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考点巩固卷 01 集合与常用逻辑用语(九大考点)
考点01：集合元素的特征的应用
1．若 ，则a的值为______.
【答案】
【分析】集合中的元素依次取 ，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.
【详解】因为 ，则当 ，即 ，此时 ，
矛盾，
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意，即 ，
而 ，即 ，
所以a的值为 .
故答案为：
2．由 构成的集合中，元素个数最多是______.
【答案】2
【分析】分 与 讨论即可求解.
【详解】当 时， ，此时元素个数为1；
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以一定与 或 中的一个一致，此时元素个数为2.
所以由 构成的集合中，元素个数最多是2个.
故答案为:2.
3．若集合 ，则N中元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解.
【详解】由 可知集合
,故共有9个元素，
故选：C
4．数集 中的元素a不能取的值是__________.
【答案】0，1，2，
【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解.
【详解】由集合中的元素满足互异性可知 ，解得 且 且 且
故答案为：0，1，2，
考点02：集合与集合之间的关系
5．已知集合 ，若 ，求实数a，b的值．
【答案】
【分析】根据集合中的元素相等，且满足互异性，即可求解.
【详解】由于 ，由于集合 中有元素0，而集合 中的 不能为0，所以必然是
，此时集合 ，
由于集合 中有元素1，
若 ，则 ，
故
6．已知 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的特性，结合韦达定理即可求解.
【详解】由于 表示一元二次方程 的解的集合，
而 最多有两个不相等的实数根，
由于 ，所以
故由韦达定理可得 ，
故选：C
7．已知集合 ，则集合 的真子集的个数为
（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
【答案】A
【分析】联立方程求解方程组的根，根据根的个数可得 的真子集个数，或者数形结
合求解交点个数，进而得交集中的元素个数，由子集个数公式即可求解
【详解】方法一：联立 ，解得 或 ，
,
集合 的真子集的个数为 .
方法二：在同一直角坐标系中画出函数 以及 的图象，由图象可知两图形
有2个交点，所以 的元素个数为2，进而真子集的个数为 .
故选：A.
8．已知集合 ，则集合A的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A，再计算其子集个数.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，即 ，解得 ，
因此 含有4个元素，
所以集合A的子集个数为 .
故选：D
考点03：集合间的交并补运算
9．设集合 ， ，则满足集合 的集合
的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再求出集合 ，由补集、交集的定义求出集
合 ，即可判断其子集个数.
【详解】由 ，即 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，则集合 的子集有 个.
故选：C
10．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合 ，然后利用集合补集和并集运算即可.
【详解】由已知 ，
，
，
.
故选：C.
11．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得 和 ，集合基本
的交集与补集的运算，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意，集合 ， ，
可得 ，所以 .
故选：C．
12．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的解法化简集合 ，求解函数定义域求出集合 ，再利用集合的补集
和交集运算即可得出结论．
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，
， ，
故选：C．
13．已知全集 ， ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意画出 图，即可得出答案.
【详解】由题意画出 图如下，
可得： ， ， ， .
故选：D.
14．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合 ，根据集合的运算法则求 .
【详解】由 有意义可得 ，化简得 或 ，
所以 或
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 ，
所以 ．
故选：B．
考点04：Venn图
15．如图，集合 均为 的子集， 表示的区域为（ ）
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】B
【分析】根据集合间的运算分析判断.
【详解】因为 表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ，
所以 表示 与集合A的公共部分，即为Ⅱ.
故选：B.
16．全集 ，能表示集合 和 关系的Venn图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】化简集合 ，根据两集合的关系，即可得出答案.
【详解】由已知，可得 ，
所以 ，根据选项的Venn图可知选项D符合.
故选：D.
17．如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合 、 、 ，它们是 的三个子集，则
阴影部分所表示的集合是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题图中的阴影部分是 的子集，但该子集中不含集合 中的元素，且该子集
包含于集合 的补集，用关系式表示出来即可．
【详解】由图知，首先阴影部分是 的子集，其次不含集合 中的元素且在集合 的
补集中，
可得阴影部分所表示的集合是 或 .
故选：C.
18．已知集合 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 ，再计算 即可.
【详解】不等式 ，可化为 ，即 ，
所以不等式 的解集为 ，
不等式 的解集为 ，
所以 ， ，
所以 ，
又图中阴影部分可表示为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以图中阴影部分所表示的集合是 ，
故选：A.
考点05：集合的含参运算
19．已知全集 ，集合 .若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得 ，再由集合间关系列不等式组求解
【详解】由题意得 ， ，
而 ，则 ，
①若 ，则 ，得 ，
②若 ，则 ，解得 ，
综上， 的取值范围 ，
故选：B
20．集合 ，集合 ，且满足
，则实数 的取值范围是___．
【答案】
【分析】由二次不等式的解法得 ，由对数不等式的解法得 ， ，即
， ， ，由集合交集的运算得 ，即 ，得解．
【详解】解不等式 得 即 ，
解不等式 得： ，即 ，即 ， ，
即 ， ， ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，即 ，
即实数 的取值范围是 ，
故答案为
【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题．
21．已知集合 ，B＝{x| ≤x≤a+5}．
(1)当a＝2时，求 ， ；
(2)若 ＝R，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将集合 表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，
再找边界的大小即可.
