．（多选）在 中，角 的对边分别为 ， 为 的外心，则（ ）
A．若 有两个解，则
B． 的取值范围为
C． 的最大值为9
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20
学科网（北京）股份有限公司D．若 为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】对于A，由正弦定理求解即可；对于B，由正弦定理及向量的数量积公式求解即可；对于C，法
一：用投影向量求解；法二：转化到圆心 求解；对于D，由正弦定理知A点在以
为圆心半径为 的优弧上运动，再求解即可.
【详解】对于A，由正弦定理 ，得 ，
有两解的情形为 ，且 ，则 ，故A正确；
对于B，由正弦定理 ，得外接圆半径 ，
由正弦定理知A点在以 为圆心半径为 的优弧上运动， ，
于是 ，故B正确；
对于C，法一：用投影向量求解：当 在 上的投影向量的模最大，且与 同向时，取得 的最
大值，此时 ，
设 为 的中点，则 ，
在 上的投影向量的模为 ， 最大值为 ，故
C错误；
法二：转化到圆心： ，故C错误；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21
学科网（北京）股份有限公司对于D，如下图，由正弦定理知A点在以 为圆心半径为 的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优
弧所对圆心角为 ，
所以A点的轨迹长度为 ，故D正确．
故选：ABD.
考点06 边角互化
30． 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 ，
；则 的面积为_________.
【答案】
【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得 ，利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意， ， ，
由正弦定理得： ，
整理得 ，所以 ，
所以 为锐角且 ，
同时 ，解得 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为：
31． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件结合正余弦定理可得 ，再利用三角函数恒等变换公式可得结果.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 ．即 ．
故选：C
32．在锐角三角形 分别为内角 所对的边长， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得 ，然后同角三角函数的关系和
正余弦定理化简 可得结果.
【详解】因为 ，
所以由余弦定理可得 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23
学科网（北京）股份有限公司所以
故选：B
33．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .
(1)若 ， ，求边c的长；
(2)若 ，求角B的大小．
【答案】(1)5
(2) ．
【分析】（1）利用余弦定理角化边，然后带入已知可得；
（2）利用正弦定理边化角，然后结合已知和诱导公式求解可得.
【详解】（1）由 及余弦定理 ，
得 ，∴ ．
代入 ， ，得 ，解得 ．
（2）由 及正弦定理，得 ，
∵ ，∴ ，
即 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，所以 ．
34．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24
学科网（北京）股份有限公司(1)求角C的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求边长c．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）由 ，利用正弦定理得到 ，再利
用三角恒等变换求解；
（2）由 的面积为 ，得到 ，再结合 ，求得a，b，然后利用余弦定理求
解.
【详解】（1）解：由正弦定理得： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，则 ．
（2）∵ 的面积为 ，则 ，
∴根据题意得 ，则 或 ，
若 ，则 为等边三角形， ；
若 ，则 ，即
∴ 或 ．
35．在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，且 ，求a的值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可得结果；
（2）根据三角形面积公式求出 ，再根据余弦定理可求出结果.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，
得 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）知， ，又 ，所以 ，
因为 的面积为 ，所以 ，得 ，
由余弦定理得 ，
所以 .
考点07 正余弦定理在几何中的应用
36．在四边形ABCD中， ，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为
已知，解决下列问题．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
条件①： ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26
学科网（北京）股份有限公司条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选①， ；选②，
(2)选①， ；选②，
【分析】（1）选①，利用余弦定理得到 ；选②，利用互补得到 ，结合余弦
定理列出方程，求出答案；
（2）选①，在（1）的基础上，得到 ⊥ ，结合三角形面积公式求出 和 的面积，相加
即可；选②，在（1）的基础上求出 和 ，利用三角形面积公式求出 和
的面积，相加得到答案.
【详解】（1）选①，由余弦定理得 ，
解得 ，
选②，在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
（2）选①， ， ，
故 ，
在 中， ，所以 ⊥ ，故 ，
所以四边形ABCD的面积为 ；
选②， ，故 ，故 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
故 ，
，
故四边形ABCD的面积为 .
