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考点巩固卷 23 统计与统计案例(十大考点)
考点01 随机抽样
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原
因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A．100，10 B．100，20 C．200，10 D．200，20
2．某高中共有学生2000人，其中高一和高二各有800人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，
那么高二抽取的人数为_____.
3．总体由编号为 、 、 、 、 的 个个体组成，利用随机数表从中抽取 个个体，下面提供随
机数表的第 行到第 行：
若从表中第 行第 列开始向右依次读取，则抽取的第 个个体的编号是_____.
4．一汽车厂生产 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：
辆）：
轿车 轿车 轿车
舒适型
标准型
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 辆，其中有 类轿车 辆．
(1)求抽取的轿车中， 类轿车的数量；
(2)求 的值；
(3)用分层抽样的方法在 类轿车中抽取一个容量为 的样本．将该样本看成一个总体，从中任取 辆，求
至少有 辆舒适型轿车的概率．
考点02 统计图表
5．2022年11月，国内猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油､鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况
如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过
6．如图为国家统计局于2023年1月20日发布的2016-2022年全国R&D经费总量与R&D经费与
GDP之比的数据图表，则（ ）
A．R&D经费总量的平均数超过23000亿元
B．R&D经费总量的中位数为19678亿元
C．R&D经费与GDP之比的极差为0.45%
D．R&D经费与GDP之比增幅最大的是2021年到2022年
7．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等 种系列产品的结构比
例，近年来取得了显著效果.据悉该企业 年 种系列产品年总收入是 年的 倍，其中 种系列产品
的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）A． 年甲系列产品收入比 年的多
B． 年乙和丙系列产品收入之和比 年的企业年总收入还多
C． 年丁系列产品收入是 年丁系列产品收入的
D． 年戊系列产品收入是 年戊系列产品收入的 倍
8．Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装
备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它
还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小张根据Keep记录的2022年1月至2022年11月期间
每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（
）
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在10月
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
9．（多选）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌
晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对
早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列说法错误的是（ ）A．在睡眠指数 的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
10．（多选）2022年的夏季，全国多地迎来罕见极端高温天气．某课外小组通过当地气象部门统计了当地
七月份前20天每天的最高气温与最低气温，得到如下图表，则根据图表，下列判断正确的是（ ）
A．七月份前20天最低气温的中位数低于25℃
B．七月份前20天中最高气温的极差大于最低气温的极差
C．七月份前20天最高气温的平均数高于40℃
D．七月份前10天（1—10日）最高气温的方差大于最低气温的方差
考点03 频率分布直方图
11．某校高二（10）班50名学生的身高（单位： ）数据均在区间 ，其频率分布直方图（将频
率视为概率）如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．
B．估计该班学生身高的中位数为
C．估计该班学生身高的平均值大于
D．估计该班学生身高不低于 的概率为0.4
12．（多选）为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的
培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成
5组： ．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质
量在 内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（ ）
A．质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替） B．优等品有45件
C．质量的众数在区间 内 D．质量的中位数在区间 内
13．（多选）为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次测试.已知此次考试共有
1000名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数
不低于110分为优秀，则（ ）A．频率分布直方图中的a的值为0.008
B．这次考试中优秀的学生有100人
C．这次考试成绩的众数约为100
D．这次考试的中位数约为95
14．（多选）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调
查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正
确的是（ ）.
A．样本在区间 内的频数为18
B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受
到减免税政策
C．样本的中位数小于350万元
D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）
15．（多选）为了提高学生的英语基础，某中学要求学生每天坚持一小时的听、说、读、写训练．为了调
查该校5000名高中学生每周平均参加英语训练时间的情况，某教师从高一、高二、高三三个年级学生中按照3∶1∶1的比例分层抽样，收集了100名学生平均每周英语训练时间的样本数据（单位：h），整理后得
到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的有（ ）
A．估计该校高中学生平均每周英语训练时间不足4h的人数为1500人
B．估计该校高中学生平均每周英语训练时间不少于8h的人数所占百分比为22%
C．估计该校高中学生平均每周英语训练时间的中位数为5h
D．估计该校高中学生平均每周英语训练时间为5.84h
16．某区为了解全区 名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了 名学生进行体
能测试，并将这 名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这 名学
生平均成绩的估计值为_____．
考点04 均值及方差的性质
17．已知一组数据 的平均数为 ，标准差为 .若 的平均数与方差相等，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．（多选）若甲组样本数据 （数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A． 的值不确定
B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C．两组样本数据的极差可能相等
D．两组样本数据的中位数可能相等
19．（多选）有一组样本甲的数据 ，一组样本乙的数据 ，其中 为不完全相等
的正数，则下列说法正确的是（ ）
A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C．若样本甲的中位数是 ，则样本乙的中位数是
D．若样本甲的平均数是 ，则样本乙的平均数是
20．（多选）统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始
于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量
化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、
标准差．一组数据： （ ）记其均值为m，中位数为k，方差为 ，则
（ ）
A．
B．
C．新数据： 的均值为m＋2
D．新数据： 的方差为
21．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其
每天睡眠时间均值为9小时，方差为0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，
则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为_____.