【详解】（1）
，
（2） ＝R， ，解之： .
22．设全集 ，集合 ， ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简 ，由 可得 ，根据集合包含关系列不等式可求 的
取值范围；
（2）由 可得 ，根据集合包含关系列不等式可求 的取值范围；
【详解】（1）不等式 ，可化为 ，
所以不等式 的解集为 ，故 ．
由 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，则 ，且 ，
所以 的取值范围是 ．
（2）由于 ，因此 ，于是 ．
当 时， 显然成立；
当 时， ，得到 ，因此 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
23．已知集合 ， ，若 ，则实数k
的取值范围为____________.
【答案】
【分析】利用二次不等式求解集合 的元素，根据集合的运算，建立不等式，可得答案.
【详解】由不等式 ，分解因式可得 ，解得 或 ，即
或 ，
，由 ， .
故答案为： .
24．己知集合 ．
（1）若 ，则实数a的取值范围是__________．
（2）若 ，则实数a的取值范围是__________．
（3）若 ，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】（1）若 ，得 ，
所以实数a的取值范围是 .
（2） ，即 ，所以 ，
所以实数a的取值范围是 .
（3）若 ，即 ，所以 ，
则实数a的取值范围是 .
故答案为： ； ； .
考点06：充分条件与必要条件的判定
25．（多选）“关于 的不等式 对 恒成立”的一个充分不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】分两种情况进行讨论，当 时， 对 恒成立；当 时，
对 恒成立可通过一元二次不等式进行求解，即 .求出 的
取值范围后便可逐个选项进行判断.
【详解】当 时， 对 恒成立，符合题意；
当 时， ，解得 ，综上，实数 的取值范围是 .
所以“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充分不必要条
件，故A正确；
“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件，故
B正确；
“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充要条件，故C错误；
“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的必要不充分条件，故D
错误.
故选：AB.
26．写出“实数x、y满足条件 ”的一个充分不必要条件：_______（答案不唯一）
【答案】 ， （此题答案不唯一）
【分析】根据充分不必要条件的定义填空即可
【详解】根据充分不必要条件的定义，只需找出一组满足不等式的值即可，不妨令 ，
，而 不能推出该组值，故符合要求.（答案不唯一）
故答案为： ， .
27．设 ， ， ， 是四个命题， 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件，
是 的充分必要条件，那么 是 的______条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既
不充分又不必要四选一）
【答案】充分不必要
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为 是 的必要不充分条件，所以 ，但 ，
是 的充分不必要条件，所以 ，但 A，
是 的充分必要条件，所以 ，但 D，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，但 D，
故 是 的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
28．设 ， 是非零向量，则 是 成立的______条件.（用“充要”、“充分不
必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空）
【答案】充分不必要
【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】因为 ，所以 共线且方向相同，
因为 表示 方向上的单位向量，所以 ，
而当 时，可得 共线且方向相同，但不一定是 ，
所以 是 成立的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要.
29．（多选）已知 ： ， 恒成立； ： ， 恒成立.则
（ ）
A．“ ”是 的充分不必要条件 B．“ ”是 的必要不充分条件
C．“ ”是 的充分不必要条件 D．“ ”是 的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数 的取值范围，结合充分必要条件即
可得答案.
【详解】已知 ： ， 恒成立，则方程 无实根，
所以 恒成立，即 ，故“ ”是 的必要不充分条件，故A错误，
B正确；
又 ： ， 恒成立，所以 在 时恒成立，
又函数 的最大值为 ，
所以 ，故“ ”是 的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
30．在 中，设三个内角A、 、 的对边依次为 、 、 ，则“ ”是“
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学科网（北京）股份有限公司”成立的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先利用 求得角A的值，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，又 ，则 ，
以上步步可逆.
则“ ”是“ ”成立的充要条件.
故选：C
考点07：根据充分（必要）条件求参数的范围
31．已知集合 ， ，若“ ”是“ ”的充分非必要
条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，依题意可得 ，即可得到 ，再求出
集合 ，即可求出参数的取值范围.
【详解】由 ，解得 ，所以 ，
因为 ，所以不等式 ，等价于 ，
因为“ ”是“ ”的充分非必要条件，所以 ，
所以 ，则 ，所以不等式 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
故选：B
32．已知方程 在 上有解.
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)设不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，求a的取值范
围.
