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考点巩固卷 12 平面向量（十二大考点）
考点01 平面向量的基本概念
1．下列说法错误的是（ ）
A．向量 与 的长度相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点相同
C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0
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学科网（北京）股份有限公司2．给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若 与 不相等，则向量 与 是不共线向量；③平
行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．已知非零向量 与 且 // ，则 与 的方向相同或相反
D．对任一非零向量 是一个单位向量
4．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
B．λ、μ为非零实数，若 ，则 与 共线
C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有
5．（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．已知非零向量 ， ， ，若 ， ，则
B．若 ，则 为平行四边形
C．若 且 ，则
D．若点G为 的重心，则
考点02 平面向量的线性运算
6．如图，向量 ， ， ，则向量 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．在正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
8．（ 福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题）如图所示， ，
，M为AB的中点，则 为（ ）
A． B．
C． D．
9．在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且 ，设
，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
10．（多选）如图， 是正六边形 的中心，则（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
11．在 中，E为AC上一点， ，P为线段BE上任一点，若 ，则 的最
小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
考点03 向量共线与三点共线
12．设 ， 是两个不共线的向量，关于向量 ， 有① ， ；② ， ；
③ ； ，④ ； ．其中 ， 共线的有________．（填序号）
13．如图，在 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，设 .
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学科网（北京）股份有限公司(1)用向量 与 表示向量 ；
(2)若 ，求证： 三点共线.
14．设 是不共线的两个向量， .若 三点共线，则k的值为
__________.
15．在 中， ，且 ，则 ________．
16．已知 ， 是平面上的非零向量，则“存在实数 ，使得 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知 是不共线的向量，且 ，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
考点04 平面向量共线定理的推论
18．如图所示，在 中， ，P是 上的一点，若 ，则实数m的值为
（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
19．如图，在 ABC中，点P在边BC上，且 ，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的
△
两点M，N，若 ， ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
20．已知长方形 中， ， 是线段 的中点， 是线段 上靠近 的三等分点，线段
， 交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
21．在 中，点O满足 ，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
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学科网（北京）股份有限公司22．已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
23．在 中，点 是边 所在直线上的一点，且 ，点 在直线 上，若向量
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．9
考点05 平面向量基本定理
24．（多选）已知M为 ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
△
A． B．
C． D．
25．如图，在 的方格中，已知向量 的起点和终点均在格点，且满足 ，那么
______.
26．在 中 ，点 为 与 的交点， ，则
（ ）
A．0 B． C． D．
27．如果 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
28．如图，在梯形ABCD中， ，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设 ，
．
(1)用 ， 表示 ；
(2)用 ， 表示 ．
29．如图，在 中，点 ， 分别在边 和边 上， ， 分别为 和 的三等分点，点 靠
近点 ，点 靠近点 ， 交 于点 ，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点06 平面向量的坐标运算
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学科网（北京）股份有限公司30．已知向量 ， 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
31．若 ， ，C为AB的中点，D为AB上更靠近A的三等分点，则C的坐标为______，D
的坐标为______．
32．在平面直角坐标系xOy中， ， ， ．
(1)若 ，求实数x，y的值；
(2)若 ，求实数m的值．
33．已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和 与 的坐标
及点C的坐标．
34．已知 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， 且 ， ， 三点共线，求 的值．
35．在矩形 中， ， ，E为CD的中点，若 ， ，则
________．
考点07 求数量积
36．在平面直角坐标系 中，设向量 ，
(1)当 时，求 ， 的值；
(2)若 且 ，求 的值.
37．已知 ， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)设 ，求 的单调递增区间.
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学科网（北京）股份有限公司38．已知 ， ，且 与 夹角为 求：
(1)
(2)
39．如图，设 、 是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向
量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标.若在该坐标系 中，
， ，则 ______.
40．已知四边形 是矩形， ， ，则 （ ）
A． B．-7 C． D．-25
41．如图所示，正方形 的边长为2， 为 的中点， 为 的中点，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
考点08 垂直关系的判断及应用
42．已知平面向量 ， ，向量 与 的夹角为 ．
(1)求 与 ；
(2)求证： ．
43．已知平面向量 ， ， ， ， ，则 的值是______.
44．已知向量 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的值．
45．已知向量 .
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求实数 应满足的条件；
(2)若 为直角三角形，求实数 的值.
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学科网（北京）股份有限公司46．已知 ， ， 与 的夹角是 ，求：
(1)
(2)当 为何值时，
47．已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点09 向量的模
48．已知向量 与 满足 ， ， 与 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)当 为何值时， ？
49．已知三个不共线的平面向量 ， ， 两两所成的角相等， ， ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司______.
50．如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足 ，AD的中
点为E， ，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为___________.
51．如图，在平面四边形 中， ， ， ，则 的最
小值为__________．
52．（ 2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量 满足 ,且 ，则
=_________________ ．
53．已知两点 ， ，且 在线段AB上，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
考点10 求两个向量的夹角
54．已知 为坐标原点，点 ，则 __________.
55．向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司56．设两个向量 ， 满足 ， ．
(1)若 ，求 ， 的夹角 ；
(2)若 ， 的夹角为60°，向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
57．已知向量 ， ．
(1)若 ，求实数k的值；
(2)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
58．若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
59．已知单位向量 与 互相垂直，且 ，记 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点11 求投影向量
60．已知 的外接圆的圆心为 ，且 ， ，则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）
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61．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量的模为______．
62．已知向量 ，且满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
63．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
64．（多选）若过 作 的垂线，垂足为 ，则称向量 在 上的投影向量为 ．如图，已知四边
形 均为正方形，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上的投影向量为
B． 在 上的投影向量为
C． 在 上的投影向量为
D． 在 上的投影向量为
65．已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为______.
考点12 最值、范围问题
66．已知 是单位向量，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
67．已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足 ，则
的取值范围是______.
68．（多选）如图放置的边长为1的正方形 的顶点 分别在 轴、 轴正半轴上（含原点）上滑
动，则 的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
69．在 中， ， 为 边上的动点，则 的最小值为_________．
70．如图，已知 是以 为直径的上半圆上的动点（包含端点 ， ）， 是 的中点， ，则
的最大值是______．
71．在 中，若 ， ，则 面积的最大值为______．
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