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考点巩固卷 04 函数的性质（十大考点）
考点01：判断函数单调性
1．已知函数 的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A． 是函数 的增区间 B． 是函数 的减区间
C．函数 在 上是增函数 D．函数 在 上是减函数
【答案】C
【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义，即可判断出答案.
【详解】根据函数图像可知函数 在 上递增，在 上递减，故A，B正确；
函数 在 上也单调递增，但区间 和 不是连续区间，
并且由图象可知 ，因此不能说函数 在 上是增函数，C错
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学科网（北京）股份有限公司误；
由于函数 在 时有定义，由图象可知 ，则 为函数的一个单调递减区间，
故函数 在 上是减函数，D正确，
故选：C
2．下列函数中，在区间 上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A： 在定义域 上单调递增，故A错误；
对于B： 在定义域 上单调递增，故B错误；
对于C： 定义域为 ，因为 在 上单调递减且值域为 ，
又 在定义域上单调递减，所以 在 上单调递增，故C错误；
对于D： ，函数在 上单调递减，故D正确；
故选：D
3．在下列函数中：① ，② ，③ ，④ ，在 上为增函
数的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】根据范围直接去绝对值号，进而判断函数单调性，从而得解.
【详解】因为 ，
所以① 在 上单调递减，不符合题意；
② 在 上为常函数，不符合题意；
③ 在 上单调递增，符合题意；
④ 在 上单调递增，符合题意；
故符合题意的为③④.
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司4．已知函数 同时满足性质：① ；②当 时，
，则函数 可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定函数 的奇偶性和在 上的单调性，再逐项判断作答.
【详解】由 ，知函数 是偶函数，由当 时，
，知 在 上单调递减，
对于A，函数 在 上单调递增，A不是；
对于B，指数函数 不具奇偶性，B不是；
对于D，当 时， 在 上单调递增，D不是；
对于C，函数 是偶函数，当 时， ，
而余弦函数 在 上单调递减，即 在 上单调递减，C是.
故选：C
5．（多选）奇函数 在 的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．当 时，
B．函数 在 上递减
C．
D．函数 在 上递增
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】结合 的图像，根据奇函数的对称性，分析函数 的值域、单调性、函数
值，由此确定正确选项.
【详解】解：根据图像可知： 时， ， 在 递减，
在 上递增，
所以根据奇函数性质，当 时， ，A正确；
当 时， 在 递减，在 上递增，故BD正确.
由于 在 上递增，所以 ，故C错误.
故选：ABD
6．下列命题正确的是（ ）
A．函数 在 上是增函数 B．函数 在 上是减函数
C．函数 和函数 的单调性相同 D．函数 和函数 的单调性相同
【答案】C
【分析】分别判断出 ， ， 和 的单调性，即可判断．
【详解】对于A： 定义域为 ，由二次函数 的图像可知， 在 是增
函数，在 是减函数，故A错误；
对于B： 的定义域为 ，由反比例函数 的图像可知， 在
和 上是减函数，故B错误；
对于C： 在 是增函数，在 是减函数，
，当 时， ，易知为增函数，当 时， ，易知为减函数，所以函
数 和函数 的单调性相同，故C正确；
对于D： 定义域为 ，由反比例函数 的图像可知， 在
和 上是减函数；
设 定义域为 ，取 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 在 上单调递减，
当 ， ，即 在 上单调递减，
同理可证， 在 上单调递减，在 上单调递增，故D错误，
故选：C．
考点02：求函数的单调区间
7．（ 2023·海南海口·统考）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【答案】B
【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【详解】 ，
则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ；
当 ， 的单调递减区间为 ，
故 的单调递减区间是 和 .
故选：B
8．函数 的单调增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【答案】D
【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．
【详解】解：∵函数 1 ，定义域为{x|x≠0}，
且y 的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故函数 的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故选：D．
9．定义域为 的函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，
则：
（1）函数 的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________；
（2）函数 的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 的图象与 的图象关于x轴对称和 的图象是由
的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到，从而得解.
【详解】解：因为 的定义域为 ，且 在区间 上是增函数，在区
间 上是减函数，
且 的图象与 的图象关于 轴对称，
所以 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ；
又 的图象是由 的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到的，
所以函数 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 .
故答案为： ， ， ， .
10．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． ∪
C． 和 D．
【答案】C
【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间.
【详解】 ，
函数图象如图所示，
由图可知函数的递增区间为 和 ，
故选：C
11．函数 的严格减区间为______．
【答案】 /
【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.
【详解】函数 的定义域为R，令 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司而函数 在R上是增函数，因此函数 在 上单调递减，在 上单调
递增，
所以函数 的严格减区间为 .
