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考点巩固卷 15 等比数列（八大考点）
考点01 基本量的计算
1．在等比数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式可求出结果.
【详解】设公比为 ，
依题意得 ，得 ，得 ， ，
所以 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司2．已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据已知条件求出 的值，进而可得出 的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
因此， .
故选：C.
3．若首项为正数的等比数列 的前6项和为126，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质，设出基本量 和 ，列出方程，可求解.
【详解】设正数的等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 （负值舍去），
.
故选：B.
4．设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于 的方程,计算出 ,即可求出 .
【详解】由题知 ,
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学科网（北京）股份有限公司即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .
所以 .
故选:C.
5．在等比数列 中， ，则公比 为__________.
【答案】3
【分析】根据题意，得到 ，即可求解.
【详解】由等比数列 中， ，可得 ，解得 .
故答案为： .
6．记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为________．
【答案】
【分析】先分析 ，再由等比数列的前 项和公式和平方差公式化简即可求出公比 .
【详解】若 ，
则由 得 ，则 ，不合题意.
所以 .
当 时，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，即 ，
解得 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
7．记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 _______．
【答案】
【分析】由题意知公比 ，设首项为 ，由 求出 ，再代入 求出 ，由此求得 ．
【详解】等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故答案为：
考点02 等比中项及等比数列项的性质
8．“ ”是“ 成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等比数列等比中项的性质判断即可.
【详解】若 成等比数列，则 ；
若 ，令 ，满足 ，
但此时 不构成等比数列.
故选：C
9．在等比数列 中， ，且 ，则 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用等比中项的性质求出 的值，求出等比数列 的公比 ，进而求出 的值，再利用等比数
列求和公式可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，且对任意的 ， ，
由 可得 ，解得 ，
因为 ，则 ，所以， ，
因此， 的前 项和为 .
故选：C.
10．已知等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 （ ）
A．3 B．64 C．256 D．±64
【答案】B
【分析】先由题意得到 ，再由等比数列的性质，即可得出结果.
【详解】由题意得， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ .
故选：B．
11．（多选）已知等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可.
【详解】因为等比数列 的公比为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ， ，即 ，
所以 ， ，
所以 ， ，故A正确，B正确；
所以 ，
，故C正确，D错误．
故选：ABC．
12．若数列 为等比数列，则 _______．
【答案】4
【分析】根据等比数列的性质列出方程，求出 ，从而计算出答案.
【详解】由题意得 ， ，解得 ， ，
故 .
故答案为：4
13．已知数列 是递增的等比数列， ，若 的前 项和为 ，则
，则正整数 等于______．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及等比数列前 项和公式，即可求解.
【详解】依题意得： ，解得 或 ，
又因为数列 是递增的等比数列，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，所以 ，
，
所以 ，所以 .
故答案为：
14．在正项等比数列 中， ，则数列 的前10项和为______.
【答案】10
【分析】根据等比数列的性质得到 ，然后直接对数列 求和，结合对
数运算法则计算即可.
【详解】由等比数列的性质，得 ，
所以数列 的前10项和为 .
故答案为：10
考点03 等比数列的判定与证明
15．已知数列 满足 ， .
(1)记 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求 的前2n项和 .
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；
（2）利用（1）中的结果求数列 的通项公式，并结合并项求和运算求解.
【详解】（1）由题意可知： ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，
所以数列 是以首项 ，公比 的等比数列，
可得 .
（2）由（1）可知： ，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ；
综上所述： .
可得当 为奇数时， ，
则
，
所以 .
16．已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先根据等比数列的通项公式可得 ，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，即 ，
则 ，
又因为 ，可得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知 ，所以 .
所以
，
当 为偶数时，可得 ；
当 为奇数时，可得 ；
综上所述： .
17．已知数列 满足 ，且 ．
(1)设数列 满足 ，证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，表示出 与 的关系式，计算得 ，根据等比数列的定义可证明数列
是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列 的通项，从而可得数列 的通项公式.
【详解】（1） ，
， ，
，
因为 ，故 ， ．
是首项 ，公比 的等比数列．
（2）由（1）知， ，又 ，
所以 ，所以 ．
故数列 的通项公式为 ．
18．已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设数列 满足 ，求最小的实数 ，使得 对一切正整数 均
成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，化简得到 ，得到 ，即可得证；
（2）由（1）可得 ，结合 ，结合等比数
列的求和公式和裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：由数列 的首项 ，且满足 ，
可得 ，则 ，
又因为 ，所以数列 为等比数列.
