文档内容
计算题培优练 7 用力学三大观点分析电磁感应问题
1.(14分)(2023·全国甲卷·25)如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的
最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位
于P的左侧，以大小为v 的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后
0
从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始
终平行。不计空气阻力。求：
(1)(5分)金属棒P滑出导轨时的速度大小；
(2)(3分)金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
(3)(6分)与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。
2.(16分)(2024·湖北卷·15)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，
1
直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的 圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧
4
无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属
棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放
置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金
属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求：
(1)(4分)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小；
(2)(5分)金属环刚开始运动时的加速度大小；
(3)(7分)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。答案精析
1 2mR
1.(1) v (2)mv 2 (3)
2 0 0 B2l2
解析 (1)由于绝缘棒Q与金属棒P发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
3mv =3mv +mv
0 Q P
1 1 1
×3mv 2= ×3mv 2+ mv 2
2 0 2 Q 2 P
3 1
联立解得v = v ，v = v
P 2 0 Q 2 0
由题知，碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则金属棒P滑出导
1
轨时的速度大小为v '=v = v
P Q 2 0
(2)根据能量守恒有
1 1
mv 2= mv '2+Q
2 P 2 P
解得Q=mv 2
0
(3)P、Q碰撞后，对金属棒P分析，根据动量定理得
-BIlΔt=mv '-mv
P P
E ΔΦ Blx
又q=IΔt，I= = =
R RΔt RΔt
mv R
0
联立可得x=
B2l2
x 2mR
由于Q为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q运动的时间为t= = 。
v B2l2
Q
B2L2√2gL
2.(1)BL√2gL (2)
3mR
B2L3+mR√2gL
(3)
B2L2
解析 (1)根据题意可知，对金属棒ab由静止释放到刚越过MP过程中，
1
由动能定理有mgL= mv 2
2 0
解得v =√2gL
0
则金属棒ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为
E=BLv =BL√2gL
0
(2)根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，
由几何关系可得，每段圆弧的电阻为R =R
0可知，整个回路的总电阻为
R·R 3
R =R+ = R
总 R+R 2
ab刚越过MP时，通过金属棒ab的感应电流为
E 2BL√2gL
I= =
R 3R
总
对金属环由牛顿第二定律有
I
2BL· =2ma
2
B2L2√2gL
解得a=
3mR
(3)根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于
金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和
金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为v，
由动量守恒定律有mv =mv+2mv
0
1
解得v= v
3 0
设经过时间t，金属棒ab与金属环共速，
对金属棒ab，由动量定理有
v
-BILt=m· 0-mv
0
3
2
则有BLq= mv
3 0
设金属棒运动距离为x ，金属环运动的距离为x ，
1 2
BL(x -x )
1 2
则有q=
R
总
mR√2gL
联立解得Δx=x -x =
1 2 B2L2
则金属环圆心初始位置到MP的最小距离
B2L3+mR√2gL
d=L+Δx= 。
B2L2