故答案为：
12．已知函数 的单调增区间为__________．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】解：令 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
解得 ，
所以函数的定义域为 ，
由余弦函数的性质可知： 在 上单调递增，在
上单调递减，
又因为 在定义域上为单调递增函数，
由复合函数的单调性可知：
函数 的单调增区间为 .
故答案为：
考点03：函数的最值问题
13．设 ，若函数 ，当 时， 的范围为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 的单调性可直接构造方程组求得结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 在 上单调递减， ，解得： .
故选：B.
14．函数 的最小值为________.
【答案】
【解析】根据函数解析式，先令 ，将问题转为求函数 在
上的最值问题，根据单调性，即可求解.
【详解】因为 ， ，
令 ，则 ，
所以
令 ， ，
因为指数函数 与一次函数 都是增函数，
所以 也是增函数，
所以 时， .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：
求解函数最值（值域）的常用方法：
1.单调性法：先判断函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值（值域）；
2.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点求出最值（值域），若函数的解
析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解；
3.基本不等式法：先将解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后利用基本不等
式求最值（值域）；
4.导数法：先求出导函数，然后求出给定区间的极值，结合端点值，求出最值（值域）；
适用于三次函数、分式函数及含 ， ， ， 结构的函数，且 可求；
5.换元法：对比较复杂的函数先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（值
域）；
6.分离常数法：形如 的函数的值域，经常使用“分离常数法”求解；
7.配方法：求解二次型函数时，一般需要配方，结合二次函数的性质求解.
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学科网（北京）股份有限公司15．函数y= + 的最大值为__________.
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由 ，解得 ，
即函数的定义域为 ，
，
当 时， 取得最大值 ，
即 .
故答案为：
16．若奇函数 在区间 上是增函数，则它在区间 上是（ ）
A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
【答案】A
【分析】根据题意得到函数 在区间 为增函数，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，奇函数 在区间 上是增函数，
则函数 在区间 也为增函数，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
故选：A.
17．已知函数 （x>0），若 的最大值为 ，则正实数
a=___________.
【答案】1
【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】令 ，则 ，则
令
当 时， 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 .
当 时， （当且仅当 时等号成立）
则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 （舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
18．已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为______．
【答案】
【分析】将函数 化为 ， , ，讨论 ， 和
时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．
【详解】解：函数 ，即 ， , ，
当 时， 不成立；
当 ，即 时， 在 , 递减，可得 为最大值，
即 ，解得 ，成立；
当 ，即 时， 在 , 递增，可得 为最大值，
即 ，解得 ，不成立；
综上可得 ．
故答案为： .
考点04：恒成立问题与存在性问题
19．不等式 对满足 的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．
【答案】
【分析】构造函数 ，原不等式等价为 对于任意 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司从而只需满足 即可，进而解不等式可得答案.
【详解】不等式 化为： 对于任意的 恒成立，
令 ，要使 对于任意 恒成立，
由于函数 是关于 的一条直线，则有 ，解得 ，
故x的取值范围为 .
20．如图所示，定义域和值域均为R的函数 的图象给人以“一波三折”的曲线之美．
（1）若 在 上有最大值，则a的取值范围是______；
（2）方程 的解的个数为______．
【答案】 ；
【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；
（2）利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.
【详解】（1）由图象可知：该函数在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，且 ，
要想 在 上有最大值，则有 ，a的取值范围是
；
（2）令 ， ，或 ，
若 ，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；
若 ，根据函数图象，可知该方程有一个实根，
所以方程 的解的个数为 ，
故答案为： ；
21．若关于x的不等式 有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】分离参数将问题转化为 有解，计算即可.
【详解】由题知 ，而 ，所以 ，
又 ，所以 .
因为关于 的不等式 有实数解，
即 有实数解，所以 ，即 .
故选：A
22．若存在实数 ，使得不等式 成立，求x的取值范围．
【答案】 或
【分析】原不等式可化为 .设 ，根据 的符
号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案.
【详解】原不等式可化为 .
设 ，
当 时， 恒成立，满足题意；
当 时， 恒成立，不满足题意；
当 时，函数 单调递增，
要使不等式成立，则应有 ，
即有 ，
解得， 或 ；
当 时，函数 单调递减，
要使不等式成立，则应有 ，
即有 ，
解得， .
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，x的取值范围为 或 .
23．对于任意 ，函数 的值恒大于零，则x的取值范围
是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【分析】将函数 的解析式变形为 ，并构造函数
，
由题意得出 ，解此不等式组可得出实数 的取值范围
【详解】对任意 ，函数 的值恒大于零
设 ，即 在 上恒成立.
在 上是关于 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在 轴上方，即 ，
解得 或 .
故选：C.
24．在区间 上，函数 的图象恒在直线 上方，则实数m的取值范
围是__________．
【答案】
【分析】依题意 在区间 上恒成立，设 ，则只要其
最小值大于 即可，根据二次函数的性质求出其最小值，即可得到不等式，解得即可.
