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6.2 等比数列（精练）
1．（2023春·广东佛山）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
【答案】B
【解析】因为 且 ， 由数列 为等比数列，可得 ，
又由 ，所以 .故选：B.
2．（2023春·江西南昌）已知1，a，b，c，5五个数成等比数列，则b的值为
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】因为1，a，b，c，5五个数成等比数列，所以 也成等比数列，
等比数列奇数项的符号一致， ， .故选A.
3．（2023春·上海普陀）已知 ， ， ， 四个实数成等差数列，4， ，1三个正实数成等比数列，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ， ， 四个实数所成等差数列的公差为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则由题意可得 ，又 为正实数，故 .故选：A
4．（2023春·云南）已知 为等比数列，若 、 是方程 的两根，则 （ ）.
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ， ，则 、 、 同号，
、 是方程 的两根， ， ，
和 均为负数，由等比数列的性质可得 ，又 、 同号， .故选：C.
5．（2023春·山东德州）已知 为等比数列 的前n项和， ， ，则 的值为（ ）
A．85 B．64 C．84 D．21
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为 ，由题意可知， ，得 ，
，所以 .故选：A
6．（2023春·湖北）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，若 ， ，则 （ ）
A．27 B．45 C．65 D．73
【答案】C
【解析】由等比数列前 项和的性质可得 ， ， ， 成等比数列，
所以有 ，即 ，
整理可得 ，解得 （舍）或 .
又因为 ，所以有 ，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023春·江西）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a+a+a＝2，S＝9S，则S＝（ ）
1 2 3 6 3 9
A．50 B．100 C．146 D．128
【答案】C
【解析】根据题意：S＝a+a+a＝2，S＝9S＝18，则S﹣S＝18﹣2＝16，
3 1 2 3 6 3 6 3
根据等比数列的性质可知，S，S﹣S，S﹣S 构成等比数列，故 ，即S﹣S＝128，
3 6 3 9 6 9 6
故S＝S+128＝146，故选：C．
9 6
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .故选：C.
9．（2023春·北京）已知数列 是公比为正数的等比数列， 是其前n项和， ， ，则
（ ）
A．63 B．31 C．15 D．7
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为 ，由题意 ， ，解得 ，于是 ，故
.故选：D
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则 的最小值是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．4 B．9 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由 ，得 ，即 ，
则 ，
当且仅当 即 时取等号.故选：D
11．（2023春·高二课时练习）已知等差数列 的前 项和为 ，公差不为0，若满足 、 、 成等比
数列，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．不存在
【答案】A
【解析】由等差数列 的前 项和为 ，公差不为0，若满足 ， ， 成等比数列，
可得 ，即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，又由 .故选：A.
12．（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）已知 成等比数列，且1和4为其中的两项，则 的最
小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，当1和4为 两项时，则 ，解得 或 ，取 ，
当1和4为 两项时， 为正数，大于 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当1和4为任意连续的两项时，等比数列的公比 ， 必为正数，大于 ，
当1和4为 两项时，由于 与 同号， 必为正数，大于 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有3个不同的零点分别为 ，且
成等比数列，则实数a的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【解析】设 ，则常数项为： ，
因为 成等比数列，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，
把 代入 ，所以 ，解得 ．故选：D.
14．（2023·江西 ）若 ， 是函数 （ ， ）的导函数的两个不同零点，
且 ， ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】∵ ∴ ， ，
所以 为两个不等的负数，不妨设 ，则必有 ，2成等差数列，
，2， 成等比数列，故有 ， ，解得 ， ，
可得 ， ， .
故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023·全国·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应
用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗
子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……
所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】设共有 只猴子，第 只猴子取栗子的个数为 ，则第 只猴子取栗子后，所剩栗子的个数为
，
故 ， ，故 ，
又 ， 所以 ，得 ，由题意得
即 ，即 ，即 ，
易知当且仅当 时，符合题意.故选：A
15．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则 取最大值时
的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，有 ，
由函数 单调递增，且 ，可得 .
有 ，由数列 单调递减，
所以 取得最大值时 的值为9，
故选：B.
16．（2022秋·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知 是公比为q的等比数列，则“ ”是“
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，数列 不一定为递增数列，如数列 ，公比 ，而此数列为递
减数列，
当 为递增数列时， ，则 或 ，
所以当 为递增数列时， 成立，所以“ ”是“ 为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B.