（2）解：由（1）可得 ，
又由 ，所以
所以
，
所以 ，即实数 的最小值为 .
19．已知数列 中， ， 且 ，其前 项和为 ，且当 时， ．
(1)求证：数列 是等比数列；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求数列 的通项公式；
(3)若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据 将 用 表示，再根据等比数列的定义或等比中项法即可得证；
（2）先求出 ，再根据 即可得解；
（3）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由 ，
得 ，
即 ，
化简得 ，
所以数列 是等比数列；
（2）由（1）得数列 得公比为 ，首项为 ，
所以 ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ；
（3）若 ，则 ，
当 时， ， ，
当 时，
，
，
综上所述， .
20．已知数列 的前 项和为 ，且 N
(1)求证:数列 是等比数列;
(2)数列 ，求数列 的前 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系以及等比数列的定义即可证明；
（2）求出数列 的通项公式可判断数列 为等差数列，利用等差数列的前 项和公式即可求解.
【详解】（1）令 时， ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由已知得 ①，当 时， ②，
①②两式相减得 ，
∴ ，∴ ，∴可知数列的首项为
∴数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
（2）数列 的通项公式为 ，则 ，
∴ ，
∴数列 是以 首项， 为公差的等差数列，
∴数列 的前 项和 .
21．已知数列 中， ， .
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若不等式 对于 恒成立，求实数 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由条件可得出 从而可证，从而可得出 的通项公式.
（2）将（1）中 代入不等式，即得 对于 恒成立，设 ，
分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由 ， 可知， ，所以可得 ，即 ，
而 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
（2）不等式 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
即 对于 恒成立.
设 ，
由 ，
当 时， ，即 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
即 ，所以 最大， ，
所以 ，故 的最小值为 .
考点04 等比数列前 项和的性质
22．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的片段和的性质即可结合不等式求解最值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 是等比数列，且 ，又 ，
所以 ，且 ， ， 也是等比数列，
所以 （当且仅当 时取等号），
因为 ，所以 的最小值为 ，
故选:B．
23．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出等比数列 的公比，结合等比中项的性质求出 ，即可求得 的值.
【详解】由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和 的 倍，所以， ，故
设等比数列 的公比为 ，设该等比数列共有 项，
则 ，所以， ，
因为 ，可得 ，因此， .
故选：C.
24．（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
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学科网（北京）股份有限公司C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列 为等差数列，不妨设其公差为d,则 ,
显然当 才相等，故A错误，
而 ，作差可得
成立，故B正确；
若数列 为等比数列，且 ， ，设其公比为q，
则 ，作商可得 或 所以 或 ，故C错误；
由题意得 各项均不为0，而实数范围内， ，
即 且 ，结合选项B的计算可得
，故D正确.
故选：BD.
25．已知等比数列 的公比 ，且 ，则 ___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为 ，则 ，结合所求，化简计算，即可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为在等比数列中，若项数为 ，则 ，
所以
.
故答案为：120
26．已知等比数列 的前 项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则
的值为______．
【答案】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据已知条件求出 的值，结合等比数列求和公式求出 的值，进
而可求得 的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，设等比数列 的前 项中，设所有奇数项的和为 ，所有偶数
项的和为 ，
则 ，
所以， ，
又 ，则 ，
因此， .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司27．已知数列 的通项公式 ，求由其奇数项所组成的数列的前 项和 ．
【答案】 ．
【分析】判断出 是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的
前 项公式求和即可．
【详解】由 ，得 ．又因为 ，
所以 是等比数列，其公比 ，首项 ．
所以 的奇数项也成等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ．
28．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
【答案】156
【分析】方法一：设等比数列 的公比为 ，然后由 列方程可求出 ，再利用等比数列的求
和公式对 化简计算即可，方法二：利用等比数列前 项和的性质计算即可.
【详解】法一：设等比数列 的公比为 ，显然 .
因为 ，所以 ，
所以 .
法二：设 ，则 .因为 为等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司所以 仍成等比数列.