37．如图所示，在 中，已知 ， ，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且 为等
边三角形．若 ，则 的面积为______．
【答案】
【分析】设 ， 的边长为a，易得 ，利用平角与三角形内角和可证明
，再用正弦定理即可求得 ，从而得出 面积.
【详解】设 ， 的边长为a，
则 ．
因为 ，
所以在 中，可得 ，
根据正弦定理， ，即 ，解得 ，
所以 的面积为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
【点睛】方法点睛：引入变量时，要注意运用方程思想，几个未知数就需要列几个方程.
38．如图，在平面四边形 中， ， ，
.
(1)求 的大小；
(2)求边 的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理，结合三角函数的特殊值对应的特殊角注意角的范围
即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 .
因为 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ,即 ,
所以 或 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
所以 ,
在 中， ,
由余弦定理得 ,即
,
所以 .
39．如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，CD=4，AB=2，则
AC=___________.
【答案】
【分析】在 中，由正弦定理可得 ,在 中，由正弦定理可
，因为 ，可求出 ，再由余弦定理可求出 的值.
【详解】在 中，由正弦定理可得： ，
所以 ①，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30
学科网（北京）股份有限公司在 中，由正弦定理可得： ，
所以 ②，
又因为 ，所以由①②可得： ，
解得： ，
所以在 中，由余弦定理得：
，
解得： .
故答案为: .
40．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫
生部门欲将一块如图所示的圆 的内接四边形区域 ，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封
闭的隔离区．其中 ， ， ，（单位：米），则 __；四边形 的面
积为 __（平方米）．
【答案】 / ．
【分析】空1：连接 ，由题意可得 ，利用诱导公式，余弦定理可得
，解得 的值，进而可求 和 ；空2：再根据三角形的面积公式
即可求解四边形 的面积．
【详解】空1：如图，连接 ，由题意可得 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，即 ，解得：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31
学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，且 ，所以 .
所以 ，
空2：所以四边形 的面积
（平方米）．
故答案为： ； ．
41．已知四边形 是由 与 拼接而成，如图所示， ， .
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）求出 的范围，利用正弦定理即可证明结论；
（2）写出 与 的关系，进而求出 的正弦值和余弦值，求出 的长，利用余弦定理即可求
出 的长.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意证明如下，
在 中， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
在 中，由正弦定理得， ，
即 ， ，
∴ ，
∴ .
（2）由题意及（1）得
设 ， ，
， ， ， ， ，
则在 中，由正弦定理得， ，即 ，
可得 ，①
在 中，由正弦定理得， ，
可得 ，
可得 ，②
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33
学科网（北京）股份有限公司联立①②，可得 ，
可得 ，可得 ， .
在 中，由正弦定理得， ，可得 .
在 中，由余弦定理得， ，
可得 ，
可得 ，解得 或 （舍），
∴ 的长为 .
考点08 正余弦定理的实际应用
42．海面上有相距 的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成 的视角，从B岛望C岛和A岛成
的视角，则B，C间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
【详解】由题意得， ，则 ，
所以 ，所以 ，
即B，C间的距离为 .
故选：D.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34
学科网（北京）股份有限公司43．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即
前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 ，相距10海里C处的乙船．
(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
(2)设乙船沿直线 方向前往B处救援，其方向与 成 角，求 的值
域．
【答案】(1) （海里）；
(2) 的值域为 ．
【分析】（1）连接 ，直接由余弦定理，代入数据可求得答案；
（2）先根据正弦定理求得 ，再求出 ，再利用和角公式和辅助角公式化简，最后结合正弦函数的
性质求得值域.
【详解】（1）如图，连接 ，由余弦定理得 .
所以 ，即所求距离为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，所以 .
因为 是锐角，所以 .
所以 ，
其中 ，
所以 的值域为 .
44．位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知
PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像
底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得 米， 米， ，在点A处测得
点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）（参考数据：取 ， ，
）
A．56米 B．69米 C．71米 D．73米
【答案】C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36
学科网（北京）股份有限公司【分析】由余弦定理可得 ，再由 ， 可求得 ，从而可
得结论.
【详解】由余弦定理可得
．
依题意得 ，则 ，
所以 ，
则 ，
故佛像全身高度约为71米．
故选：C.