17．（2023·山东聊城·统考三模）若 为等比数列，则“ ， 是方程 的两根”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ， 是方程 的两根，
所以 ， ，所以 ，又因为 ，
则 ，又因为 ，所以 ，即充分性成立；
反之，当 时， 不成立，则 ， 不是方程 的两根，即必要性不成
立；所以“ ， 是方程 的两根”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
18．（2023·云南昆明·统考模拟预测）（多选）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（
）
A．若a，b，c成等比数列，则 ， ， 成等比数列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等比数列
【答案】AD
【解析】A.若a，b，c成等比数列，则 ，则 ，所以 ， ， 成等比数列，故A正确；
B.数列1，2，3是等差数列，但数列 ， ， 不是等差数列，故B错误；
C.若a2，b2，c2成等比数列，则 ， 或 ，若 ，则a，b，c不成等比数列，故
C错误；
D.若a，b，c成等差数列，则 ，则 成立，所以 ， ， 成等比数列，
故D正确.故选：AD
19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，若此数列为等比数列，则
__________．
【答案】
【解析】因为数列 的前 项和 ，
所以 ， ；
又 ，因为数列 为等比数列，则 也满足 ，
即 ，解得 .
故答案为
20．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）等比数列 的公比为 ，其前n项和为 ，且
， ．若 仍为等比数列，则 ______．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】由 得： ，
则 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，解 得： ，
当 时， 是等比数列.
故答案为： .
21．（2023春·广东佛山）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与
的等比中项，则 的最大值为 ________.
【答案】
【解析】由 是 与 的等比中项，
得 ，即 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以当 或 时， 取得最大值 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】22．（2023·河南·校联考模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，且 ，
， 成等比数列，则 __________.
【答案】
【解析】依题意，有 ，解得 ，
故 .
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
故 .
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，且 、 是函数
的两个零点，则 ___________.
【答案】
【解析】因为在数列 中， ， ，则 ，所以， ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
因为 、 是函数 的两个零点，
由韦达定理可得 ，
因为 ，可得 ，所以， ，
由等比中项的性质可得 ，因此， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
24．（2023·全国·高三对口高考）已知数列 为等比数列， 为其前n项和.若 ， ，
则 的值为__________.
【答案】40
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
则等比数列 的公比 ，
所以 ， ， 也是等比数列，
所以 ， ， 也是等比数列，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
又 ，所以 .
故答案为：40.
25．（2023春·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期中）数列 满足 ， ， ，
求证： 是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，又因为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．
26．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知数列 满足
，且 ，证明：数列 是等比数列，并求出
的通项公式.
【答案】证明见解析，
【解析】 ，
，
，
数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，
，
当 时，
即 ，
又 也满足上式， 数列 的通项公式为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023春·山西）在数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意得 ， ， ，即 ，
所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， ；
设 的前n项和为 ，则 ， .
若 为奇数，则 为3的倍数， 不是 的倍数，不合题意；
当 为偶数，则
，即 ，所以 .
故选：B
2．（2023春·安徽阜阳）如果数列 是等比数列，那么（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
【答案】C
【解析】对于C，设等比数列 的公比为 ，则 ，
所以 为非零常数，则数列 是等比数列，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于ABD，取 ，则 ，数列 是等比数列，
则 ， ， ，
故 ， ， ，
所以 ，则数列 不是等比数列，故A错误.
而 ， ， ，显然 ，
所以数列 不是等比数列，故B错误.
而 ， ， ，则 ，
所以数列 不是等比数列，故D错误.
故选：C.
3．（2023·全国·高三对口高考）设 是公比为 的等比数列，其前 项的积为 ，并且满足条件： ，
， ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④使 成立的最小的
自然数n等于199．其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】对于①： ， ， ，
， ．
又 ， ，且 ， ，故①正确；
对于②： ，故②错误；
对于③： ，故③正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于④： ，
，故④正确．
故选：D．
4．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知方程 的四个根组成以1为
首项的等比数列，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】设方程 的四个根由小到大依次为 ， ， ， ，
不妨设 的一根为1，则另一根为27，所以 ，
由等比数列的性质可知 ，所以 ， ，
所以等比数列 ， ， ， 的公比为 ，所以 ， ，由韦达定理得
，可得 .