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为：156
考点05 等比数列中的单调，最值问题
22．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的片段和的性质即可结合不等式求解最值.
【详解】因为 是等比数列，且 ，又 ，
所以 ，且 ， ， 也是等比数列，
所以 （当且仅当 时取等号），
因为 ，所以 的最小值为 ，
故选:B．
23．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出等比数列 的公比，结合等比中项的性质求出 ，即可求得 的值.
【详解】由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和 的 倍，所以， ，故
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学科网（北京）股份有限公司设等比数列 的公比为 ，设该等比数列共有 项，
则 ，所以， ，
因为 ，可得 ，因此， .
故选：C.
24．（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列 为等差数列，不妨设其公差为d,则 ,
显然当 才相等，故A错误，
而 ，作差可得
成立，故B正确；
若数列 为等比数列，且 ， ，设其公比为q，
则 ，作商可得 或 所以 或 ，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司由题意得 各项均不为0，而实数范围内， ，
即 且 ，结合选项B的计算可得
，故D正确.
故选：BD.
25．已知等比数列 的公比 ，且 ，则 ___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为 ，则 ，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为 ，则 ，
所以
.
故答案为：120
26．已知等比数列 的前 项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则
的值为______．
【答案】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据已知条件求出 的值，结合等比数列求和公式求出 的值，进
而可求得 的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，设等比数列 的前 项中，设所有奇数项的和为 ，所有偶数
项的和为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以， ，
又 ，则 ，
因此， .
故答案为： .
27．已知数列 的通项公式 ，求由其奇数项所组成的数列的前 项和 ．
【答案】 ．
【分析】判断出 是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的
前 项公式求和即可．
【详解】由 ，得 ．又因为 ，
所以 是等比数列，其公比 ，首项 ．
所以 的奇数项也成等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ．
28．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
【答案】156
【分析】方法一：设等比数列 的公比为 ，然后由 列方程可求出 ，再利用等比数列的求
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学科网（北京）股份有限公司和公式对 化简计算即可，方法二：利用等比数列前 项和的性质计算即可.
【详解】法一：设等比数列 的公比为 ，显然 .
因为 ，所以 ，
所以 .
法二：设 ，则 .因为 为等比数列，
所以 仍成等比数列.
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为：156
考点06 等比数列的简单应用
35．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段 等分为线段 ，
如图2.以 为底向外作等边三角形 ，并去掉线段 ，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2
的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段 的长度为1，则图3中曲线的
长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据给定条件，探讨一次操作前后曲线长度的关系，再借助等比数列求解作答.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的 ，
因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以 为首项， 为公比的等比数列，
所以当进行三次操作后的曲线长度为 .
故选：C
36．用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…以此类推，每
一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了多少块砖？
【答案】2046
【分析】因每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，即每一层剩下砖块是上次剩下砖块的一半少一块，
于是可用数列的递推关系式结合构造法求数列通项求解．
【详解】设此次砌墙一共用了 块砖，砌好第 层后剩下砖块为 块 ，
则当 时， ，即 ．
∴ 为等比数列，且公比为 ．
由题意得 ，∴ ，
∴ ，即 ．
∵ ，∴ ，解得 ．
37．某家庭为准备孩子上大学的学费，每年1月1日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的
方式：
（1）如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a（1＋n×6．5％）计算本利（n为年数）；
（2）如果按每年转存计，即每存入a元，按 计算本利（n为年数）．
问：用哪种存款的方式存款在第六年的1月2日到期的全部本利较高？
【答案】第一种存款方式到期的全部本利较高
【分析】这两种存款的方式区别在于不计复利与计复利，但由于利率不同，最后的本利也不同．复利是一
种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期
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学科网（北京）股份有限公司利率为r，本利和为y，存期为n，则复利函数式为 ．单利是指本金到期后的利息不再加入本金
计算．设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为 ．
【详解】第（1）种方式：不计复利，则5年的零存整取本利是
（元）；
第（2）种方式：计复利，则5年的零存整取本利是
（元）．
所以第一种存款方式到期的全部本利较高．
38．从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出
1kg盐水，然后加入1kg清水．问：
(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？
【答案】(1)0.0125kg；
(2)一共倒出0.39375kg盐，最后的质量分数为0.3125％．
【分析】（1）根据给定的信息，构造等比数列并求其通项作答.