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2) 或
【分析】（1）通过分离常量，将在区间上的有解问题转化成求两函数图像有交点，从而求
出实数 的取值范围；
（2）对实数 进行分类讨论，求出集合 ，利再用集合与集合间的包含关系，建立不等式
组，从而求出实数 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得到
令 ， ，因为 ，所以 ，
又因为方程 在 上有解，所以 ，
所以 .
（2）因为 是 的必要条件，所以 ，又由（1）知 ，
①当 ，即 时， ，所以 ，解得 ；
②当 ，即 时， ，所以 ，解得 ；
③当 ，即 时， ，所以此时不满足题意.
综上可得，实数 的取值范围是 或 .
33．函数 是偶函数的充分必要条件是（ ）．
A． B．
C． 且 D． ， 且
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义求得 恒成立，即可求出a，c，再验证
时情况即可判断作答.
【详解】显然函数 定义域为R，
因 是偶函数，即 ，亦即
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学科网（北京）股份有限公司，
整理得 ，而 不恒为0，因此， ，即 且 ，
当 时， 也是偶函数，D不正确，
所以一定正确的是C.
故选：C
34．若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解.
【详解】因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故即实数 的取值范围是 .
故选：C.
35．已知“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求题设条件中 范围，根据必要不充分条件判断包含关系，进
而求 的取值范围.
【详解】由 得： 或 ，所以 或 ；
由 得： ，所以 .
因为 是 的必要不充分条件，即 且 ，
所以 是 或 的真子集，
所以 或 ，解得 或 .
故选：B
考点08：全称（存在）量词命题的否定及判断真假
36．若命题p的否定为： ，则命题p为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用含有量词的否定方法进行求解.
【详解】因为命题p的否定为： ，
所以命题p为： .
故选：B.
37．有下列四个命题：
①对任意实数 均有 ； ②不存在实数 使 ；
③方程 至少有一个实数根； ④ 使 ，
其中假命题是__________（填写所有假命题的序号）．
【答案】③
【分析】根据不等式的性质判断①，根据完全平方数的非负性判断②，计算 即可判断③，
利用特殊值判断④.
【详解】对于①：因为 ，所以对任意实数 均有 ，故①为真命题；
对于②：因为 ，所以不存在实数 使 ，故②为真命题；
对于③：对于方程 ， ，
故方程 无实数根，所以③为假命题；
对于④：当 时 ，故 使 ，即④为真命题.
故答案为：③
38．命题 ： ， ，命题 ： ， ，则（ ）
A． 真 真 B． 假 假 C． 假 真 D． 真 假
【答案】D
【分析】对于命题 ：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题 ：根据存在命题
结合二次函数的 判别式分析判断.
【详解】对于命题 ：令 ，则 开口向上，对称轴为
，
且 ，则 ，
所以 ， ，即命题 为真命题；
对于命题 ：因为 ，
所以方程 无解，即命题 为假命题；
故选：D.
39．命题 ，一元二次方程 有实根，则对命题 的真假判断和 正
确的为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．真命题， ，一元二次方程 无实根
B．假命题， ，一元二次方程 无实根
C．真命题， ，一元二次方程 有实根
D．假命题， ，一元二次方程 有实根
【答案】A
【分析】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.
【详解】在一元二次方程 中 恒成立，故对任意 ，方程都有实根，
故命题 为真命题， ，一元二次方程 无实根.
故选：A
考点09：全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围
40．若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】由题意可得：命题“ ”为真命题，根据恒成立
问题结合一次函数运算求解.
【详解】由题意可得：命题“ ”为真命题，
即 对 恒成立，
则 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围为 或 ，
故选：C.
41．若命题 ， 是真命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】依题意可得二次函数 与 轴有交点，转化为判别式的关系进行求解.
【详解】已知命题 ， 是真命题，
则二次函数图像 与 轴有交点，所以 ，
解得 或 .
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学科网（北京）股份有限公司所以实数a的取值范围为 .
故答案为： .
42．（多选）已知命题 ， ，若p是假命题，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意，转化为 ， 恒成立，列出不等式，
即可得到 的范围.
【详解】由题意可得， ， 恒成立，
可得 ，即 ，解得 或 ，
即实数a的取值范围是 或 .
故选：AB
43．命题 ：“ ”是真命题，则实数 的取值范围为
________________.
【答案】
【分析】题目转化为 ，根据对数函数性质计算最值即可.
【详解】当 ， ，
所以 ，即 成立.
则 ，
当 时， ，故 .
故答案为： .
44．已知 ．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.
【详解】因为p为假命题，所以 ， 为真命题，
故当 时， 恒成立．
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学科网（北京）股份有限公司因为当 时， 的最小值为 ，
所以 ，即a的取值范围为 ．
故选：A.
45．若命题“ ，使 成立”的否定是真命题，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可.
【详解】若“ ，使 成立”的否定是：
“ ，使 ”为真命题，
即 ；令 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
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