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
【答案】B
【解析】当 时，则 ，不合乎题意；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
可得 ，此时 ，与题干不符，不合乎题意；
故 ，故A错误；
对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
此时，数列 为单调递减数列，则 ，
结合 可得 ，
结合数列的单调性可得
故 ，
，
∴ ，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并
满足条件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】根据题意，等比数列 中， ，则有 ，有 ，
又由 0，即 ，必有 ， 由此分析选项：
对于A， ，故 ，A正确；
对于B，等比数列 中， ， ，则 ，则 ，即 ，B
错误；
对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误；
对于D，由C的结论，D错误；
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，并满足条件
， ，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D． 是数列 中的最大项
【答案】A
【解析】因为 ，所以 或 ，而 为等比数列，
，于是 ， ，则A错误；
，则B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则C正确；
因为 ，所以 是数列 中的最大项，则D正确.
故选：A.
8．（2023河南省濮阳市）（多选）学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择
其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 .而前一天
选择了 套餐的学生第二天选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ；前一天选择B套餐的学生第
二天选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率也是 ，如此反复.记某同学第 天选择 套餐的概率为 ，
选择B套餐的概率为 .一个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择 套餐的人数为 ，则下列说法中
正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】ABD
【解析】由于每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，所以 ，所以 正确，
依题意， ，则 ，
又 时， ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，所以 ，
所以ABD正确，C错误，
故选：ABD.
9．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）（多选）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ， ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
【答案】ABC
【解析】对于A， ， 时， ，解得 ，因此 ， ， 是
等差数列，A正确；
对于B， ， ，则 ，而 ， 是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列 的公差为 ，首项是 ，
，
，
因此 ，则 ， 成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列 的公比 ，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只
猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分
成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩
下多少个桃子?”.下列说法正确的是( )
A．若第n只猴子分得 个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到 个桃子,则 为等比数列
C．若最初有 个桃子,则第 只猴子分得 个桃子(不含吃的)
D．若最初有 个桃子,则 必有 的倍数
【答案】ABD
【解析】设最初有 个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为 ,则
,
若第n只猴子分得 个桃子(不含吃的),则 ,
所以 ,即 ,故A正确;
由A， ,则 ,即 是等比数列,
若第n只猴子连吃带分共得到 个桃子,则 ,
所以 是以 为公比的等比数列,故B正确.由B知, 是等比数列,
所以 ,即 ,
若最初有 个桃子,即 ,所以 ,故C错误;
根据题意: ,
因为 以 为公比的等比数列,所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,化简得 ,
因为 ,且 为正整数,所以 ,即 必有 的倍数,故D正确.故选:ABD.
11．（2023春·河南郑州）在等比数列 中， ， 是函数 的极值点，则 ＝
__________.
【答案】
【解析】由函数 ，则其导数 ，
由 ， 是函数 的极值点，
则 ， 是函数 的零点，
即 ， 是方程 的两个解，故 ，
在等比数列 中， ，且 同号，即 ，故 .
故答案为： .
12．（2023·全国·高三对口高考）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示 的正方形网
格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数．考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下
这8个数列，给出下列四个结论：
①这8个数列有可能均为等差数列；
②这8个数列中最多有3个等比数列；
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；
④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【解析】①如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，
则这8个数列均为等差数列，故①正确；
1 2 3
4 5 6
7 8 9
②1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，
等比数列有：1，2，4；1，3，9；2，4，8和4，6，9，
因为1，2，4和2，4，8这两个等比数列在网格中不可能在同一行、同一列或对角线上，
所以这8个数列中最多有3个等比数列，如图，故②正确；
1 2 4
3 6 5
9 7 8
③若三个数 成等差数列，则 ，
根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数 相同，则只能是 ，
因为 ，
所以中间一行、中间一列、两条对角线四组数分别为1，5，9；2，5，8；
3，5，7；4，5，6时满足条件，如图，故③正确；
3 2 4
1 5 9
6 8 7
④若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，
当第二行为3，5，7，第二列为2，5，8时，第二行和第二列均为等差数列，
此时有2个等差数列，如图，故④错误；
1 2 4
3 5 7
9 8 6
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：①②③
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