（2）由（1）中信息，利用等比数列前n项和公式求和，再代值求出项作答.
【详解】（1）每次倒出的1kg盐水中含盐的质量依次排成一列，构成数列 ，
每次倒出1kg盐水，再加入1kg清水后，盐的质量分数依次排成一列，构成数列 ，记原有盐的质量分
数为 ，
则 ， ，当 时， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，显然 也满足上式，
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学科网（北京）股份有限公司依题意， ， ， ，
所以第5次倒出的1kg盐水中含盐 .
（2）由（1）知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
经6次倒出后，共倒出的盐 （ ），
此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为 .
所以一共倒出 盐，最后盐的质量分数为 ．
39．某实验室要在小白鼠身上做连续活体实验.因实验需要，每天晩上做实验消耗其脂肪10克，其脂肪每
天增长率为 （从前一次实验后到后一次实验前）.设 为第 天 晩上实验后该小白鼠
的脂肪含量.第一天晩上实验前测量其脂肪含量为90克，则 .
(1)计算 的值；
(2)写出 的通项公式，并证明你的结论；
(3)为保证实验的有效性，实验前小白鼠的体内脂肪含量应不少于60克.那么该小白鼠某晩是否会因脂肪含
量不够而无法进行有效实验吗？若会，是在第几天晩上？若不会，请说明理由.
【答案】(1) , ;
(2) ;
(3)见解析；
【分析】（1）根据题意直接求解；
（2）由题意可得 ，构造 是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；
（3）求解 即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ， .
（2）由题意可得 ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ,
所以 的通项公式为 .
（3）设该小白鼠第 晩因脂肪含量不够而无法进行有效实验,
则 ,可得 ，解得 ，
因为 ,
所以当 时， ，
故小白鼠第11,12,13,14,15晩会因脂肪含量不够而无法进行有效实验.
考点07 等差、等比数列的综合应用
40．已知等比数列 的公比大于1，且 ，等差数列 满足 ， ， ，
则 （ ）
A．2026 B．4050 C．4052 D．4054
【答案】B
【分析】设出公比和公差，根据题目条件得到 ，求出 ，从而求出 ，
进而求出公比，由 求出公差，求出 ，得到答案.
【详解】设 的公比为 ， 的公差为 ，
因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故 ，
故 ，即 ，解得 或 （舍去），
则 ，
又 ，故 ，
则 ，
所以 .
故选：B
41．已知等差数列 的首项为1，且 ， ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式，
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可求解公差，即可由等差数列的通项求解，
（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
又 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，设 的公差为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）由题知， ，
因为数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
且数列 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 .
42．已知等差数列 的前四项和为10，且 成等比数列
(1)求通项公式
(2)设 ，求数列 的前 项和
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差数列通项公式以及等比中项列式求出 和 可得结果；
（2）根据等比数列求和公式可求出结果.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ，
又 成等比数列，所以 ，即 ，
整理得 ，得 或 ，
若 ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，得 ， ， .
综上所述： 或 .
（2）若 ，则 ， ；
若 ，则 ， .
43．已知等比数列 的公比 是 的等差中项．等差数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 与数列 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出 ，进而求出 通项作答.
（2）利用（1）的结论，确定新数列前50项中，数列 所占项数，再借助等比数列、等差数列前n
项和公式计算作答.
【详解】（1）依题意， ， ，而 ，解得 ，则 ，
等差数列 中，由 ，得 ，又 ，则公差 ， 因此
，
所以数列 的通项公式是 ， .
（2）由（1）知，数列 与数列 都是递增数列， ，
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学科网（北京）股份有限公司因此新数列前50项中，有5项是数列 的前5项，另45项为数列 的前45项，
而 ， ，
所以新数列的前50项和为 .
44．记等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， .
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 ，求 .
【答案】(1) .
(2) 或 .
【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式求解可得结果；
（2）根据等差、等比数列的通项公式求出公差和公比，再根据等差数列求和公式可求出结果.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，得 ，
所以 .
（2）由 ，得 ，得 或 ，
若 ，则 ，
若 ，则 .
综上所述： 或 .
