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考点巩固卷 15 等比数列（八大考点）
考点01 基本量的计算
1．在等比数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．
2．已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若首项为正数的等比数列 的前6项和为126，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．15 D．40
5．在等比数列 中， ，则公比 为__________.
6．记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为________．
7．记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 _______．
考点02 等比中项及等比数列项的性质
8．“ ”是“ 成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．在等比数列 中， ，且 ，则 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 （ ）
A．3 B．64 C．256 D．±64
11．（多选）已知等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若数列 为等比数列，则 _______．
13．已知数列 是递增的等比数列， ，若 的前 项和为 ，则
，则正整数 等于______．
14．在正项等比数列 中， ，则数列 的前10项和为______.
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学科网（北京）股份有限公司考点03 等比数列的判定与证明
15．已知数列 满足 ， .
(1)记 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
16．已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前项和 .
17．已知数列 满足 ，且 ．
(1)设数列 满足 ，证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式．
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学科网（北京）股份有限公司18．已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
19．已知数列 中， ， 且 ，其前 项和为 ，且当 时， ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
20．已知数列 的前 项和为 ，且 N
(1)求证:数列 是等比数列;
(2)数列 ，求数列 的前 项和.
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学科网（北京）股份有限公司21．已知数列 中， ， .
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
考点04 等比数列前 项和的性质
22．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
24．（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
25．已知等比数列 的公比 ，且 ，则 ___________.
26．已知等比数列 的前 项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则
的值为______．
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学科网（北京）股份有限公司27．已知数列 的通项公式 ，求由其奇数项所组成的数列的前 项和 ．
28．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
考点05 等比数列中的单调，最值问题
22．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
24．（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
25．已知等比数列 的公比 ，且 ，则 ___________.
26．已知等比数列 的前 项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则
的值为______．
27．已知数列 的通项公式 ，求由其奇数项所组成的数列的前 项和 ．
28．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
考点06 等比数列的简单应用
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学科网（北京）股份有限公司35．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段 等分为线段 ，
如图2.以 为底向外作等边三角形 ，并去掉线段 ，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2
的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段 的长度为1，则图3中曲线的
长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
36．用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…以此类推，每
一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了多少块砖？
37．某家庭为准备孩子上大学的学费，每年1月1日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的
方式：
（1）如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a（1＋n×6．5％）计算本利（n为年数）；
（2）如果按每年转存计，即每存入a元，按 计算本利（n为年数）．
问：用哪种存款的方式存款在第六年的1月2日到期的全部本利较高？
38．从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出
1kg盐水，然后加入1kg清水．问：
(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？
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学科网（北京）股份有限公司39．某实验室要在小白鼠身上做连续活体实验.因实验需要，每天晩上做实验消耗其脂肪10克，其脂肪每
天增长率为 （从前一次实验后到后一次实验前）.设 为第 天 晩上实验后该小白鼠
的脂肪含量.第一天晩上实验前测量其脂肪含量为90克，则 .
(1)计算 的值；
(2)写出 的通项公式，并证明你的结论；
(3)为保证实验的有效性，实验前小白鼠的体内脂肪含量应不少于60克.那么该小白鼠某晩是否会因脂肪含
量不够而无法进行有效实验吗？若会，是在第几天晩上？若不会，请说明理由.
考点07 等差、等比数列的综合应用
40．已知等比数列 的公比大于1，且 ，等差数列 满足 ， ， ，
则 （ ）
A．2026 B．4050 C．4052 D．4054
41．已知等差数列 的首项为1，且 ， ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式，
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
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学科网（北京）股份有限公司42．已知等差数列 的前四项和为10，且 成等比数列
(1)求通项公式
(2)设 ，求数列 的前 项和
43．已知等比数列 的公比 是 的等差中项．等差数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 与数列 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
44．记等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， .
(1)若 ，求 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 .
45．已知 是各项均为正数的等差数列， 、 、 成等差数列，又 ， ， ， ……
证明： 为等比数列．
46．若 成等差数列； 成等比数列，则 等于______.
考点08 有关数列的数学文化
47．在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美
好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的
中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为
3，则第4个图形的周长为______.
48．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是边长为1的等边三角形，
将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图
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学科网（北京）股份有限公司2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分
形”……依此进行“n次分形”，其中n为正整数.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的
长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是（取 ）（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
49．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形
中，首先，将正方形等分成9个边长为 的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之
和为 ；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形
面积之和为 ；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若
，则操作次数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
50．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均
律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前
一个单音的频率的比都等于 ．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，
为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为 ，则第四个单音的频率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
51．1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：
（1）“正方形筛子”中位于第10行的第10个数是______.
（2）若 表示第 行 列的数，则 ______（用 ， 表示）
52．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，
后7项成等比数列，且 ，则 ___________；数列 所有项的和为____________．
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