22．“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检检测部门也
会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58，36，36，35，33，32，28，26，24，
22.
(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；
(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为 ，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业
造成污染点的总体方差.
考点05 总体百分位数的估计
23．（多选）为了了解学生对于高中数学重要性的认识，进行了一个问卷调查.用分层随机抽样法从某校高
三年级2000名学生的问卷成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，将这120个学生的成绩分为
6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图（每组数据以区间的中点值为代表），下列说法正确的是（
）
A．学生成绩的样本数据在 内的频率为0.015
B．学生成绩的样本数据的众数为100
C．学生成绩的样本数据的第75百分位数为118
D．根据样本可以估计全体高三学生问卷成绩在110分以上的学生为840名
24．（多选）2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（ ）A．2022年我国对外经济进口总值逐月下降
B．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差
C．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%
D．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1%
25．（多选）今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，
以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部
电影连续7天的日票房情况，则（ ）
A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球 日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
26．某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，
得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百
分位数是_____.
27．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6
环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8
次射击的结果可能是_____环.（写出有一个符合题意的值即可）28．某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”的效果进行评分，评分都在 内，
将所有数据按 ， ， ， ， ， 进行分组，整理得到频率分布直
方图如下，则这次调查数据的第55百分位数为_____．
考点06 相关关系与相关系数
29．关于 的一组样本数据 ，
的散点图中，所有样本点均在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数 为（ ）
A． B．0 C．1 D．
30．对两个变量 ， 进行线性相关检验，得线性相关系数 ，对两个变量 ， 进行线性相关检
验，得线性相关系数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．变量 与 正相关，变量 与 负相关，变量 与 的线性相关性较强
B．变量 与 负相关，变量 与 正相关，变量 与 的线性相关性较强
C．变量 与 正相关，变量 与 负相关，变量 与 的线性相关性较强
D．变量 与 负相关，变量 与 正相关，变量 与 的线性相关性较强
31．（多选）某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为
，计算其相关系数为 ．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5
组数据计算得到回归直线的方程为 ，相关系数为 ，以下结论中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
32．变量X与Y相对应的一组数据为：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，
5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），
表示变量Y与X之间的线性相关系数， 表示变量V与U之间的线性相关系数，则 与 的大小关系是
_____.
33．经过分层抽样得到16名学生高一和高二结束时的数学考试成绩（满分：100分），如下表所示．
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 6 5
高一 85 74 58 82
4 1 0 1
8 7 6 6
高二 88 73 62 85
4 2 8 0
1 1
学生编号 9 10 11 12 14 16
3 5
8 7 8 6
高一 69 80 84 54
7 9 3 3
8 8 8 6
高二 73 82 83 67
8 4 3 6
(1)绘制这些成对数据的散点图；
(2)计算学生高一和高二数学成绩的相关系数．根据此相关系数，你能得出什么结论？考点07 线性回归方程
34．用最小二乘法得到一组数据 （i=1，2，3，4，5）的线性回归方程为 ，若 ，
则 等于（ ）
A．11 B．13
C．53 D．65
35．某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄
录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12
该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进
行检验．
参考公式： ， ．
(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；
(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．
①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．
36．某样本点 的经验回归方程为 ，当 时，y的实际值为4.5，则当
时，预测值与实际值的差值为（ ）．
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
37．市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：月份x 1 2 3 4 5 6
净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若 时，则线性
相关程度较高， ，则线性相关程度一般，计算 时精确度为0.01）
(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率
， .相关系数 .
参考数据： ， ， ， ， ， .
38．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间
的对应数据的散点图，如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
(2)求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式 ．
参考数据：
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
．
39．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调
研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5
产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11
(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若
，则线性相关程度一般，若 ，则线性相关程度较高）
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．
参考数据： ， ， ．
附：相关系数公式： ，回归直线方程的斜率 ，截距
．考点08 非线性回归方程
40．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位： ）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，
收集了4组数据，用模型 去拟合x与y的关系，设 ，x与z的数据如表格所示：
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
得到x与z的线性回归方程 ，则 _____.
41．汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损.某实验室通过实验测得行驶里
程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型 ，通过实验数据分析与计算得到如下结
论：① ；② ，令 ， ，则回归方程应为_____.
42．在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布 ，而化肥
施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异.
(1)假设生产条件正常，记 表示化肥的有效利用率，求 ；
(2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初
步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为 （单位：公斤），粮食亩产
量为 （单位：百公斤）
参考数据：650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
， ，2， ， .