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学科网（北京）股份有限公司45．已知 是各项均为正数的等差数列， 、 、 成等差数列，又 ， ， ， ……
证明： 为等比数列．
【答案】证明见解析.
【分析】利用等差、等比的转化关系得以解决．
【详解】证明：因为 、 、 成等差数列，
所以 ，即 ，
又设等差数列 的公差为 ，则 ，
这样 ，从而 ，
若 ，此时 是各项均为正数的常数列，故 ，
此时 也为常数列，且 ，
这时， 为公比为 等比数列.
若 ，则 ， ，
，且 ，
这时， 是首项 ，公比为 的等比数列．
综上所述， 为等比数列.
46．若 成等差数列； 成等比数列，则 等于______.
【答案】 /
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用等差数列和等比数列的性质求解.
【详解】∵ 成等差数列，∴ ，
又∵ 成等比数列，∴ ，
又∵ ，∴ ，则 ，
故答案为： .
考点08 有关数列的数学文化
47．在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美
好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的
中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为
3，则第4个图形的周长为______.
【答案】
【分析】根据题意，分别求得每个“雪花曲线”的边长和边数，即可求解.
【详解】由题意，当 时，第1个图中的三角形的边长为 ，三角形的周长为 ；
当 时，第2个图中“雪花曲线”的边长为 ，共有 条边，
其“雪花曲线”周长为 ；
当 时，第3个图中“雪花曲线”的边长为 ，共有 条边，
其“雪花曲线”周长为 ；
当 时，第4个图中“雪花曲线”的边长为 ，共有 条边，
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学科网（北京）股份有限公司其“雪花曲线”周长为 .
故答案为： .
48．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是边长为1的等边三角形，
将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图
2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分
形”……依此进行“n次分形”，其中n为正整数.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的
长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是（取 ）（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】依题意可得“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为 的等比数列，从而可得到“n次分
形”图的长度为 ，列出不等式，结合 ，即可求解．
【详解】依题意可得“n次分形”图的长度是“ 次分形”图的长度的 ，
由“一次分形”图的长度为 ，
所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为 的等比数列，
所以“n次分形”图的长度为 ，
故 ，即 ，两边取对数得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 ，故n的最小整数值是9．
故选：B.
49．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形
中，首先，将正方形等分成9个边长为 的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之
和为 ；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形
面积之和为 ；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若
，则操作次数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由已知得 ，再由等比数列的求和公式建立不等式，由函数 的单调性即可得
答案.
【详解】 是边长为 的4个正方形的面积之和，故 ；
是边长为 的 个正方形的面积之和，故 ；
以此类推得：
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学科网（北京）股份有限公司从而 ，
所以 ，函数 关于 单调递减，
且 时， ， 时， ，故 最小值取3.
故选：C
50．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均
律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前
一个单音的频率的比都等于 ．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，
为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为 ，则第四个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将所要解决的问题转化为：求首项为 ，公比为 的等比数列的第4项，再利用等比数列的
通项公式求得结果即可.
【详解】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为 ，公比为 的等比数列 ，
第四个单音的频率为 .
故选：B.
51．1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：
（1）“正方形筛子”中位于第10行的第10个数是______.
（2）若 表示第 行 列的数，则 ______（用 ， 表示）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 220
【分析】（1）由所给“正方形筛子”观察可知第1列数字通项公式，再分析第N行数列的通项公式即可
得解；
（2）观察可知第n行和第n列的等差数列的公差相等，都是2n＋1，据此可求通项 .
【详解】（1）第一列的数字为4，7，10，13，16， ，为等差数列，公差d= 3，
则 ，
故第10行的第一个数为 ，
再看行，第一行的数字是加3递增，第二行是加5递增，第三行是加7递增， ，第N行是加
递增，
则第10行是加 递增，所以第10行的第10个数是 ；
（2）观察“正方形筛子"得：每一行都是等差数l列，每一列都是等差数列，
第n行和第n列的等差数列的公差相等，都是2n＋1，
第n行的第一个数是： ，
第n行第m个数为： ，
.
故答案为： ；
52．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，
后7项成等比数列，且 ，则 ___________；数列 所有项的和为____________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解 ，进而可求得结果；方法二：根
据等比中项求 ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，
空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，
所以 .
故答案为：48；384.
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