【详解】由题意得 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
设 ，则只要其最小值大于 即可，
因为 的对称轴为直线 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
则 ，解得 ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司考点05：利用函数的单调性求参数的取值范围
25．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意， ，
在 中，函数单调递增，
∴ ，解得： ，
故选：C.
26．函数 ，对 且 ， ，则实数
的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先判断函数在区间 的单调性，再结合二次函数的对称轴，列式求实数
的范围.
【详解】因为对 且 ， ，
所以函数在区间 单调递减，函数 的对称轴是 ，
所以 ，得 .
故选：B
27．函数 在 上是增函数，则实数a的值为__________．
【答案】0
【分析】根据一次函数及二次函数的单调性即可得到结论．
【详解】当 时，函数 ，在 上单调递增，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，函数 ，其对称轴为 ，
若 ，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增；
若 ，当 时，函数单调递增；当 时，函数单调递减，
综上， .
故答案为：0.
28．函数 在 上是减函数，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】依题意函数 是由 向右平移 个单位得到，再由幂函数的性质判断
的单调性，即可得到 的单调性，从而求出参数的取值范围.
【详解】因为函数 是由 向右平移 个单位得到，
函数 为偶函数，且函数在 上单调递增，则在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，则在 上单调递减，
又函数 在 上是减函数，所以 ，即 的取值范围是 .
故答案为：
29．函数 ，若对于任意 ， ，当 时，都有
，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先将不等式变形，并构造函数 ，讨论 的正负，
结合函数在区间 的单调性，求实数 的取值范围.
【详解】∵对于任意 ， 当 时，都有 ，
∴ ，令 ，则 在 上单调递增，
又∵ ，当 时，满足题目条件，此时 ；
当 时， ， 时， ，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司等号成立，根据对勾函数单调性可知，有 ，∴ ，
综上可知， .
故答案为： ．
30．“ ”是“函数 在区间（1，2）上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解.
【详解】若 在区间（1，2）上单调递减，
所以 在区间（1，2）上恒成立，
所以 在区间（1，2）上恒成立，
所以 ，
所以 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以“ ”是函数 在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，
故选：C.
考点06：判断函数的奇偶性
31．已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】B
【分析】方法一：可得 ，即可得到函数 关于 对称，从而得到
为偶函数；
方法二：求出 的解析式，即可判断.
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
所以函数 关于 对称，将 的函数图象向左平移 个单位，关于 轴对称，
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学科网（北京）股份有限公司即 为偶函数.
方法二：因为 ， ，
则 ，所以 为偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数.
故选：B
32．函数 的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【答案】C
【分析】求出 的定义域不关于原点对称，即可判断 为非奇非偶函数.
【详解】函数 的定义域为 ，
则 ，
由于定义域不关于原点对称，故 为非奇非偶函数.
故选：C.
33．若 ， ， 分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不
是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 ， ， 分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇
偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】若 ，则 ，
则 是偶函数，故A错误；
若 ，则 ,则
是偶函数，故B错误；
若 ，则 ，则 是奇
函数，故C正确；
若 ，则
，
则 是偶函数，故D错误.
故选：C
34．判断下列函数的奇偶性．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) （常数 ）．
【答案】(1)既是奇函数，又是偶函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)非奇非偶函数
(5)奇函数
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求出函数 的定义域，结合函数奇偶性的定义判
断可得出结论.
【详解】（1）解：对于函数 ， ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，此时 ，满足 ， ，
故函数 既是奇函数，又是偶函数.
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：函数 的定义域为 ，
对任意的 ，
，
所以，函数 为偶函数.
（3）解：对任意的 ， ，则 ，
所以，函数 的定义域为 ，
对任意的 ， ，
所以， ，
所以， ，故函数 为奇函数.
（4）解：对于函数 ，有 ，解得 ，
故函数 的定义域为 ，
所以，函数 为非奇非偶函数.
（5）解：因为 ，对于函数 ，有 ，解得 或
，
所以，函数 的定义域为 ，
此时， ，
则 ，
所以，函数 （常数 ）为奇函数.
考点07：利用奇偶性求函数值或参数值
35．若函数 为奇函数，则 ___________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据奇函数的性质，得到 ，求得 ，结合奇偶性的定义，即可求解.
【详解】由函数 为奇函数，可得 ，
即 ，解得 ，
当 时， ，此时函数 为奇函数，符合题意；
当 时， ，
则 ，即 ，
此时函数 为奇函数，符合题意，
综上可得，实数 的值为 .
故答案为： .
36．设 ，则“ ”是“ 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据 为奇函数，可得 ，即可求得 ，再根
据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若 为奇函数，
则 ，
，
解得 ，经检验，符合题意，
“ ”是“ 为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A．
37．函数 是偶函数，当 时， ，则 ________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.