（i）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为该农作物亩产量 关于每亩化肥施用量 的回
归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，
粮食亩产量 的值.
附：①对于一组数据 ，2，3， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， ；
②若随机变量 ，则 ， .
43．某研发小组为了解年研发资金投入量 （单位：亿元）对年销售额 （单位：亿元）的影响，结合近
10年的年研发资金投入量 和年销售额 的数据（ ），建立了两个函数模型：① ，
② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数.设 ， ，经过计
算得如下数据.20 66 770 200 14
46
4.20 3125000 0.308 21500
0
(1)设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更
好的模型.
(2)根据（1）中选择的模型及表中数据，建立 关于 的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归
方程，若当年的销售额大致为 亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.
参考公式：相关系数 ，
线性回归直线 中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为 ， .
44．在一次抽样调查中测得 个样本点，得到下表及散点图.
(1)根据散点图判断 与 哪一个适宜作为 关于 的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果试建立 与 的回归方程；（计算结果保留整数）
参考公式：
45．为了研究某种细菌随天数 变化的繁殖个数 ，收集数据如下：
天数 1 2 3 4 5 6
繁殖个数 6 12 25 49 95 190
(1)在图中作出繁殖个数 关于天数 变化的散点图，并由散点图判断
（ 为常数）与 （ 为常数，且 ）哪一个适宜作为繁殖个数 关于天数 变化的回
归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程 （ 为常数，且 ），令 ，可以得到繁殖个数的对数z
关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09
（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程 ，令 ，可以得到繁殖个数的对数 关于天数 具有线
性关系（即 为常数）”；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ．
考点09 误差分析
46．下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（ ）
A． B．
C． D．
47．某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量 之间的相关关系，统计样本数据得到如
下表格：
由表格中的数据可以得到 与 的经验回归方程为 ，据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的
样本数据是（ ）A． B．
C． D．
48．（多选）已知变量 ， 之间的经验回归方程为 ，且变量 ， 的数据如图所示，则下列
说法正确的是（ ）
2 3 5 9 11
1
10 7 3
2
A．该回归直线必过
B．变量 ， 之间呈正相关关系
C．当 时，变量 的值一定等于
D．相应于 的残差估计值为
49．（多选）为研究女儿身高 与母亲身高 的关系，现经过随机抽样获得成对样本数据 ，
，下列说法正确的是（ ）
A．落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好
B．样本相关系数 越大，变量 线性相关程度越强
C．决定系数 越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
D．决定系数 越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
50．某互联网公司为了确定下季度的前期广告投人计划，收集了近6个月广告投入量 （单位：万元）和
收益 （单位：万元）的数据如表：
月份 1 2 3 4 5 6
广告投入
2 4 6 8 10 12
量
收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
他们用两种模型① ，② 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图
所示的残差图及一些统计量的值．7 30 1464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型拟合？并说明理由；
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．
（i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；
（ii）若广告投入量 时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
考点10 独立性检验
51．随机调查了200名高中生是否喜欢看篮球比赛，得到如下的列联表：
喜欢 不喜欢 总计
男 80 20 100
女 40 60 100
总计 120 80 200
(1)能否有99%的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”；（运算结果保留三位小数）(2)用分层抽样的方法从喜欢看篮球比赛的120名学生中抽取6名学生，再从这6名学生中随机选取2人，
求这2人中至少有1名女生的概率．
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
52．近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在 月 日随机抽取了该市 人，并对其
当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不
少于 分钟的人称为“运动达人”．
(1)估算这 人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；
(2)根据已知条件完成下面的 列联表，并据此判断是否有 的把握认为“运动达人”与性别有关．
非“运动达 “运动达
合计
人” 人”
男
性
女
性
合
计
附： ， ，临界值表： 0.05 0.01
3.841 6.635
53．某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A
学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，
两门学科均良好的有40人．
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A
学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好
A学科不够良好
合计
(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良
好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.15
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2.07254．某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换
手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾
客的比值为 ，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按
照性别采用分层抽样的方法随机抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
时间间隔（月）
男性 8 9 19 12 8 4
女性 2 5 12 11 7 2
(1)计算表格中 的值；
(2)请根据频率分布表填写 列联表，并判断是否有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”？
频繁更换手
未频繁更换手机 合计
机
男性顾客
女性顾客
合计
附表及公式：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
，其中 ．
55．广西新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用3+1+2”的高考模式，其中，“3”为语文、数
学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和历中选择1门，再从政治、地理、化学、生物
中选择2门，形成自己的高考选考组合.
(1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“物化生”组合的概率；
(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解离一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，
得到如下绕计效据，完成以下列联表，判断是否有 的把握认为“选科与性别有关”？
选择历
选择物理 合计
史
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
附：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
56．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球
大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性
别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足
不喜欢足球 合计
球
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有 的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为 ，女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附： .