45．洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东
周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的
大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧
分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底 在同一平面内的两个测量
基点 与 ，现测得 ，在 点测得九龙鼎顶端 的仰角为 ，在 点测得九龙
鼎顶端 的仰角为 ，则九龙鼎的高度 （ ）（参考数据：取 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ， ，在 中，由余弦定理求解即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37
学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ，由题意可得 ，
由题意知： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
得： ，得： .
故选：B.
46．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落
霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向
找到一座建筑物AB，高为12 ，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，滕王阁顶
部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为
__________ .（精确到 ）.
【答案】57
【分析】解直角 ，求得 ，继而解 ，由正弦定理求出 ，最后解直角 ，即得答
案.
【详解】在 中， ，
（ ）
在 中， ，
，
故 ，即 ，
所以 （米），
故答案为：57
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38
学科网（北京）股份有限公司47．如图，测量河对岸的塔高 ，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个基点 和 进行测量，现测
得 米， ，在点 和 测得塔顶 的仰角分别为 ，则塔高 ______米．
【答案】
【分析】设 米，进而可得BC， BD，然后利用余弦定理求解.
【详解】设 米，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
所以 ，
解得 （米）.
故答案为：28.
考点09 最值问题
48．在锐角 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由给定的等式，结合余弦定理求出角 作答.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39
学科网（北京）股份有限公司（2）根据（1）的结论，结合正弦定理边化角，再利用三角变换及三角函数的性质求解作答．
【详解】（1）在 中，由 ，得 ，
由余弦定理得 ，又 ，解得 ，
所以 .
（2）在锐角 中，由（1）知， ，则 ，解得 ，
由正弦定理得， ，即 ， ，
因此
，而 ，有 ，于是 ，
所以 的取值范围是 ．
49．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，其中， ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；
方法二：利用余弦定理化角为边，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）方法一：由 ，
根据正弦定理边化角得： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ；
方法二：由 ，
根据余弦定理：得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，得 ；
（2）由（1）及余弦定理知 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
50．已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，点O为 外接圆的圆心，若
，求当角C取得最大值时 的面积.
【答案】
【分析】设 的中点为 ，连接 ，则 ，根据数量积的运算律求出 ，再利用余弦定理及基
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41
学科网（北京）股份有限公司本不等式求出 的最小值，即可求出 ，从而求出面积最大值.
【详解】设 的中点为 ，因为点O为 外接圆的圆心，
所以 ，连接 ，则 ，
所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
由 ，知角C为锐角，故
，当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 取得最小值，角 取得最大值，
则 ，
此时 .
【点睛】方法点睛：函数与方程的思想在本章中的体现
（1）利用平面向量基本定理建立向量间的关系；
（2）利用向量相等建立系数或坐标之间的相等关系；
（3）利用正、余弦定理建立边角之间的相等关系；
利用以上相等关系构成方程或函数，在求值、求范围、求最值等问题中得以应用.
51．已知 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角A的大小；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 面积的最大值以及周长的最大值.
【答案】(1)
(2) 面积的最大值为 ，周长的最大值为
【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理即可求得答案；
（2）由题意利用余弦定理结合基本不等式可得 ，利用三角形面积公式可得面积的最大值；再用余
弦定理结合基本不等式求得 ，即可求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）依题意 得， ，
由正弦定理，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由 得， ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
又 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的周长为 ，
故 周长的最大值为 .
52．在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ,且 ．
(1)求角 的⼤小；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对已知条件的边换成角，结合三角公式求出 ，根据 的范围得出角的度数；
（2）根据正弦定理，将边 用角来表示，转化成三角函数的值域问题的求解.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
又 ， ，
则 ，
化简得 ，
又 ，所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ；
（2）由正弦定理得： ，
∴ ， ，
∴ ，
；
为锐角三角形，
∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即△ABC的取值范围为 .
53．设锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则 周长的取值
范围为____
【答案】
【分析】由锐角三角形求得 ，由正弦定理可得 ，求出 ， 关于 的
函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】∵ 为锐角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
由 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45
学科网（北京）股份有限公司即 ，
∴ ，
令 ，则 ，
又∵函数 在 上单调递增，
∴函数值域为 .
故答案为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46
学科网（北京）股份有限公司