【详解】因为当 时， ，
所以当 时， ，
所以 ，
函数 是偶函数，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故答案为： .
38．若 是奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，
则 的定义域为 ，又 为奇函数，
所以 ，可得 ，
当 时， ，
其定义域为 ，
，所以 是奇函数，
故 .
故选：A.
考点08：利用奇偶性求解析式
39．已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ．求函数
的解析式.
【答案】
【分析】由奇函数的性质可得出 的值，利用奇函数的定义可求得函数 在 时
的解析式，综合可得出函数 在 上的解析式.
【详解】因为函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
40．校联考阶段练习）已知函数 满足 为奇函数，则函数 的解析式
可能为______________（写出一个即可）．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据奇函数的定义选择函数 的解析式即可.
【详解】取 ，则 符合题意．
故答案为： .
41．已知函数 为定义在 上的奇函数，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出 ， ，再利用函数单调性
和奇偶性即可求出不等式的解集.
【详解】根据奇函数定义可知 ，可得 ，函数定义域为 ；
又 ，可得 ，所以 ；
易知函数 在 上单调递增，
所以不等式 即为 ，
根据函数单调性和奇偶性可得 ，解得 .
故答案为：
42．已知函数 为 上的奇函数，当 时， ，则 时，
_________．
【答案】
【分析】由奇函数性质可得 时， ，由条件求 可得结论.
【详解】因为函数 为 上的奇函数，
所以对任意的 ， ，
所以当 时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为当 时， ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
考点09：函数周期性的应用
43．在如图所示的 的图象中，若 ，则 _____.
【答案】3
【分析】根据图象确定函数周期，利用函数的周期求值即可.
【详解】由图象知：周期为0.02，
所以 .
故答案为：3
44．函数 是以4为周期的周期函数，且当 时， ，试求当
时， 的解析式.
【答案】
【分析】根据函数的周期性求得正确答案.
【详解】依题意，函数 是以4为周期的周期函数，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，
综上所述， .
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学科网（北京）股份有限公司45．已知 是定义在 上的函数，对任意实数 都有 ，且当 时，
，则 _______.
【答案】 /
【分析】先求出函数 的周期，再通过周期以及 时的解析式可得 .
【详解】由 得 的周期 ，
，
又当 时， ，
.
故答案为： .
46．写出一个最小正周期为6的奇函数 ______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】此题答案不唯一，只要满足最小正周期为6且为奇函数即可.
【详解】 的最小正周期为 ,且定义域为 ，
同时 满足题意.
故答案为：
47．若 的定义域为 ，对任意的 ，都有 ，且 ，则
_________.
【答案】1
【分析】根据已知等式得函数的周期性，即可求得 的值.
【详解】 ，
即 是周期为4的函数.
.
故答案为： .
48．已知 是定义在 上的偶函数，并且满足 ，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 为周期函数，确定该函数的周期，结合函数 的周期性和奇
偶性可求得 的值.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，并且满足 ，
则 ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，
且当 时， ，则
.
故选：B.
考点10：单调性与奇偶性的综合问题
49．已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上单调递减，且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
则当 或 时， ；当 时， ，
不等式 化为 或 ，
所以 或 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 或 或 ，即 或 ，
即原不等式的解集为 ；
故选：C.
50．设奇函数 在 上为单调递增函数，且 ，则不等式 ，
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合 的奇偶性和单调性的示意图，化简不等式为 ，数形结合，
求得它的解集．
【详解】由题意可得，奇函数 在 和 上都为单调递增函数，
且 ，函数图像示意图如图所示：
故不等式 ，即 ，即 ，
结合 的示意图可得它的解集为 或
故选：D．
51．已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则满足
的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据不等
式，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果．
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上也是单调递增，且 ， ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以由 ，可得 或 ，
即 或 ，解得 ，
得 的取值范围为 .
故选：A．
52．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数， ，则不等式
的解集为__________．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再结
合对数函数的性质计算可得.
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，
所以 在 上单调递减，又 ，则 ，
所以 时 ， 时 ， 时 ，
所以不等式 等价于 或 ，
即 或 ，
即 或 ，
解得 或 ，即不等式 的解集为 .
故答案为：
53．已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且函数 为奇函数，则
的解集为___________.
【答案】
【分析】先判断出 在 单调递增，利用单调性解不等式.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 函数 为奇函数， 函数 关于 中心对称.则
又 在 上单调递增，
在 单调递增，从而 可化为：
，
， 原不等式的解集为 .
故答案为： .
54．已知函数 ，则使得 成立的实数 的取值范围为
__________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的 定义域为 ,
因为 ,
所以 ,
故函数 为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 ,
故 在 上单调递减, 且 .
则使得 成立，
需 ，
所以 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 且 ，
所以 且
解得 或 ，
故答案为： .
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